Principales conjuntos numéricos

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Aquí se listan los principales conjuntos de números. Su conocimiento es indispensable para un dominio básico de la Álgebra y el Cálculo.

$\mathbb{C} \mbox{ Complejos} \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{Reales} \begin{cases} \mathbb{Q} & \mbox{Racionales} \begin{cases} \mathbb{Z} & \mbox{Enteros} \begin{cases} \mathbb{N} & \mbox{Naturales} \\ & \mbox{Enteros negativos} \end{cases}\\ & \mbox{Fraccionarios} \end{cases}\\ & \mbox{Irracionales} \end{cases}\\ & \mbox{Imaginarios} \end{cases}$

Números Naturales: la necesidad de contar desembocó directamente en la creación y el uso de los números naturales. Son los números más simples de los que hacemos uso, se denotan por $\mathbb{N}$ y están formados por los números 1,2,3,4,5... Se denominan también números enteros positivos.

$\mathbb{N} = \{1,2,3,4,...\}$

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Números Enteros: la insuficiencia de los números naturales para contar deudas o temperaturas por debajo de cero lleva directamente a los números enteros. Se denotan por $\mathbb{Z}$ y estan formados por los números naturales, sus inversos aditivos y el cero. El conjunto de los números enteros incluye a los naturales, $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ .

$\mathbb{Z} = \{...,-3,-2,-1,0,2,3,4,...\}$ .

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Números Racionales: la insuficiencia de los números enteros para denominar partes de unidad lleva directamente a los números racionales. Se denotan por $\mathbb{Q}$ y son todos aquellos que se pueden expresar de la forma $\frac{p}{q}$ donde $p$ y $q$ son enteros y $q\neq 0$ . Estos pueden ser enteros de la forma $\frac{n}{1}$ donde n es un entero, decimales finitos o decimales infinitos periódicos. El conjunto de los números racionales incluye a los enteros, $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ .

$\mathbb{Q} = \{x = \frac{p}{q}:p,q \in \mathbb{Z}, q\ne 0\}$

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Números Irracionales: la insuficiencia de los racionales al intentar encontrar la medida exacta de la diagonal de un triángulo rectángulo con catetos de longitud 1 lleva a los números irracionales. Se denotan por $\mathbb{I}$ ^[1] y son el conjunto de los números decimales infinitos no periódicos, es decir todos aquellos que no se pueden expresarse de la forma $\frac{p}{q}$ .

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Números Reales: es la unión entre el conjunto de los números racionales y los irracionales. $\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}$ o lo que es lo mismo:

$\mathbb{N} \sub \mathbb{Z} \sub \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} \sub \mathbb{R}$ .

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Números Complejos: la insuficiencia de los números reales para denotar raíces de polinomios como $x^2 + 1 \,\!$ lleva a la concepción de los números complejos. Se denotan por $\mathbb{C}$ . Las raíces del polinomio anterior son $\sqrt{-1}$ y $-\sqrt{-1}$ , de manera que definimos el número $i \,\!$ para poder trabajar con sus raíces solucionar este problema, de manera que: $i = \sqrt{-1}$ . Todos los números complejos (también se les llama imaginarios) tienen la forma:

$z = a + bi \,\!$ donde $a \,\!$ y $b \,\!$ son números reales. Denominamos a $a \,\!$ parte real del complejo y a $bi \,\!$ parte imaginaria.

Cuando $b = 0 \,\!$ , z es un número real, y cuando $a = 0 \,\!$ , z es un número imaginario puro.

De aquí deducimos que los números reales están incluídos dentro del conjunto de los complejos, o lo que es lo mismo:

$\mathbb{N} \sub \mathbb{Z} \sub \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} \sub \mathbb{R} \sub \mathbb{C}$

Estos números se suelen representar como vectores en un gráfico donde el eje x es la parte real del número y el eje y es la parte imaginaria. Como se pueden tratar como vectores, se pueden expresar principalmente de dos formas, en forma binómica y de forma polar.

Así podemos deducir que la suma de complejos cumple la regla del paralelogramo, es decir:

$z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \,\!$

El producto de complejos es:

En forma binómica:

$z w = (a + bi) (c + di) = ac + adi + cbi + bidi = (ac - bd) + (ad + cb)i \,\!$

En forma polar:

$r_\alpha s_\beta = (r s)_{\alpha + \beta} \,\!$

El cociente de complejos es:

En forma binómica:

$\frac{z}{w} = \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i$

En forma polar:

$\frac{r_\alpha}{s_\beta} = (r s)_{\alpha - \beta} \,\!$

La raíz enésima de un complejo es:

En forma polar:

$\sqrt[n]{r_\alpha} = (\sqrt[n]{r})_\frac{\alpha + 2\pi k}{n}, k = 0,1,2,3,...,n-1$

Las raíces enésimas de un complejo son los vértices del polígono regular de n lados.

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[editar] Referencias

↑ A veces se denota por $\mathbb{I}$ al conjunto de los números irracionales. Esta notación no es universal y muchos matemáticos la rechazan. Las razones son que el conjunto de números irracionales no constituyen ninguna estructura algebraica, como sí lo son los naturales ( $\mathbb{N}$ ), los enteros ( $\mathbb{Z}$ ), los racionales ( $\mathbb{Q}$ ), los reales ( $\mathbb{R}$ ) y los complejos ( $\mathbb{C}$ ), por un lado, y que la $\mathbb{I}$ es tan apropiada para designar al conjunto de números irracionales como al conjunto de números imaginarios puros, lo cual puede crear confusión.

[0] A veces se denota por $\mathbb{I}$ al conjunto de los números irracionales. Esta notación no es universal y muchos matemáticos la rechazan. Las razones son que el conjunto de números irracionales no constituyen ninguna estructura algebraica, como sí lo son los naturales ( $\mathbb{N}$ ), los enteros ( $\mathbb{Z}$ ), los racionales ( $\mathbb{Q}$ ), los reales ( $\mathbb{R}$ ) y los complejos ( $\mathbb{C}$ ), por un lado, y que la $\mathbb{I}$ es tan apropiada para designar al conjunto de números irracionales como al conjunto de números imaginarios puros, lo cual puede crear confusión.

[1]

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