La Transformada de Fourier

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Introducción[editar]

Condiciones para que exista la transformada de Fourier cuando:

  • Es absolutamente integrable

  • f(t) continua por intervalos [a,b] finito


Para una f(t) real o compleja, con variable real t, se define la transformada de Fourier como:

Igualmente, tenemos la función inversa de Fourier:

De forma que se cumple


Es costumbre representar la transformada de fourier de una señal con la letra que lo representa en mayúsculas:

Alguna propiedad:

Integración:

La demostración es sencilla:


Análogamente:


Comentar que en matemáticas es usual dejar el resultado de la transformada de Fourier en función de ω, mientras que en ingeniería es más habitual dejarlo en f, debido a que se mantiene la simetría. Ambas estan relacionadas directamente.


Con la ventaja que en función de f, no tenemos ese divisor de 2π, por lo que mantiene la simetría, que es más comodo al realizar cálculos (sin embargo, no olvidar que la fase de la exponencial esta invertida).

Propiedades de la transformada de Fourier[editar]


Linearidad
Dualidad
Cambio de escala
Transformada de la conjugada
Translación en el tiempo
Translación en frecuencia
Derivación en el tiempo
Derivación en la frecuencia
Transformada de la integral
Transformada de la Convolución

Teorema de Parseval

Pares clásicos de la transformada de Fourier[editar]


Pulso rectangular

Pulso triangular

Delta de Dirac

Transformada de Fourier de una señal periódica[editar]

¿Cuál es la transformada de fourier de una señal periódica? Para saberlo usaremos el tren de deltas utilizado anteriormente, como función auxiliar.


Transformada de Fourier de una señal discreta[editar]