AM

De Wikiversidad

La modulación AM (Amplitude Modulation) es un tipo de modulación lineal, siendo una de las modulacion analogicas mas usadas, por no decir la que mas abunda en los sistemas de comunicaciones. La diferencia entre esta modulacion y la DSB es que en esta ultima no tenemos energia en la portadora.

Contenido

[editar] Representacion en tiempo y frecuencia

Su representacion temporal es:

\begin{align} & x_{AM}(t)=A_{c}\left( 1+mx(t) \right)\cos (\omega _{c}t) \\ & x(t)\text{ o }\,x_{m}(t):\text{ modulador} \\ & \text{m: modulation index}\text{, indice de modulacion} \\ \end{align}

AM moduladora.gif
AM moduladoraYnormalizada.gif


AM modulada t.gif


El índice de modulación nos dice indirectamente la amplitud de la portadora, y varia de 0 a 1, dandose su valor normalmente en porcentajes de 0% a 100%. En la funcion se considerá que \left| x(t) \right|\le 1\to S_{x}\le 1 .

Tambien, debido a que los canales bloquean el paso de continua, nuestra señal no tendrá continua:

m_{x(t)}=0\to \frac{1}{T}\int_{-\infty }^{\infty }{x(t)\partial t}=0

Si vemos su representación en frecuencia:

\begin{align} & x_{AM}(t)=A_{c}\left( 1+mx(t) \right)\cos (\omega _{c}t)=A_{c}\cdot \cos (\omega _{c}t)+m\cdot x(t)\cos (\omega _{c}t) \\ & \cos \left( \omega _{c}t \right)=\frac{e^{j\omega _{c}t}+e^{-j\omega _{c}t}}{2} \\ & \mathbb{F}\left[ x_{AM}(t) \right]=X_{AM}(f)=\frac{A_{c}}{2}\left( \delta \left( f-f_{c} \right)+\delta (f+f_{c}) \right)+\frac{A_{c}}{2}m\left( X\left( f-f_{c} \right)+X(f+f_{c}) \right) \\ \end{align}

Como se ha dicho, en AM tenemos potencia en la portadora lo cual nos permitirá demodular usando detección por envolvente.

[editar] Caracteristicas

[editar] Propiedades y DEP

\begin{align} & x(t)=x_{I}(t)\cos (\omega _{c}t)-x_{Q}(t)\sin (\omega _{c}t)\to \\ & s(t)=x_{AM}(t)=A_{c}\left( 1+mx(t) \right)\cos (\omega _{c}t) \\ & s_{I}(t)=A_{c}\left( 1+mx(t) \right) \\ & s_{Q}(t)=0 \\ & e(t)=A_{c}\left| \left( 1+mx(t) \right) \right| \\ & A_{c}\left| \left( 1+mx(t) \right) \right|=A_{c}\left( 1+mx(t) \right)\text{ si }m\le 1 \\ \end{align}

Para sacar la Densidad Espectral de Potencia, sacaremos primeramente la autocorrelacion:

