Lógica proposicional/Deducciones condicionales/Evaluación

Evaluación de la lección 11

Deducciones condicionales

En cada uno de los siguientes ejercicios es necesario identificar las afirmaciones, expresarlas de forma simbólica, identificar las premisas y la conclusión y escribirlas como proposiciones compuestas definidas en términos de las afirmaciones. Finalmente se deben organizar en una tabla de deducción y utilizar las reglas de inferencia y las equivalencias lógicas para demostrar que la conclusión es una consecuencia lógica de las premisas. Para ejercitar los conceptos aprendidos durante la lección es necesario resolver los ejercicios usando deducciones condicionales, aun cuando es posible resolverlos usando la técnica de deducciones directas.

Ejercicio #1

Si Ana recibe un aumento entonces viajará a México. Si viaja a México visitará el sitio arqueológico de Teotihuacán. Por lo tanto, si Ana recibe un aumento entonces visitará el sitio arqueológico de Teotihuacán.

Solución

Afirmaciones: A: Ana recibe un aumento. B: Ana viaja a México. C: Ana visita el sitio arqueológico de Teotihuacán. Premisas: $A\Rightarrow B$ $B\Rightarrow C$ Conclusión: $A\Rightarrow C$ Razonamiento: Identificador Proposición Regla Dependencias 1 $A\Rightarrow B$ Premisa n/a 2 $B\Rightarrow C$ Premisa n/a 3 $A$ Suposición para realizar una demostración condicional n/a 4 $B$ Modus ponens (MP) 1, 3 5 $C$ Modus ponens (MP) 2, 4 6 $A\Rightarrow C$ Deducción condicional 3, 4, 5 Resultado: El razonamiento es válido. Comentario: En este caso se usó una deducción condicional para demostrar el procedimiento. Sin embargo el problema se puede resolver directamente utilizando la regla de inferencia: «Silogismo hipotético (SH)».

Ejercicio #2

Si exportamos productos a otros países los productores locales se beneficiarán. Si los compradores los aprovechan, su nivel de vida mejorará. Por lo tanto si exportamos productos a otros países y los compradores los aprovechan, entonces los productores locales se beneficiarán y el nivel de vida de los compradores mejorará.

Solución

Afirmaciones: A: Exportamos productos a otros países. B: Los productores locales se benefician. C: Los compradores aprovechan los productos. D: El nivel de vida de los compradores mejora. Premisas: $A\Rightarrow B$ $C\Rightarrow D$ Conclusión: $(A\land C)\Rightarrow (B\land D)$ Razonamiento: Identificador Proposición Regla Dependencias 1 $A\Rightarrow B$ Premisa n/a 2 $C\Rightarrow D$ Premisa n/a 3 $A\land C$ Suposición para realizar una demostración condicional n/a 4 $A$ Eliminación de la conjunción (EC) 3 5 $B$ Modus ponens (MP) 1, 4 6 $C\land A$ Conmutatividad de la conjunción 3 7 $C$ Eliminación de la conjunción (EC) 6 8 $D$ Modus ponens (MP) 2, 7 9 $B\land D$ Introducción de la conjunción (IC) 6, 8 10 $(A\land C)\Rightarrow (B\land D)$ Deducción condicional 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Resultado: El razonamiento es válido.

Ejercicio #3

Si los astronautas intentan viajar a Marte, será necesario un aislante muy pesado para protegerlos de la radiación solar. Un aislante muy pesado requerirá mucho combustible para impulsar la nave. Si llevan gran cantidad de combustible o de agua, la nave debe ser muy grande. Por lo tanto, si los astronautas intentan viajar a Marte, la nave debe ser muy grande.

Solución

Afirmaciones: A: Los astronautas intentan viajar a Marte. B: Será necesario un aislante muy pesado. C: Será necesario llevar mucho combustible. D: Será necesario llevar mucha agua. E: La nave debe ser muy grande. Premisas: $A\Rightarrow B$ $B\Rightarrow C$ $(C\lor D)\Rightarrow E$ Conclusión: $A\Rightarrow E$ Razonamiento: Identificador Proposición Regla Dependencias 1 $A\Rightarrow B$ Premisa n/a 2 $B\Rightarrow C$ Premisa n/a 3 $(C\lor D)\Rightarrow E$ Premisa n/a 4 $A$ Suposición para realizar una demostración condicional n/a 5 $B$ Modus ponens (MP) 1, 4 6 $C$ Modus ponens (MP) 2, 5 7 $C\lor D$ Introducción de la disyunción (ID) 6 8 $E$ Modus ponens (MP) 3, 7 9 $A\Rightarrow E$ Deducción condicional 4, 5, 6, 7, 8 Resultado: El razonamiento es válido.

Ejercicio #4

Si Matias ganó el concurso, entonces Pedro quedó en segundo lugar o Juan quedó de tercero. Pero sabemos que Juan no quedó en tercer lugar. Por lo tanto si Pedro no quedó de segundo, entonces Matias no ganó.

Solución

Afirmaciones: A: Matias ganó el concurso. B: Pedro quedó en segundo lugar. C: Juan quedó en tercer lugar. Premisas: $A\Rightarrow (B\lor C)$ $\neg C$ Conclusión: $\neg B\Rightarrow \neg A$ Razonamiento: Identificador Proposición Regla Dependencias 1 $A\Rightarrow (B\lor C)$ Premisa n/a 2 $\neg C$ Premisa n/a 3 $A$ Suposición para realizar una demostración condicional n/a 4 $B\lor C$ Modus ponens (MP) 1, 3 5 $C\lor B$ Conmutatividad de la disyunción 4 6 $B$ Silogismo disyuntivo (SD) 2, 5 7 $A\Rightarrow B$ Deducción condicional 3, 4, 5, 6 8 $\neg B\Rightarrow \neg A$ Contraposición lógica 7 Resultado: El razonamiento es válido.

Ejercicio #5

Si el asistente del ministro es encontrado culpable de corrupción y el ministro no lo despide, entonces le abrirán una investigación por corrupción a el también. Si el asistente es declarado inocente entonces no hay irregularidades con el manejo de los fondos, pero el comité de investigación si encontró irregularidades. Por lo tanto, si el ministro no despide al asistente entonces le abrirán una investigación por corrupción.

Solución

Afirmaciones: A: El asistente del ministro es encontrado culpable de corrupción. B: El ministro despide al asistente. C: El ministro es investigado por corrupción. D: Hay irregularidades en el manejo de los fondos. Premisas: $(A\land \neg B)\Rightarrow C$ $\neg A\Rightarrow \neg D$ $D$ Conclusión: $\neg B\Rightarrow C$ Razonamiento: Identificador Proposición Regla Dependencias 1 $(A\land \neg B)\Rightarrow C$ Premisa n/a 2 $\neg A\Rightarrow \neg D$ Premisa n/a 3 $D$ Premisa n/a 4 $\neg \neg A$ Modus tollens (MT) 2, 3 5 $A$ Doble negación 4 6 $\neg B$ Suposición para realizar una demostración condicional n/a 7 $A\land \neg B$ Introducción de la conjunción (IC) 5, 6 8 $C$ Modus ponens (MP) 1, 7 9 $\neg B\Rightarrow C$ Deducción condicional 6,7, 8 Resultado: El razonamiento es válido.

Proyecto: Lógica proposicional

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