Principales conjuntos numéricos

Aquí se listan los principales conjuntos de números. Su conocimiento es indispensable para un dominio básico del Álgebra y el Cálculo.

$\mathbb {C} \quad {\mbox{Complejos}}{\begin{cases}\mathbb {R} &{\mbox{Reales}}{\begin{cases}\mathbb {Q} &{\mbox{Racionales}}{\begin{cases}\mathbb {Z} &{\mbox{Enteros}}{\begin{cases}\mathbb {N} &{\mbox{Naturales}}{\begin{cases}1&{\mbox{Uno}}\\&{\mbox{Primos}}\\&{\mbox{Compuestos}}\end{cases}}\\0&{\mbox{Cero}}\\&{\mbox{Enteros negativos}}\end{cases}}\\\\&{\mbox{Fraccionarios}}{\begin{cases}{\mbox{Exactos}}\\{\mbox{Periódicos}}{\begin{cases}{\mbox{Puros}}\\{\mbox{Mixtos}}\end{cases}}\\\end{cases}}\\\end{cases}}\\\\&{\mbox{Irracionales}}\end{cases}}\\\\&{\mbox{Imaginarios}}\end{cases}}$

Números naturales

Artículo principal: Números naturales.

La exigencia y oportunidad de contar derivó necesariamente en la invención y el uso de los llamados actualmente números naturales. Aparecen en una gama de sistemas de numeración, en principio de carácter oral. Son los números más simples de los que hacemos uso, el conjunto de ellos se denota por $\mathbb {N}$. Entre estos números, en sucesión ascendente en representación indo-arábiga, son : 1,2,3,4,5... Se denominan también números enteros positivos.

$\mathbb {N} =\{1,2,3,4,...\}$

Sin embargo, José Peano en una de sus versiones, y Paul Halmos, entre otros, consideran el 0 (cero) como número natural. Que responde al número de alumnos en un aula vacía, entre infinidad de casos.

Más información en Wikipedia en español.

Números Enteros

La insuficiencia de los números naturales para contar deudas o temperaturas por debajo de cero lleva directamente a los números enteros. Se denotan por $\mathbb {Z}$ y están formados por los números naturales, sus inversos aditivos y el cero. El conjunto de los números enteros incluye a los naturales, $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z}$.

$\mathbb {Z} =\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...\}$.

Lección: Números enteros.

Números Racionales

La insuficiencia de los números enteros para denominar partes de unidad lleva directamente a los números racionales. Se denotan por $\mathbb {Q}$ y son todos aquellos que se pueden expresar de la forma ${\frac {p}{q}}$ donde ${p}$ y ${q}$ son enteros y $q\neq 0$. Estos pueden ser enteros (en el caso en que $q=1$), decimales finitos o decimales infinitos periódicos. El conjunto de los números racionales incluye a los enteros, $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q}$.

$\mathbb {Q} =\left\{x={\frac {p}{q}}\;:\quad p,q\in \mathbb {Z} \;\land \;q\neq 0\right\}$

Lección: Números racionales.

Números Irracionales

La insuficiencia de los racionales al intentar encontrar la medida exacta de la diagonal de un triángulo rectángulo con catetos de longitud 1 lleva a los números irracionales. Se denotan por $\mathbb {I}$. A veces se denota por $\mathbb {I}$ al conjunto de los números irracionales. Esta notación no es universal y muchos matemáticos la rechazan. Las razones son que el conjunto de números irracionales no constituyen ninguna estructura algebraica, como sí lo son los naturales ($\mathbb {N}$), los enteros ($\mathbb {Z}$), los racionales ($\mathbb {Q}$), los reales ($\mathbb {R}$) y los complejos ($\mathbb {C}$), por un lado, y que la $\mathbb {I}$ es tan apropiada para designar al conjunto de números irracionales como al conjunto de números imaginarios.

Números Reales

El conjunto de los números reales es la unión entre el conjunto de los números racionales y los irracionales:

$\mathbb {R} =\mathbb {Q} \cup \mathbb {I}$.

Lección: Curso de Matemáticas:Números reales

Más información en Wikipedia en español.

Números Complejos

La insuficiencia de los números reales para denotar raíces de polinomios como $x^{2}+1\,\!$ lleva a la concepción de los números complejos. Se denotan por $\mathbb {C}$. Las raíces del polinomio anterior son ${\sqrt {-1}}$ y $-{\sqrt {-1}}$, de manera que definimos el número $i\,\!$ para poder trabajar con sus raíces solucionar este problema, de manera que: $i={\sqrt {-1}}$. Todos los números complejos (también se les llama imaginarios) tienen la forma:

$z=a+bi\,\!$ donde $a\,\!$ y $b\,\!$ son números reales. Denominamos a $a\,\!$ parte real del complejo y a $bi\,\!$ parte imaginaria.

Cuando $b=0\,\!$, z es un número real, y cuando $a=0\,\!$, z es un número imaginario puro.

De aquí deducimos que los números reales están incluidos dentro del conjunto de los complejos, o lo que es lo mismo:

$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$

$\mathbb {Q} \cup \mathbb {I} =\mathbb {R}$

Estos números se suelen representar como vectores en un gráfico donde el eje x es la parte real del número y el eje y es la parte imaginaria. Como se pueden tratar como vectores, se pueden expresar principalmente de dos formas, en forma binómica y de forma polar.

Así podemos deducir que la suma de complejos cumple la regla del paralelogramo, es decir:

$z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\,\!$

El producto de complejos es:

En forma binómica:

$zw=(a+bi)(c+di)=ac+adi+cbi+bidi=(ac-bd)+(ad+cb)i\,\!$

En forma polar:

$r_{\alpha }s_{\beta }=(rs)_{\alpha +\beta }\,\!$

El cociente de complejos es:

En forma binómica:

${\frac {z}{w}}={\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}i$

En forma polar:

${\frac {r_{\alpha }}{s_{\beta }}}=(rs)_{\alpha -\beta }\,\!$

La raíz enésima de un complejo es:

En forma polar:

${\sqrt[{n}]{r_{\alpha }}}=({\sqrt[{n}]{r}})_{\frac {\alpha +2\pi k}{n}},k=0,1,2,3,...,n-1$

Las raíces enésimas de un complejo son los vértices del polígono regular de n lados.

Lecciones

• Números complejos
• Matemáticas:Número complejo

Referencias

• ya esta definido.