Lógica proposicional/Deducciones indirectas/Evaluación

Evaluación de la lección 12

Deducciones indirectas

En cada uno de los siguientes ejercicios es necesario identificar las afirmaciones, expresarlas de forma simbólica, identificar las premisas y la conclusión y escribirlas como proposiciones compuestas definidas en términos de las afirmaciones. Finalmente se deben organizar en una tabla de deducción y utilizar las reglas de inferencia y las equivalencias lógicas para demostrar que la conclusión es una consecuencia lógica de las premisas. Para ejercitar los conceptos aprendidos durante la lección es necesario resolver los ejercicios usando deducciones indirectas, aun cuando es posible resolverlos usando otras técnicas.

Ejercicio #1

Si la Reserva Federal baja las tasas de interés, los precios de las acciones subirán. Los precios de las acciones no han subido, por lo tanto la Reserva Federal no ha bajado las tasas de interés.

Solución

Afirmaciones:

A: La Reserva Federal baja las tasas de interés.
B: Los precios de las acciones suben.

Premisas:

$A\Rightarrow B$
$\neg B$

Conclusión:

$\neg A$

Razonamiento:

Identificador	Proposición	Regla	Dependencias
1	$A\Rightarrow B$	Premisa	n/a
2	$\neg B$	Premisa	n/a
3	$A$	Suposición para realizar una demostración indirecta	n/a
4	$B$	Modus ponens (MP)	1, 3
5	$B\land \neg B$	Introducción de la conjunción (IC)	2, 4
6	$\neg A$	Deducción indirecta	3, 4, 5

Resultado:

El razonamiento es válido.

Ejercicio #2

Si Pedro sale de viaje el martes deberá levantarse antes de las 6 a.m. Si va al concierto el lunes por la noche, entonces llegará a casa después de las 11 p.m. Si llega a su casa después de las 11 p.m. y se levanta antes de las 6 a.m. tendrá que salir de viaje con menos de 8 horas de sueño. Desafortunadamente Pedro no puede viajar si no ha dormido al menos 8 horas. Por lo tanto Pedro no irá al concierto la noche del lunes o no saldrá de viaje el martes en la mañana.

Solución

Afirmaciones:

A: Pedro sale de viaje el martes.
B: Pedro deberá levantarse antes de las 6 a.m.
C: Pedro va al concierto el lunes por la noche.
D: Pedro llega a casa después de las 11 p.m.
E: Pedro duerme menos de 8 horas.

Premisas:

$A\Rightarrow B$
$C\Rightarrow D$
$(B\land D)\Rightarrow E$
$E\Rightarrow \neg A$

Conclusión:

$\neg C\lor \neg A$

Razonamiento:

Identificador	Proposición	Regla	Dependencias
1	$A\Rightarrow B$	Premisa	n/a
2	$C\Rightarrow D$	Premisa	n/a
3	$(B\land D)\Rightarrow E$	Premisa	n/a
4	$E\Rightarrow \neg A$	Premisa	n/a
5	$\neg (\neg C\lor \neg A)$	Suposición para realizar una demostración indirecta	n/a
6	$\neg \neg C\land \neg \neg A$	Ley de De Morgan para la disyunción	5
7	$\neg \neg C$	Eliminación de la conjunción (EC)	6
8	$C$	Doble negación	7
9	$\neg \neg A\land \neg \neg C$	Conmutatividad de la conjunción	6
10	$\neg \neg A$	Eliminación de la conjunción (EC)	9
11	$A$	Doble negación	10
12	$B$	Modus ponens (MP)	1, 11
13	$D$	Modus ponens (MP)	2, 8
14	$B\land D$	Introducción de la conjunción (IC)	12, 13
15	$E$	Modus ponens (MP)	3, 14
16	$\neg A$	Modus ponens (MP)	4, 15
17	$A\land \neg A$	Introducción de la conjunción (IC)	11, 16
18	$\neg C\lor \neg A$	Deducción indirecta	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17

Resultado:

El razonamiento es válido.

Ejercicio #3

El índice de natalidad disminuye durante las crisis económicas. Los avances de la medicina aumentan las expectativas de vida. Si el índice de natalidad disminuye y las expectativas de vida aumentan entonces la sociedad envejecerá rápidamente. Los avances en la medicina son constantes y en los años recientes el país se ha visto afectado por una severa crisis económica Por lo tanto, la sociedad está envejeciendo rápidamente.

Solución

Afirmaciones:

A: El índice de natalidad disminuye.
B: Las expectativas de vida de vida aumentan.
C: La sociedad envejecerá rápidamente.
D: Los avances en la medicina son constantes.
E: El país sufre una crisis económica.

