Principales conjuntos numéricos/Números racionales

Un pastel dividido en 4 porciones iguales.

La insuficiencia de los conjuntos anteriores para denominar partes de unidad provocó el origen de los números racionales, que permiten escribir partes o porciones de un número entero, en forma de cociente. El conjunto se representa como:

$\mathbb {Q} =\{x={\frac {p}{q}}:p,q\in \mathbb {Z} ,q\not =0\}$

Para convertir un número decimal en forma fraccionaría, debemos fijarnos en sus decimales:

• Si son finitos:

1. escribir el número sin comas.
2. dividirlo por potencias de 10 con tantos ceros como decimales tenga el número.

Ejemplos:

• $2,134={\frac {2134}{1000}}$
• $5,23={\frac {523}{100}}$

Si son infinitos:

Al tener infinitos decimales, que se pueden repetir periódica o semiperiódicamente, para simplificar la notación se agrega una barra sobre los números repetidos una vez, ejemplo:

• $1,333333333333333...=1,{\overline {3}}$
• $2,345112211221122...=2,345{\overline {1122}}$

Para transformar estos números a fracción se debe:

1. Anotar el número con notación simplificada sin coma ni barra periódica.
2. Dividir tal número por tantos nueves como cifras bajo la barra, y tantos ceros como decimales sin barra periódica.
3. Restar al númerador todo lo que no tenga barra, sin incluir las comas.

Ejemplos:

• $1,333333333333333...=1,{\overline {3}}={\frac {13-1}{9}}$
• $2,345112211221122...=2,345{\overline {1122}}={\frac {23451122-2345}{9999000}}$

Fracciones equivalentes

• Se define equivelencia a-b=c-d cuando ad=bc

Comparación de fracciones

• El paso de dividir un numerador y un denominador entre un mismo número se llama simplificación. Cuando la fracción no se puede seguir simplificando, se habla de una fracción irreducible. El paso de multiplicar un numerador y un denominador por un mismo número se denomina amplificación.

• Generalmente las fracciones se pueden amplificar de forma que tengan un mismo denominador, que sea múltiplo de los denominadores. Éste proceso se denomina reducción de fracciones a denominador común, y si se escoge el mínimo común múltiplo, reducción a mínimo común denominador.

• Para comparar dos o más fracciones, primero se reducen a común denominador y luego se comparan los nuevos numeradores; la fracción mas pequeña es aquella que tenga el numerador más pequeño.

Operaciones con fracciones

Suma y resta de fracciones

• Para sumar o restar números fraccionarios entre sí, los números enteros y fraccionarios tienen que estar expresados en las mismas unidades fraccionarias.

• Para sumar o restar número fraccionarios entre sí, previamente se deben haber reducido a dnominador común y entonces se suman o se restan los numeradores.

• En el caso de los números enteros y fraccionarios en una misma operación, los números enteros se expresan de forma fraccionaria, y luego se suman o se restan.

• La suma o resta de fracciones de igual denominador es una fracción que tiene como numerador la suma o la resta de los numeradores, y como denominador, el común.

Multiplicación y división de fracciones

• En el caso de la multiplicación de números fraccionarios, se multiplican los numeradores y los denominadores entre sí.

• En el caso de la multiplicación de números enteros y fraccionarios, los números enteros seran expresados en forma fraccionaria con denominador 1.

• El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene como numerador, el producto de numeradores, y como denominador, el productor de denominadores.

• Para dividir una fracción entre otra, se multiplica la primera por la inversa de la segunda, de forma que el numerador sea el producto de los extremos y el denominador el producto de los medianos.

• En el caso de la división de números enteros y fraccionarios, los números enteros se expresan en forma fraccionaria con denominador 1.

Jerarquía en las operaciones

Operaciones sin paréntesis

• El cálculo de tres o más operaciones se hace siguiendo un orden o jerarquía. Los criterios que se hacen servir son válidos para cualquier clase de números, y se aplican tanto en las calculadoras como en los ordenadores (hojas de cálculo).

• En el caso de las sumas y restas se sumará o restará sucesivamente de izquierda a derecha. Ej.:
  • 3+4+9=7+9=16
  • 9-4-3=5-3=2

• En el caso de las multiplicaciones y las divisiones se multiplicará o se dividira sucesivamente de izquierda a derecha. Ej.:
  • 2·3·4=6·4=24
  • 6:3:2=2:2=1

• En caso de que aparezcan todas las anteriores operaciones juntas se realizarán primero las multiplicaciones y divisiones y a continuación las sumas y las restas. Ej.:
  • 5+4:2=5+2=7
  • 5·3-2=15-2=13

Operaciones con paréntesis

• Cuando se quiere cambiar el orden de las operaciones se usa el paréntesis. Las operaciones que hay dentro del paréntesis se hacen según los criterios anteriores. Las operaciones que se hallen entre paréntesis se realizarán en primer lugar.