\begin{align} & R_{AM}(\tau )=\underset{T\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{T}\cdot \int_{-\infty }^{\infty }{x_{AM}^{*}(t)\cdot x_{AM}(t+\tau )\partial t=} \\ & \underset{T\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{T}\cdot \int_{-\infty }^{\infty }{\left[ A_{c}\left( 1+mx(t) \right)\cos (\omega _{c}t) \right]^{*}\cdot \left[ A_{c}\left( 1+mx(t+\tau ) \right)\cos \left( \omega _{c}\left( t+\tau \right) \right) \right]\partial t=} \\ & \underset{T\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{T}\cdot A_{c}^{2}\int_{-\infty }^{\infty }{\left( 1+mx^{*}(t) \right)\left( 1+mx(t+\tau ) \right)\cos (\omega _{c}t)\cdot \cos \left( \omega _{c}t+\omega _{c}\tau \right)\partial t}= \\ & \underset{T\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{T}\cdot A_{c}^{2}\int_{-\infty }^{\infty }{\left( 1+mx(t+\tau )+mx^{*}(t)+m^{2}x^{*}(t)x(t+\tau ) \right)\cos (\omega _{c}t)\cdot \cos \left( \omega _{c}t+\omega _{c}\tau \right)\partial t}= \\ & \left\{ \cos a\cos b=\frac{\cos (a+b)+\cos (a-b)}{2} \right\} \\ & \underset{T\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{T}\cdot A_{c}^{2}\int_{-\infty }^{\infty }{\left( 1+mx(t+\tau )+mx^{*}(t)+m^{2}x^{*}(t)x(t+\tau ) \right)\left( \frac{\overbrace{\cos (2\omega _{c}t+\tau )}^{\text{fuera del area de }\int{{}}}+\overbrace{\cos (\omega _{c}\tau )}^{\text{no depende de t}}}{2} \right)\partial t}= \\ & \underset{T\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{T}\cdot \frac{A_{c}^{2}}{2}\cos (\omega _{c}\tau )\int_{-\infty }^{\infty }{\left( 1+mx(t+\tau )+mx^{*}(t)+m^{2}x^{*}(t)x(t+\tau ) \right)\partial t}= \\ & \left\{ m_{x}=0,\frac{1}{T}\int_{-\infty }^{\infty }{x(t)\partial t} \right\} \\ & \underset{T\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{T}\cdot \frac{A_{c}^{2}}{2}\cos (\omega _{c}\tau )\int_{-\infty }^{\infty }{\left( 1+m^{2}x^{*}(t)x(t+\tau ) \right)\partial t}= \\ & \frac{A_{c}^{2}}{2}\cos (\omega _{c}\tau )\left( 1+m^{2}\overbrace{\cdot \underset{T\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{T}\cdot \int_{-\infty }^{\infty }{x^{*}(t)x(t+\tau )\partial t}}^{R_{x}(\tau )} \right)=\frac{A_{c}^{2}}{2}\left( 1+m^{2}R_{x}(\tau ) \right)\cos (\omega _{c}\tau ) \\ \end{align}

Por lo que la DEP:

\begin{align} & R_{AM}(\tau )=\frac{A_{c}^{2}}{2}\left( 1+m^{2}R_{x}(\tau ) \right)\cos (\omega _{c}\tau ) \\ & \mathbb{F}\left[ R_{AM}(\tau ) \right]=G_{AM}(f) \\ & G_{AM}(f)=\frac{A_{c}^{2}}{4}\left( \delta (f-f_{c})+\delta (f+f_{c}) \right)+\frac{A_{c}^{2}}{4}\cdot m^{2}\left( G_{x}(f-f_{c})+G_{x}(f+f_{c}) \right) \\ \end{align}

Terminando, la potencia de la señal será:

\begin{align} & R_{AM}(\tau )=\frac{A_{c}^{2}}{2}\left( 1+m^{2}R_{x}(\tau ) \right)\cos (\omega _{c}\tau ) \\ & P_{AM}=S_{AM}=R_{AM}\left( \tau =0 \right) \\ & S_{AM}=\frac{A_{c}^{2}}{2}\left( 1+m^{2}S_{x} \right) \\ \end{align}

