Lógica proposicional/Deducciones indirectas

Lección 12

Deducciones indirectas

La deducción indirecta es una técnica para realizar deducciones lógicas con orígenes en la antigüedad clásica y también se le conoce como reductio ad absurdum.^[1] En la lógica en general, reductio ad absurdum es un mecanismo de argumentación que trata de probar un argumento al derivar una situación absurda o contradictoria a partir de su negación, concluyendo que el argumento original debe ser aceptado para evitar la contradicción.^[2] Esta conclusión se basa en el principio de que a partir de premisas y supuestos verdaderos solo se pueden seguir conclusiones verdaderas. Por lo tanto, si a partir de las premisas y supuestos se ha llegado a una conclusión falsa entonces al menos uno de ellos debe ser falso, concretamente la suposición que niega la conclusión a la que se trata de llegar.^[3]

En la lógica proposicional, el objetivo de una derivación indirecta es demostrar que una fórmula bien formada es falsa a partir de las premisas. Al igual que en las deducciones condicionales, se usa una subdeducción pero en este caso la suposición inicial es la negación de la proposición que deseamos demostrar. Si a partir de esa suposición es posible derivar una contradicción obvia (como una proposición de la forma $\alpha \land \neg \alpha$ ) es posible concluir que la suposición era falsa porque cualquier cosa que redunde en una contradicción debe ser falsa.^[1]

Procedimiento

El procedimiento para realizar una deducción indirecta es muy similar al procedimiento utilizado para realizar una deducción condicional. Tiene los mismos elementos principales (suposición, el proceso de deducción y la conclusión) pero se diferencia en los siguientes aspectos:

La suposición en las deducciones indirectas es la negación de la conclusión a la que queremos llegar.
La meta del procedimiento de deducción es alcanzar una contradicción.
Una vez que alcanzamos la contradicción, la conclusión de la suposición es la negación de la suposición original.

Al igual que las deducciones condicionales, las deducciones indirectas se diferencian del resto de la deducción mediante el sangrado de las líneas o usando otro tipo de identificador visual, se pueden anidar y las proposiciones intermedias no se pueden reutilizar fuera del contexto de la demostración indirecta, ya que dependen de suposición.

Un ejemplo completo

Considere el siguiente argumento:

Si no hay probabilidad de lluvia y la máquina de cortar funciona, el jardinero cortará el césped. Si la temperatura es superior a los 25.° C, no hay probabilidades de lluvia. Hoy la temperatura es de 30.° C y la máquina funciona, por lo tanto el jardinero cortará el césped.

Al expresar las afirmaciones de forma simbólica tenemos:

A: Hay probabilidad de lluvia.
B: La máquina de cortar funciona.
C: El jardinero cortará el césped.
D: La temperatura es superior a los 25.° C

Las premisas y la conclusión en formato proposicional son:

Premisa: Si no hay probabilidad de lluvia y la máquina de cortar funciona, el jardinero cortará el césped.

(\neg A\land B)\Rightarrow C

Premisa: Si la temperatura es superior a los 25.° C, no hay probabilidades de lluvia.

D\Rightarrow \neg A

Premisa: Hoy la temperatura es de 30.° C y la máquina funciona.

D\land B

Conclusión: El jardinero cortará el césped.

C

La siguiente tabla muestra la información anterior y el proceso de razonamiento usando una deducción indirecta.

Identificador	Proposición	Regla	Dependencias
1	$(\neg A\land B)\Rightarrow C$	Premisa	n/a
2	$D\Rightarrow \neg A$	Premisa	n/a
3	$D\land B$	Premisa	n/a
4	$D$	Eliminación de la conjunción (EC)	3
5	$\neg A$	Modus ponens (MP)	2, 4
6	$B\land D$	Conmutatividad de la conjunción	3
7	$B$	Eliminación de la conjunción (EC)	6
8	$\neg C$	Suposición para realizar una demostración indirecta	n/a
9	$\neg (\neg A\land B)$	Modus tollens (MT)	1, 8
10	$\neg \neg A\lor \neg B$	Ley de De Morgan para la conjunción	9
11	$\neg B\lor \neg \neg A$	Conmutatividad de la disyunción	10
12	$\neg \neg A$	Silogismo disyuntivo (SD)	7, 11
13	$A$	Doble negación	12
14	$A\land \neg A$	Introducción de la conjunción (IC)	5, 13
15	$C$	Deducción indirecta	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14

La deducción indirecta se encuentra en las líneas de la 8 a la 14. La línea 8 es la suposición inicial, donde se niega la conclusión deseada. Las líneas 9, 10, 11, 12 y 13 son pasos intermedios de la deducción y la línea 14 muestra que la suposición inicial nos conduce a una contradicción y que por lo tanto es falsa. Al ser falsa, podemos decir que la conclusión original es verdadera por ser una negación de la suposición.

Resumen de la lección

La técnica de deducciones indirectas también se conoce como reductio ad absurdum.
Inicia asumiendo la negación de la conclusión que se desea probar.
Si a partir de la suposición y de las premisas se llega a una contradicción entonces se concluye que la suposición es falsa.
La conclusión se considera verdadera por ser la negación de la suposición.
Las proposiciones intermedias generadas durante la deducción indirecta no se pueden usar fuera del alcance de esta última porque dependen de una suposición.

Términos clave

Bibliografía

↑ ^1,0 ^1,1 Klement, Kevin. «Propositional Logic». The Internet Encyclopedia of Philosophy (en inglés). Massachusetts, Estados Unidos. Consultado el 11 de diciembre de 2015.
↑ Rescher, Nicholas. «Reductio ad Absurdum». The Internet Encyclopedia of Philosophy (en inglés). Massachusetts, Estados Unidos. Consultado el 19 de enero de 2016.
↑ Brugger, Walter (2005). Diccionario de filosofía (1.ª edición). Barcelona, España: Herder. p. 734. ISBN 84-254-2434-8.

Proyecto: Lógica proposicional

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[klement-1] 1,0 ^1,1 Klement, Kevin. «Propositional Logic». The Internet Encyclopedia of Philosophy (en inglés). Massachusetts, Estados Unidos. Consultado el 11 de diciembre de 2015.

[rescher-2] Rescher, Nicholas. «Reductio ad Absurdum». The Internet Encyclopedia of Philosophy (en inglés). Massachusetts, Estados Unidos. Consultado el 19 de enero de 2016.

[brugger2005-3] Brugger, Walter (2005). Diccionario de filosofía (1.ª edición). Barcelona, España: Herder. p. 734. ISBN 84-254-2434-8.

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[2]

[3]