Cálculo de la probabilidad de error para las diferentes modulaciones/Prob. de error de M-QAM rectangular

Para una señal 4-QAM, los posibles niveles eran 2 por portadora:

$\begin{matrix} a_{I_{k}} = {\pm \frac{1}{\sqrt{2}}} \\ a_{Q_{k}} = {\pm \frac{1}{\sqrt{2}}} \end{matrix}$

Para una señal 16-QAM, los posibles niveles eran 4 por portadora:

$\begin{matrix} a_{I_{k}} = {\pm \frac{1}{\sqrt{2}}, \pm \frac{3}{\sqrt{2}}} \\ a_{Q_{k}} = {\pm \frac{1}{\sqrt{2}}, \pm \frac{3}{\sqrt{2}}} \end{matrix}$

Generalizando:

$\begin{matrix} a_{I_{k}} = a_{Q_{k}} = {\pm \frac{1}{\sqrt{2}}, \pm \frac{3}{\sqrt{2}}, \pm \frac{2 n + 1}{\sqrt{2}}, ...}, n = 0, 1, 2... + \frac{\sqrt{M}}{2} - 1 \\ A = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}$

Por lo que al demodular, tendremos en total $\sqrt{M}$ símbolos. La probabilidad de error será:

Para los símbolos de las esquinas:

$p (s i m b o l o) \cdot Q (\frac{A T_{s}}{\sqrt{σ^{2}}})$

Para todos los demás:

$p (s i m b o l o) \cdot 2 Q (\frac{A T_{s}}{\sqrt{σ^{2}}})$

El 2 es debido a que el error puede producirse tanto por demodular incorrectamente por la izquierda, como por demodular incorrectamente por la derecha.

Entonces, de todos los símbolos, 2 de ellos tendrán la primera probabilidad de error, mientras que todos los demás tendrán la última. Si tenemos M niveles, tenemos $\log_{2} (M)$ bits. Si la señal es rectangular, $\sqrt{M}$ símbolos.

La probabilidad de símbolo es sencilla:

$\begin{matrix} 4 Q A M \to M = 4 \to \sqrt{M} = \sqrt{4} = 2 \to p r = \frac{1}{2} \\ 16 Q A M \to M = 16 \to \sqrt{M} = \sqrt{16} = 4 \to p r = \frac{1}{4} \\ M - Q A M \to p r = \frac{1}{\sqrt{M}} \end{matrix}$

$\begin{matrix} P_{s c} = 2 \times \frac{1}{\sqrt{M}} \cdot Q (\frac{A T_{s}}{\sqrt{\frac{η}{2} T_{s}}}) + \sum_{i = 1}^{\sqrt{M} - 2} \frac{1}{\sqrt{M}} \cdot 2 Q (\frac{A T_{s}}{\sqrt{\frac{η}{2} T_{s}}}) = \\ 2 \times \frac{1}{\sqrt{M}} \cdot Q (\frac{A T_{s}}{\sqrt{\frac{η}{2} T_{s}}}) + (\sqrt{M} - 2) \frac{1}{\sqrt{M}} \cdot 2 Q (\frac{A T_{s}}{\sqrt{\frac{η}{2} T_{s}}}) = \\ (2 + (\sqrt{M} - 2) \cdot 2) \frac{1}{\sqrt{M}} \cdot Q (\frac{A T_{s}}{\sqrt{\frac{η}{2}}}) = (2 + 2 \sqrt{M} - 4) \frac{1}{\sqrt{M}} \cdot Q (\frac{A T_{s}}{\sqrt{\frac{η}{2}}}) = \\ (2 \sqrt{M} - 2) \frac{1}{\sqrt{M}} \cdot Q (\sqrt{\frac{2 A^{2} T_{s}}{η}}) = 2 \frac{(\sqrt{M} - 1)}{\sqrt{M}} \cdot Q (\sqrt{\frac{2 A^{2} T_{s}}{η}}) = \\ 2 (1 - \frac{1}{\sqrt{M}}) \cdot Q (\sqrt{\frac{2 A^{2} T_{s}}{η}}) \end{matrix}$

Ahora, la energía por portadora será ( $E_{s c}$ ):

