Cálculo de la probabilidad de error para las diferentes modulaciones

Conceptos previos

$M:$ Número de estados diferentes

$E_{b}:$ Energía por bit

$E_{s}:$ Energía por símbolo

$E_{sc}:$ Energía por symbol-carrier, por portadora

$P_{b}:$ Probabilidad de error de bit

$P_{s}:$ Probabilidad de error de símbolo

$P_{sc}:$ Probabilidad de error de símbolo-carrier, por portadora

$P_{bc}:$ Probabilidad de error de bit-carrier, por portadora

La relación entre la energía por bit y por símbolo:

${\begin{aligned}&k=\log _{2}\left(M\right)\\&E_{s}=k\cdot E_{b}=\log _{2}\left(M\right)\cdot E_{b}\\\end{aligned}}$

Tiene lógica que necesitemos mas energía por símbolo, pues en un solo símbolo podemos transmitir 2,3,4… bits, por lo que la energía necesaria para transmitir un solo bit sería la mitad, un tercio, un cuarto ….

Nuestra modulación digital podemos representarla como:

$s_{T}(t)=A_{c}\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }{a_{I_{k}}p\left(t-kT_{s}\right)\cos \left(\omega _{c}t\right)-A_{c}\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }{a_{Q_{k}}p\left(t-kT_{s}\right)\sin \left(\omega _{c}t\right)}}$

Al demodular, tendremos bien la señal in-phase o la quadrature. Por ejemplo, al demodular la in-phase:

$y_{R}(t)=A_{c}\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }{a_{I_{k}}p\left(t-kT_{s}\right)}$

La energía de esta señal $a_{I_{k}}$ ( o de $a_{Q_{k}}$ ) la llamamos $E_{sc}$ . Como la señal in-phase y quadrature son independientes entre ellas, es lógico pensar que, del número total de bits/símbolo de la modulación digital, cada una de ellas nos proporciona la mitad de bits, por lo que: $E_{s}=2E_{sc}$ . Por ejemplo:

Modulación	$M$	$\log _{2}\left(M\right)$ (bits)	$a_{I_{k}}$ (bits)	$a_{Q_{k}}$ (bits)
$QPSK$	$4$	$2bits$	$1bit$	$1bit$
$16-QAM$	$16$	$4bits$	$2bits$	$2bits$
$64-QAM$	$64$	$6bits$	$3bits$	$3bits$

${\begin{aligned}&s_{T}(t)=\underbrace {A_{c}\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }{a_{I_{k}}p\left(t-kT_{s}\right)\cos \left(\omega _{c}t\right)}} _{E_{sc_{1}},P_{sc_{1}}}-\underbrace {A_{c}\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }{a_{Q_{k}}p\left(t-kT_{s}\right)\sin \left(\omega _{c}t\right)}} _{E_{sc_{2}},P_{sc_{2}}}\to \\&E_{sc_{1}}=E_{sc_{2}}\\&E_{s_{TOT}}=E_{sc_{1}}+E_{sc_{2}}\to E_{s}=2\cdot E_{sc}\\&E_{s}=\log _{2}\left(M\right)\cdot E_{b}\\&E_{sc}\to P_{sc}\\&E_{s}\to P_{s}\\&P_{s}=1-\left(1-P_{sc_{1}}\right)\cdot \left(1-P_{sc_{2}}\right)=1-\left(1-P_{sc}\right)^{2}\\&P_{s}=1-\left(1-P_{sc}\right)^{2}=1-\left(1+P_{sc}^{2}-2P_{sc}\right)=2P_{sc}-P_{sc}^{2}\\&P_{sc}\leq 1\to P_{sc}^{2}\ll P_{sc}\\&P_{s}\approx 2P_{sc}\\&\\\end{aligned}}$

Relación prob. de error de símbolo y prob. de error de bit

La relación entre $P_{s}$ y $P_{b}$ es:

$P_{s}=1-\left(1-P_{b}\right)^{k}$ siendo $k=\log _{2}M$

Pero, usando codificación Gray, y suponiendo que un error de símbolo solo produce un error de bit, tenemos que:

