El teorema de Gauss

En física, la ley de Gauss, relacionada con el teorema de la divergencia o teorema de Gauss, establece que el flujo de ciertos campos a través de una superficie cerrada es proporcional a la magnitud de las fuentes de dicho campo que hay en el interior de la misma superficie. Estos campos son aquellos cuya intensidad decrece como la distancia a la fuente al cuadrado. La constante de proporcionalidad depende del sistema de unidades empleado. (definición de Es-Wiki)

El flujo

Como se ve en la definición una parte fundamental del teorema de Gauss es el uso del concepto del flujo, el flujo se define matemáticamente de la siguiente manera, empleándose de normal la letra griega Φ:

Flujo_Magnetico — En esta imagen se representa el flujo en un campo magnético, para nuestra fórmula S equivale a A y B a E.

$\Phi =E*A*cos(\Theta )$ (haga click en la imagen para ver que variables nos corresponden)

Aclarar que en la fórmula el angulo theta que se ve en el coseno es el ángulo (como se muestra en la imagen) entre el vector superficie (A, que siempre es perpendicular a la misma) y el vector campo (E en este caso), la explicación es trivial, no habrá el mismo número de lineas de campo en una superficie horizontal que en un vertical.

Conceptualmente el flujo es la cantidad de lineas de campo (E) que atraviesan una superficie cerrada de área (A), de manera informal podría entenderse como la "cantidad de campo que atraviesa la superficie".

Superfices gaussianas

Definiremos como superficies gaussianas aquellas superficies imaginarias que estipulemos y que no tienen efecto real sobre el campo E (las usaremos para calcular el flujo en determinadas zonas del espacio).

Enunciado del teorema

El teorema pues dice lo siguiente;

"El flujo total que atraviesa una superficie de area A es igual al valor neto de la fuente"

Para calcular el campo eléctrico en nuestro caso lo aplicaremos de la siguiente manera:

$\Phi =E*A*cos(\Theta )={\frac {Q}{\epsilon _{0}}}$

Así pues, el flujo que atraviesa una superficie gaussiana es proporcional a la fuente que lo genera (la carga Q encerrada) partida de la constante de proporcionalidad (Epsilon subcero)

Con todo esto podemos calcular el campo eléctrico en diferentes superficies gaussianas bien definidas como por ejemplo, un cubo.

Ejemplo 1: calculo del campo generado por una carga Q en una esfera

Sea Q una carga puntual positiva de radio despreciable el campo eléctrico que genera es el siguiente:

$\Phi =\oint E*dS=E*\oint dS=E*4\pi r^{2}$

De forma que:

$\Phi =E*4\pi r^{2}={\frac {Q}{\epsilon _{0}}}\Rightarrow E={\frac {Q}{4\pi r^{2}\epsilon _{0}}}({\frac {V}{m}})$

Ejercicios para practicar

Proyecto: Física General

Anterior: Cálculo de potenciales — El teorema de Gauss — Siguiente: Condensadores 1