$\begin{matrix} a_{I_{k}} = a_{Q_{k}} = {\pm A, \pm 3 A, \pm (2 n + 1) A, ...}, n = 0, 1, 2... \frac{\sqrt{M}}{2} - 1; A = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 4 - Q A M \to E_{s c} = A^{2} T_{s} \\ 16 - Q A M \to E_{s c} = \frac{1}{2} A^{2} T_{s} + \frac{1}{2} {(\pm 3 A)}^{2} T_{s} = \frac{1}{2} A^{2} T_{s} + \frac{1}{2} 9 A^{2} T_{s} = 5 A^{2} T_{s} \\ 4 - Q A M \to \frac{\sqrt{M = 4}}{2} - 1 = 0 \\ 16 - Q A M \to \frac{\sqrt{M = 16}}{2} - 1 = 1 \\ M - Q A M \to E_{s c} = \frac{1}{\sqrt{M}} \sum_{i = 0}^{+ \frac{\sqrt{M}}{2} - 1} 2 {(2 i + 1)}^{2} \cdot A^{2} T_{s} = \frac{1}{\sqrt{M}} A^{2} T_{s} \sum_{i = 0}^{+ \frac{\sqrt{M}}{2} - 1} 2 {(2 i + 1)}^{2} = \\ \frac{1}{\sqrt{M}} A^{2} T_{s} \sum_{i = 0}^{+ \frac{\sqrt{M}}{2} - 1} 2 {(2 i + 1)}^{2} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{M}} A^{2} T_{s} 2 \sum_{i = 0}^{+ \frac{\sqrt{M}}{2} - 1} 4 i^{2} + 1 + 4 i \to \sum_{i = 0}^{+ \frac{\sqrt{M}}{2} - 1} 4 i^{2} + 1 + 4 i = \sum_{i = 0}^{+ \frac{\sqrt{M}}{2} - 1} 1 + 4 \sum_{i = 0}^{+ \frac{\sqrt{M}}{2} - 1} i + 4 \sum_{i = 0}^{+ \frac{\sqrt{M}}{2} - 1} i^{2} = \\ \sum_{i = 1}^{n} a = n a \to \sum_{i = 0}^{+ \frac{\sqrt{M}}{2} - 1} 1 = \frac{\sqrt{M}}{2} \\ \sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2} \to 4 \sum_{i = 0}^{+ \frac{\sqrt{M}}{2} - 1} i = 4 \times \frac{(\frac{\sqrt{M}}{2} - 1) \frac{\sqrt{M}}{2}}{2} = 4 \times \frac{\frac{M}{4} - \frac{\sqrt{M}}{2}}{2} = \frac{M - 2 \sqrt{M}}{2} \\ \sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} \to 4 \sum_{i = 0}^{+ \frac{\sqrt{M}}{2} - 1} i^{2} = 4 \times \frac{(\frac{\sqrt{M}}{2} - 1) \frac{\sqrt{M}}{2} (\sqrt{M} - 1)}{6} = \\ 4 \times \frac{(\frac{M}{4} - \frac{\sqrt{M}}{2}) (\sqrt{M} - 1)}{6} = 4 \times \frac{(- \frac{M}{4} + \frac{\sqrt{M}}{2} + \frac{\sqrt{M} M}{4} - \frac{M}{2})}{6} = 4 \times \frac{(- \frac{3 M}{4} + \frac{\sqrt{M} (M + 2)}{4})}{6} = \\ \frac{- 3 M + \sqrt{M} (M + 2)}{6} \\ \frac{1}{\sqrt{M}} A^{2} T_{s} 2 \sum_{i = 0}^{+ \frac{\sqrt{M}}{2} - 1} 4 i^{2} + 1 + 4 i = \frac{1}{\sqrt{M}} A^{2} T_{s} 2 (\frac{\sqrt{M}}{2} + \frac{M - 2 \sqrt{M}}{2} + \frac{- 3 M + \sqrt{M} (M + 2)}{6}) = \\ \frac{1}{\sqrt{M}} A^{2} T_{s} 2 (\frac{+ \sqrt{M} (M + 2 + 3 - 6)}{6}) = \frac{1}{\sqrt{M}} A^{2} T_{s} 2 (\frac{+ \sqrt{M} (M - 1)}{6}) = A^{2} T_{s} 2 (\frac{M - 1}{6}) \\ E_{s c} = A^{2} T_{s} 2 (\frac{M - 1}{6}) = A^{2} T_{s} (\frac{M - 1}{3}) \\ E_{s} = \log_{2} (M) \cdot E_{b} \\ E_{s} = 2 \cdot E_{s c} \to \\ E_{s c} = A^{2} T_{s} (\frac{M - 1}{3}) \to E_{s} = 2 A^{2} T_{s} (\frac{M - 1}{3}) \end{matrix}$

$\begin{matrix} P_{s c} = 2 (1 - \frac{1}{\sqrt{M}}) \cdot Q (\sqrt{\frac{2 A^{2} T_{s}}{η}}) \\ E_{s} = 2 A^{2} T_{s} (\frac{M - 1}{3}) \leftrightarrow 2 A^{2} T_{s} = \frac{E_{s} 3}{M - 1} \\ P_{s c} = 2 (1 - \frac{1}{\sqrt{M}}) \cdot Q (\sqrt{\frac{2 A^{2} T_{s}}{η}}) = 2 (1 - \frac{1}{\sqrt{M}}) \cdot Q (\sqrt{\frac{3}{M - 1} \frac{E_{s}}{η}}) \\ P_{s c} = 2 (1 - \frac{1}{\sqrt{M}}) \cdot Q (\sqrt{\frac{3}{M - 1} \frac{E_{s}}{η}}) = 2 (1 - \frac{1}{\sqrt{M}}) \cdot Q (\sqrt{\frac{3}{M - 1} \frac{\log_{2} (M) E_{b}}{η}}) \end{matrix}$