${\begin{aligned}&P_{s}\to 1bit\\&P_{s}\leftrightarrow P_{b}?\\&k=\log _{2}M\to \\&{\frac {P_{s}}{k}}\approx P_{b}\\&P_{s}\approx k\cdot P_{b}\\\end{aligned}}$

Podemos verlo intuitivamente: Si un símbolo equivale a dos bits, y hay un error en el símbolo, la probabilidad de error de bit será la mitad que la probabilidad de error del símbolo (suponiendo que el error solo puede ser de un bit), porque el error solo afectará a uno de los bit, siendo el otro correcto. Si el símbolo equivale a 10 bits, la probabilidad de error de bit será 10 veces menor, porque de los 10 bits solo 1 estará corrupto (debido a la asunción que hemos hecho) y los otros nueve correctos.

Para la probabilidad de error de bit por portadora, es análogo:

${\begin{aligned}&P_{s}\simeq k\cdot P_{b}\to \\&P_{sc}\simeq k\cdot P_{bc}\\\end{aligned}}$

Demodulación

${\begin{aligned}&s_{T}(t)=A_{c}\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }{a_{I_{k}}p\left(t-kT_{s}\right)\cos \left(\omega _{c}t\right)-A_{c}\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }{a_{Q_{k}}p\left(t-kT_{s}\right)\sin \left(\omega _{c}t\right)}}\\&y_{T}(t)=s_{T}(t)+n(t)\\&y_{R_{1}}(t)=y_{T}(t)\cdot \cos \left(\omega _{c}t\right)=s_{T}(t)\cos \left(\omega _{c}t\right)+n(t)\cos \left(\omega _{c}t\right)\to \left|H_{LPF}\left(f\right)\right|^{2}\\&y_{R_{1}}(t)=A_{R}\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }{a_{I_{k}}p\left(t-kT_{s}\right)+n_{I}(t)}\\&y_{R_{2}}(t)=y_{T}(t)\cdot \sin \left(\omega _{c}t\right)=s_{T}(t)\sin \left(\omega _{c}t\right)+n(t)\sin \left(\omega _{c}t\right)\to \left|H_{LPF}\left(f\right)\right|^{2}\\&y_{R_{2}}(t)=A_{R}\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }{a_{Q_{k}}p\left(t-kT_{s}\right)+n_{Q}(t)}\\\end{aligned}}$

ASK

Una señal ASK es una codificación unipolar NRZ, caso particulr OOK, modula una portadora coseno, por lo que al demodular tendremos:

${\begin{aligned}&s_{ASK}(t)=A_{c}\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }{a_{k}p\left(t-kT_{s}\right)\cos \left(\omega _{c}t\right)}\\&y_{R}(t)=A_{R}\underbrace {\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }{a_{k}p\left(t-kT_{s}\right)}} _{s_{I}(t)=s_{NRZ}(t)}+n_{I}(t)\\&a_{k}=\left\{0,+A\right\}\\&A=1\\&P_{e}=p_{'1'}\cdot Q\left({\frac {\left|V_{T}-m\right|}{\sqrt {\sigma ^{2}}}}\right)+p_{'0'}\cdot Q\left({\frac {\left|V_{T}-m\right|}{\sqrt {\sigma ^{2}}}}\right)\\&NRZ\to P_{e}=Q\left({\sqrt {\frac {E_{b}}{\eta }}}\right)\\&ASK\to Q\left({\sqrt {\frac {E_{b}}{\eta }}}\right)\\\end{aligned}}$

4ASK

Artículo principal: Prob. de error de 4ASK.

${\begin{aligned}&s_{4-ASK}(t)=A_{c}\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }{a_{I_{k}}p\left(t-kT_{s}\right)\cos \left(\omega _{c}t\right)}\\&a_{I_{k}}=\left\{0,A,+2A,+3A\right\}\\\end{aligned}}$

La constelación de una señal ASK de 4 niveles es:

La probabilidad de error es:

$P_{s}\simeq {\frac {3}{2}}Q\left({\sqrt {\frac {E_{s}}{7\eta }}}\right)={\frac {3}{2}}Q\left({\sqrt {\frac {2E_{b}}{7\eta }}}\right)$

M-ASK

Artículo principal: Prob. de error de M-ASK.

