Principales conjuntos numéricos

De Wikiversidad
Saltar a: navegación, buscar

Aquí se listan los principales conjuntos de números. Su conocimiento es indispensable para un dominio básico del Álgebra y el Cálculo.


    \mathbb{C} \mbox{    Complejos}
    \begin{cases} 
        \mathbb{R} & \mbox{Reales}
        \begin{cases}
            \mathbb{Q} & \mbox{Racionales}
                \begin{cases}
                    \mathbb{Z} & \mbox{Enteros}
                    \begin{cases}
                        \mathbb{N} & \mbox{Naturales}
                        \begin{cases}
                            1 & \mbox{Uno}     \\
                              & \mbox{Primos}  \\
                              & \mbox{Compuestos}
                        \end{cases}\\
                         0 & \mbox{Cero} \\
                           & \mbox{Enteros negativos}
                    \end{cases}\\ \\
                     & \mbox{Fraccionarios}
                       \begin{cases}
                          \mbox{Exactos}   \\
                          \mbox{Periódicos}
                          \begin{cases}
                             \mbox{Puros} \\
                             \mbox{Mixtos}
                          \end{cases}\\
                       \end{cases}\\
                \end{cases}\\ \\
                & \mbox{Irracionales}
        \end{cases}\\ \\
         & \mbox{Imaginarios}
    \end{cases}

Números Naturales[editar]

La necesidad de contar desembocó directamente en la creación y el uso de los números naturales. Son los números más simples de los que hacemos uso, se denotan por \mathbb{N} y están formados por los números 1,2,3,4,5... Se denominan también números enteros positivos.

\mathbb{N} = \{1,2,3,4,...\}
Más informacion en Wikipedia en español.


Números Enteros[editar]

La insuficiencia de los números naturales para contar deudas o temperaturas por debajo de cero lleva directamente a los números enteros. Se denotan por \mathbb{Z} y estan formados por los números naturales, sus inversos aditivos y el cero. El conjunto de los números enteros incluye a los naturales, \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}.

\mathbb{Z} = \{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...\} .
Más informacion en Wikipedia en español.

Números Racionales[editar]

La insuficiencia de los números enteros para denominar partes de unidad lleva directamente a los números racionales. Se denotan por \mathbb{Q} y son todos aquellos que se pueden expresar de la forma \frac{p}{q} donde {p} y {q} son enteros y q\neq 0. Estos pueden ser enteros (en el caso en que q=1), decimales finitos o decimales infinitos periódicos. El conjunto de los números racionales incluye a los enteros, \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}.

\mathbb{Q} = \{x = \frac{p}{q}:p,q \in \mathbb{Z}, q\ne 0\}
Más informacion en Wikipedia en español.

Números Irracionales[editar]

La insuficiencia de los racionales al intentar encontrar la medida exacta de la diagonal de un triángulo rectángulo con catetos de longitud 1 lleva a los números irracionales. Se denotan por \mathbb{I}A veces se denota por \mathbb{I} al conjunto de los números irracionales. Esta notación no es universal y muchos matemáticos la rechazan. Las razones son que el conjunto de números irracionales no constituyen ninguna estructura algebraica, como sí lo son los naturales (\mathbb{N}), los enteros (\mathbb{Z}), los racionales (\mathbb{Q}), los reales (\mathbb{R}) y los complejos (\mathbb{C}), por un lado, y que la \mathbb{I} es tan apropiada para designar al conjunto de números irracionales como al conjunto de números imaginarios

son las fracciones

Números Reales[editar]

El conjunto de los números reales es la unión entre el conjunto de los números racionales y los irracionales:

\mathbb{R}= \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}.
Más informacion en Wikipedia en español.

Números Complejos[editar]

La insuficiencia de los números reales para denotar raíces de polinomios como x^2 + 1 \,\! lleva a la concepción de los números complejos. Se denotan por \mathbb{C}. Las raíces del polinomio anterior son \sqrt{-1} y -\sqrt{-1}, de manera que definimos el número i \,\! para poder trabajar con sus raíces solucionar este problema, de manera que: i = \sqrt{-1}. Todos los números complejos (también se les llama imaginarios) tienen la forma:

z = a + bi \,\! donde a \,\! y b \,\! son números reales. Denominamos a a \,\! parte real del complejo y a bi \,\! parte imaginaria.
Cuando b = 0 \,\!, z es un número real, y cuando a = 0 \,\!, z es un número imaginario puro.
De aquí deducimos que los números reales están incluídos dentro del conjunto de los complejos, o lo que es lo mismo:
\mathbb{N} \sub \mathbb{Z} \sub \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} = \mathbb{R} \sub \mathbb{C}


Estos números se suelen representar como vectores en un gráfico donde el eje x es la parte real del número y el eje y es la parte imaginaria. Como se pueden tratar como vectores, se pueden expresar principalmente de dos formas, en forma binómica y de forma polar.
Así podemos deducir que la suma de complejos cumple la regla del paralelogramo, es decir:
z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \,\!
El producto de complejos es:
En forma binómica:
 z  w = (a + bi)  (c + di) = ac + adi + cbi + bidi = (ac - bd) + (ad + cb)i \,\!
En forma polar:
r_\alpha s_\beta = (r s)_{\alpha + \beta} \,\!


El cociente de complejos es:
En forma binómica:
\frac{z}{w} = \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i
En forma polar:
\frac{r_\alpha}{s_\beta} = (r s)_{\alpha - \beta} \,\!
La raíz enésima de un complejo es:
En forma polar:
\sqrt[n]{r_\alpha} = (\sqrt[n]{r})_\frac{\alpha + 2\pi k}{n},  k = 0,1,2,3,...,n-1
Las raíces enésimas de un complejo son los vértices del polígono regular de n lados.
Más informacion en Wikipedia en español.

Referencias[editar]