Condensadores 1

Un condensador eléctrico (también conocido frecuentemente en Hispanoamérica con el anglicismo capacitor, pero adaptado a la fonética del español) es un dispositivo pasivo, utilizado en electricidad y electrónica. Está formado por un par de superficies conductoras, generalmente en forma de láminas o «placas», en situación de influencia total (esto es, que todas las líneas de campo eléctrico que parten de una van a parar a la otra) separadas por un material dieléctrico o por vacío. Las placas, sometidas a una diferencia de potencial, adquieren una determinada carga eléctrica, positiva en una de ellas y negativa en la otra, siendo nula la variación de carga total. (definición de Es-Wiki)

En física matematizaremos los atributos y propiedades de los condensadores de forma que podamos calcular y trabajar con estos objetos de manera precisa. Como se define en la Wikipedia en Español (el primer párrafo de esta página) un condensador es un elemento electrónico compuesto de dos superficies conductoras a las que se le induce una diferencia de potencial tal que se genera un campo eléctrico entre las mismas. Esta diferencia de potencial se suele inducir mediante baterías.

La capacidad

La capacidad es el atributo mas importante de un condensador, cuantifica mediante un cociente matemático que ahora detallaremos, la cantidad de energía eléctrica que el condensador puede almacenar. Matemáticamente se describe como:

$C={\frac {Q}{V}}$ (Unidades: Faradays)

Es decir, la capacidad es definida como el cociente entre la carga almacenada y la diferencia de potencial entre las placas. De esta forma observamos como la capacidad del condensador cambiará en función de la diferencia de potencial.

Tipos de condensadores

Placas Paralelas

Como sabemos podemos calcular el campo eléctrico creado entre dos placas conductoras (cálculo de campos eléctricos) de forma que este es $E={\frac {\sigma }{\epsilon _{0}}}$ . De esta forma podemos calcular el potencial V que se genera mediante la fórmula $V=E*d$ (como se vio en cálculo de potenciales), de forma que:

$V=E*d={\frac {\sigma }{\epsilon _{0}}}*d$

con σ siendo la densidad de carga de forma que $\sigma ={\frac {Q}{A}}$ y sustituyendo, obtenemos:

$V={\frac {Q*d}{\epsilon _{0}*A}}$

ahora sustituyendo en la expresión para la capacidad:

$C={\frac {Q}{V}}={\frac {Q}{\frac {Q*d}{\epsilon _{0}*A}}}={\frac {\epsilon _{0}*A}{d}}$

así pues la capacidad de un condensador formado por dos placas paralelas es:

$C={\frac {\epsilon _{0}*A}{d}}$

donde d es la distancia entre ambas placas, como vemos si d es muy grande C se hará cada vez mas pequeño hasta que llegue a un límite en el que el condensador deja de ser funcional, es por esto que la distancia entre las placas del mismo ha de ser pequeña.

Condensador esférico

Por el teorema de Gauss podemos afirmar que solo habrá campo eléctrico en las dos esferas cargadas

Analicemos las cargas encerradas en superficies gaussianas concéntricas entorno a la carga positiva.

Para un radio r menor que el de la carga central la superficie gaussiana no tendría ninguna carga neta en su interior, recordemos que las cargas se distribuyen por la corteza del material.

Para un radio r mayor que el de la corteza negativa la carga neta encerrada se anula y es cero (ambas placas han de tener la misma carga pero de diferente signo para ser un condensador).
Para un radio r mayor que el de la carga positiva pero menor que el de la corteza negativa obtenemos una superficie gaussiana con una carga neta encerrada +Q . Este es un supuesto que ya ha sido calculado previamente (véase; teorema de gauss ejemplo 1) y que resulta en un campo generado en todas las direcciones con valor: $E={\frac {Q}{4\pi r^{2}\epsilon _{0}}}({\frac {V}{m}})$

Podemos calcular la diferencia de potencial entre las placas esféricas mediante una integral definida entre a y b (siendo a el radio de la esfera cargada positivamente, y b el radio de la corteza negativa), tal que:

