Pares clásicos de la transformada de Fourier

De Wikiversidad
Ir a la navegación Ir a la búsqueda

Tabla de Pares clásicos de la transformada de Fourier[editar]


Pulso rectangular

Pulso triangular

Delta de Dirac

Demostraciones:

Pulso rectangular[editar]

Se representa mediante el mismo símbolo que el productorio, siendo la función una fracción: la parte de arriba (t) representa en función de que variable esta , la parte de abajo (T) representa la extensión de la función, que irá desde –T/2 a T/2.


Pulso rectangular normalizada a T = 1


Ahora, la transformada de Fourier de un pulso rectangular:

Sinc(t)

Al ser este resultado bastante habitual, se representa muchas veces mediante la función sinc().

La función sinc() se usa especialmente por comodidad y no tener que usar límites, pues:


Nos obliga a utilizar límites para saber el resultado, en cambio:

Pulso Triangular[editar]

Función triangular normalizada a T = 1


Sabiendo que


Recuérdese que, mientras que el pulso de rectangular tiene una anchura de T (llega de –T/2 hasta T/2), el pulso triangular tiene una anchura de 2T (desde –T a T). Es conveniente recordarlo, pues suele ser un error habitual.

Funcion sign(t)[editar]

La función sign(t) es una función auxiliar bastante utilizada en áreas de telecomunicacion que, además, es fácilmente representable:

Sign(t)

El valor de sign(t) cuando t=0 es:

Veamos ahora, su transformada de Fourier:

Usaremos integración por partes y las propiedades de Fourier para sacar su transformada. Realizaremos la transformada de la parte positiva, usando funciones auxiliares y cambios de variables.

Función u(t)[editar]

La siguiente función, llamada Heaviside step function, o la funcion escalon unidad, se define:

función escalón considerando u(0) = 1/2

Para solucionar el valor de u(t) cuando t=0, se usa:

Ahora, la transformada de Fourier:


Para clarificar la aparición de la delta, también podemos obtenerla representando u(t) en función de sign(t).

Esta función resulta muy útil como función auxiliar, pues las señales solo existen a partir de un momento en el tiempo, a modo de ejemplo:

Delta de Dirac[editar]

Diagrama esquemático de la función delta de Dirac

La función delta de Dirac es una función muy especial tanto por su forma como por sus propiedades, se denota como:

Entre sus propiedades:

Su transformada de Fourier es:

También tenemos que:

Está relacionada con la función escalón unidad de la siguiente manera:

y también tenemos:

La mejor de entender la funcion delta de Dirac, es relacionarlo con la funcion sinc().

Sinθ y Cosθ[editar]

Demostracion:

Análogamente:

Tren de deltas[editar]

Primeramente, apreciamos que un sumatorio de deltas (llamado comunmente tren de deltas) es una señal periodica, por lo que puede ser representada como suma de senos y cosenos según la serie de Fourier: Llamemos al periodo de la señal Ts.