Premisas:

$(A\land B)\Rightarrow C$
$D\Rightarrow B$
$E\Rightarrow A$
$D\land E$

Conclusión:

$C$

Razonamiento:

Identificador	Proposición	Regla	Dependencias
1	$(A\land B)\Rightarrow C$	Premisa	n/a
2	$D\Rightarrow B$	Premisa	n/a
3	$E\Rightarrow A$	Premisa	n/a
4	$D\land E$	Premisa	n/a
5	$\neg C$	Suposición para realizar una demostración indirecta	n/a
6	$\neg C\Rightarrow \neg (A\land B)$	Contraposición lógica	1
7	$\neg (A\land B)$	Modus ponens (MP)	5, 6
8	$D$	Eliminación de la conjunción (EC)	4
9	$E\land D$	Conmutatividad de la conjunción	4
10	$E$	Eliminación de la conjunción (EC)	9
11	$B$	Modus ponens (MP)	2, 8
12	$A$	Modus ponens (MP)	3, 10
13	$A\land B$	Introducción de la conjunción (IC)	11, 12
14	$(A\land B)\land \neg (A\land B)$	Introducción de la conjunción (IC)	7, 13
15	$C$	Deducción indirecta	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14

Resultado:

El razonamiento es válido.

Ejercicio #4

El partido de gobierno prometió no aumentar los impuestos y si no cumple la promesa no ganará las próximas elecciones. Si la actual crisis económica no termina pronto, el gobierno deberá aumentar los impuestos y si aumenta los impuestos habrá incumplido su promesa de campaña. Los expertos aseguran que la crisis no terminará pronto. Por lo tanto, el partido de gobierno perderá las próximas elecciones.

Solución

Afirmaciones:

A: El partido de gobierno cumple su promesa de campaña.
B: El partido de gobierno ganará las próximas elecciones.
C: La crisis económica terminará pronto.
D: El gobierno aumentará los impuestos.

Premisas:

$\neg A\Rightarrow \neg B$
$\neg C\Rightarrow D$
$D\Rightarrow \neg A$
$\neg C$

Conclusión:

$\neg B$

Razonamiento:

Identificador	Proposición	Regla	Dependencias
1	$\neg A\Rightarrow \neg B$	Premisa	n/a
2	$\neg C\Rightarrow D$	Premisa	n/a
3	$D\Rightarrow \neg A$	Premisa	n/a
4	$\neg C$	Premisa	n/a
5	$B$	Suposición para realizar una demostración indirecta	n/a
6	$B\Rightarrow A$	Contraposición lógica	1
7	$A$	Modus ponens (MP)	5, 6
8	$A\Rightarrow \neg D$	Contraposición lógica	3
9	$\neg D$	Modus ponens (MP)	7, 8
10	$\neg D\Rightarrow C$	Contraposición lógica	2
11	$C$	Modus ponens (MP)	9, 10
12	$C\land \neg C$	Introducción de la conjunción (IC)	4, 11
13	$\neg B$	Deducción indirecta	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

Resultado:

El razonamiento es válido.

Ejercicio #5

La investigación continuará si y solo si los dueños de los periódicos no están implicados en el escándalo. Si los dueños están implicados en los escándalos entonces los periódicos no publicarán notas sobre el avance de la investigación. Los periódicos están reportando regularmente sobre el avance de la investigación, por lo tanto la investigación continua.

Solución

Afirmaciones:

A: La investigación continúa.
B: Los dueños de los periódicos están implicados en el escándalo.
C: Los periódicos publican notas sobre el avance de la investigación.

Premisas:

$A\Leftrightarrow \neg B$
$B\Rightarrow \neg C$
$C$

Conclusión:

$A$

Razonamiento:

Identificador	Proposición	Regla	Dependencias
1	$A\Leftrightarrow \neg B$	Premisa	n/a
2	$B\Rightarrow \neg C$	Premisa	n/a
3	$C$	Premisa	n/a
4	$\neg A$	Suposición para realizar una demostración indirecta	n/a
5	$(A\Rightarrow \neg B)\land (\neg B\Rightarrow A)$	Definición de equivalencia material	1
6	$(\neg B\Rightarrow A)\land (A\Rightarrow \neg B)$	Conmutatividad de la conjunción	5
7	$(\neg B\Rightarrow A)$	Eliminación de la conjunción (EC)	6
8	$B$	Modus tollens (MT)	4, 7
9	$\neg B$	Modus tollens (MT)	2, 3
10	$B\land \neg B$	Introducción de la conjunción (IC)	8, 9
11	$A$	Deducción indirecta	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Resultado:

El razonamiento es válido.

Proyecto: Lógica proposicional

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