$V=V_{a}-V_{b}=-\int _{b}^{a}E*dl=-\int _{b}^{a}{\frac {Q}{4\pi r^{2}\epsilon _{0}}}*dr=-{\frac {Q}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{b}^{a}{\frac {1}{r^{2}}}*dr=-{\frac {Q}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {1}{r}}\right]_{b}^{a}$

con $k={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}$ y desarrollando por la Regla de Barrow para las integrales definidas:

$V=-{\frac {Q}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {1}{r}}\right]_{b}^{a}=k*Q{\biggl (}{\frac {1}{r_{a}}}-{\frac {1}{r_{b}}}{\biggr )}={\frac {kQ}{r_{a}}}-{\frac {kQ}{r_{b}}}={\frac {kQ(r_{b}-r_{a})}{r_{a}r_{b}}}$

con lo que V es:

$V={\frac {kQ(r_{b}-r_{a})}{r_{a}r_{b}}}$

Aplicando la fórmula de la capacidad obtenemos:

$C={\frac {Q}{V}}={\frac {Q}{\frac {kQ(r_{b}-r_{a})}{r_{a}r_{b}}}}={\frac {r_{a}r_{b}}{k(r_{b}-r_{a})}}\equiv {\frac {4\pi \epsilon _{0}r_{a}r_{b}}{r_{b}-r_{a}}}$

con lo que la capacidad en con condensador de pacas esféricas es:

$C={\frac {r_{a}r_{b}}{k(r_{b}-r_{a})}}\equiv {\frac {4\pi \epsilon _{0}r_{a}r_{b}}{r_{b}-r_{a}}}$

Condensador cilíndrico

Por el mismo motivo que en el condensador esférico tan solo se genera campo eléctrico entre las cortezas positiva (interior) y negativa (exterior) (las posiciones interior/exterior realmente son intercambiables, basta con que sean de diferente signo e igual carga, pasa lo mismo en el condensador esférico).

Calculemos pues el campo eléctrico entre las dos placas cilíndricas, por el teorema de gauss:

$\phi =\phi _{1}+\phi _{2}+\phi _{3}=0+\phi _{2}+0=\phi _{2}=\oint E*dS*cos(0)=E*S$

$E*2\pi rL={\frac {Q_{e}}{\epsilon _{0}}}\Rightarrow E={\frac {Q_{e}}{2\pi rL\epsilon _{0}}}$

Con el campo eléctrico calculado podemos calcular el potencial entre ambas placas:

$V=V_{a}-V_{b}=-\int _{b}^{a}E*dl\Rightarrow -\int _{b}^{a}{\frac {Q_{e}}{2\pi rL\epsilon _{0}}}*dr=-{\frac {Q_{e}}{2\pi L\epsilon _{0}}}\int _{b}^{a}{\frac {1}{r}}*dr=-{\frac {Q_{e}}{2\pi L\epsilon _{0}}}\left[\ln(r)\right]_{b}^{a}=-{\frac {Q_{e}}{2\pi L\epsilon _{0}}}\ln({\frac {r_{a}}{r_{b}}})\equiv {\frac {Q_{e}}{2\pi L\epsilon _{0}}}\ln({\frac {r_{b}}{r_{a}}})$

Con lo que:

$V=-{\frac {Q_{e}}{2\pi L\epsilon _{0}}}\ln({\frac {r_{a}}{r_{b}}})\equiv {\frac {Q_{e}}{2\pi L\epsilon _{0}}}\ln({\frac {r_{b}}{r_{a}}})$

Sustituyendo en la fórmula de la capacidad tenemos que:

$C={\frac {Q}{V}}={\frac {Q}{{\frac {Q}{2\pi L\epsilon _{0}}}\ln({\frac {r_{b}}{r_{a}}})}}={\frac {2\pi L\epsilon _{0}}{\ln({\frac {r_{b}}{r_{a}}})}}$

Con esto tenemos expresiones para los tres tipos de condensadores mas comunes y que mas vamos a estudiar.

Proyecto: Física General

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