${\begin{aligned}&s_{M-ASK}(t)=A_{c}\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }{a_{I_{k}}p\left(t-kT_{s}\right)\cos \left(\omega _{c}t\right)}\\&a_{I_{k}}=\left\{0,A,+2A,...\left(M-1\right)A\right\}\\\end{aligned}}$

La probalidad de error para una señal ASK de M niveles es:

$P_{s}=2\cdot {\frac {M-1}{M}}Q\left({\sqrt {{\frac {3}{\left(M-1\right)\left(2M-1\right)}}{\frac {E_{b}}{\eta }}}}\right)$

FSK

Al igual que en ASK, FSK son (dos) señales ASK a frecuencias portadoras cercanas, una para los Ceros y otra para los Unos, que a su vez son codificaciones NRZ.

$FSK\to Q\left({\sqrt {\frac {E_{b}}{\eta }}}\right)$

BPSK

En BPSK, al tener solo 2 símbolos:

$E_{sc}=E_{s}=E_{b}$

por lo que: $P_{sc}=P_{s}=P_{b}$

Para BSK, al demodular tenemos una codificación polar, por lo que:

${\begin{aligned}&y_{R}(t)=A_{R}\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }{I_{k}p\left(t-kT_{s}\right)+n_{I}(t)}\\&I_{k}=\left\{-1,+1\right\},Q_{k}=0\\&A=+1\\&a_{k}=\left\{{\begin{aligned}&a_{'1'}=A\\&a_{'0'}=-A\\\end{aligned}}\right.\\&m_{'1'}=\int _{0}^{T_{s}}{s_{'1'}(t)kp^{*}\left(t\right)\partial t}=\int _{0}^{T_{s}}{Ap(t)p^{*}\left(t\right)\partial t}=AT_{s}\\&m_{'0'}=\int _{0}^{T_{s}}{s_{'0'}(t)kp^{*}\left(t\right)\partial t}=\int _{0}^{T_{s}}{-Ap(t)p^{*}\left(t\right)\partial t}=-AT_{s}\\&V_{T}=0\\&P_{e}\left(Polar\right)=P_{e}\left(BPSK\right)\\&P_{e}=p_{'1'}\cdot Q\left({\frac {\left|V_{T}-m\right|}{\sqrt {\sigma ^{2}}}}\right)+p_{'0'}\cdot Q\left({\frac {\left|V_{T}-m\right|}{\sqrt {\sigma ^{2}}}}\right)=Q\left({\sqrt {\frac {2A^{2}T_{s}}{\eta }}}\right)=Q\left({\sqrt {\frac {2E_{b}}{\eta }}}\right)\\\end{aligned}}$

QPSK

Artículo principal: Prob. de error de QPSK.

La probabilidad de error de QPSK es la misma que la de BPSK.

$QPSK\to Q\left({\sqrt {\frac {2E_{b}}{\eta }}}\right)$

MSK

Como se explicó, la señal MSK es una modulación OQPSK que utiliza senoides en vez de pulsos rectangulares, por ello, su probabilidad de error es la misma que la de QPSK.

$MSK\to Q\left({\sqrt {\frac {2E_{b}}{\eta }}}\right)$

4PSK

Una señal 4PSK demodulada es equivalente a una codificación bipolar, por la que:

$P_{e}\simeq {\frac {3}{2}}Q\left({\sqrt {\frac {E_{b}}{\eta }}}\right)$

Esta modulación no es usada, pues su probabilidad de error es mayor que la de QPSK.

M-PSK

Formula aproximada (falta demostración):

${\begin{aligned}&P_{sc}\left(M\right)\simeq Q\left({\sqrt {\frac {2E_{s}}{\eta }}}\sin \left({\frac {\pi }{M}}\right)\right)\\&\\&P_{s}\left(M\right)\simeq 2Q\left({\sqrt {\frac {2E_{s}}{\eta }}}\sin \left({\frac {\pi }{M}}\right)\right)\to Q(x)={\frac {1}{2}}erfc\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\\&P_{s}\left(M\right)\simeq erfc\left({\sqrt {\frac {E_{s}}{\eta }}}\sin \left({\frac {\pi }{M}}\right)\right)\\\end{aligned}}$