[editar] Relacion señal a ruido de una señal AM, deteccion coherente

EsquemaPasoBandaDeteccionCoherente.PNG


\begin{align} & s(t)=x_{AM}(t)=A_{c}\left( 1+mx(t) \right)\cos (\omega _{c}t) \\ & s_{R}(t)=x_{AM}(t)\cdot {}^{g_{T}}\!\!\diagup\!\!{}_{L}\;\to \left\{ A_{R}=A_{c}\frac{g_{T}}{L} \right\}\to \\ & s_{R}(t)=A_{R}\left( 1+mx(t) \right)\cos (\omega _{c}t) \\ & y_{R}(t)=s_{R}(t)+n_{R}(t) \\ & \left( {}^{S}\!\!\diagup\!\!{}_{N}\; \right)_{R}=? \\ & G_{n_{R}}(f)=G_{n}(f)\cdot \left| H_{R}(f) \right|^{2}\to G_{n}(f)=\frac{\eta }{2}\to N_{R}=\int_{-\infty }^{\infty }{G_{n_{R}}(f)\partial f} \\ & N_{R}=2\int_{0}^{\infty }{\frac{\eta }{2}\cdot \prod{\left( \frac{f-f_{c}}{2W} \right)}\partial f}=2\frac{\eta }{2}2W=\eta 2W \\ & S_{AM}=\frac{A_{c}^{2}}{2}\left( 1+m^{2}S_{x} \right) \\ & \left( {}^{S}\!\!\diagup\!\!{}_{N}\; \right)_{R}=\frac{S_{R}}{N_{R}}=\frac{S_{R}}{\eta \beta _{T}}=\frac{S_{R}}{\eta 2W}=\frac{\frac{A_{R}^{2}}{2}\left( 1+m^{2}S_{x} \right)}{\eta 2W} \\ \end{align}

Calculemos ahora, la relación señal a ruido en deteccion \left( {}^{S}\!\!\diagup\!\!{}_{N}\; \right)_{D}

\begin{align} & s_{R}(t)=A_{R}\left( 1+mx(t) \right)\cos (\omega _{c}t) \\ & y_{R}(t)=s_{R}(t)+n_{R}(t) \\ & y_{D}(t)=s_{D}(t)+n_{D}(t) \\ & e_{s_{R}}(t)=\left| A_{R}\left( 1+mx(t) \right) \right|\xrightarrow[m\le 1]{}A_{R}\left( 1+mx(t) \right) \\ & s_{D}(t)\to e_{s_{R}}(t)\text{ }\cdot \text{ DC-Block}\to A_{R}mx(t) \\ & s_{D}(t)=\frac{A_{R}mx(t)}{2} \\ & n_{D}(t)=? \\ & x(t)=x_{I}(t)\cos \left( \omega _{c}t \right)-x_{Q}(t)\sin (\omega _{c}t) \\ & n(t)=n_{I}(t)\cos \left( \omega _{c}t \right)-n_{Q}(t)\sin (\omega _{c}t)\to n_{R}(t)=n_{R_{I}}(t)\cos \left( \omega _{c}t \right)-n_{R_{Q}}(t)\sin (\omega _{c}t) \\ & n_{D}(t)=n_{R}(t)\cdot \cos (\omega _{c}t)\text{ y filtro }\left| H_{LPF}(f) \right|^{2} \\ & n_{D}(t)=\left( n_{R_{I}}(t)\cos (\omega _{c}t)-n_{R_{Q}}(t)\sin (\omega _{c}t) \right)\cdot \cos (\omega _{c}t)\to \left\{ \begin{align} & \cos a\cos b=\frac{\cos (a+b)+\cos (a-b)}{2} \\ & \sin a\cos b=\frac{\sin (a+b)+\sin (a-b)}{2} \\ \end{align} \right\} \\ & n_{D}(t)=n_{R_{I}}(t)\left( \frac{\overbrace{\cos (2\omega _{c}t)}^{\text{eliminado por el filtro}}+1}{2} \right)-n_{R_{Q}}(t)\left( \frac{\overbrace{\sin (2\omega _{c}t)}^{\text{eliminado por el filtro}}+0}{2} \right) \\ & n_{D}(t)=\frac{n_{R_{I}}(t)}{2} \\ \end{align}

\begin{align} & y_{D}(t)=s_{D}(t)+n_{D}(t) \\ & s_{D}(t)=\frac{A_{R}mx(t)}{2} \\ & n_{D}(t)=\frac{n_{R_{I}}(t)}{2} \\ & \left( {}^{S}\!\!\diagup\!\!{}_{N}\; \right)_{D}=\frac{S_{D}}{N_{D}} \\ & G_{Y_{D}}(f)=\underset{T\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| Y_{D}(f) \right|^{2}}{T}\to S_{D}=\frac{A_{R}^{2}m^{2}S_{x}}{4} \\ & N_{D}=\frac{N_{R_{I}}}{4}\to \left\{ \text{Propiedades: }S_{x}=S_{x_{I}}=S_{x_{Q}} \right\} \\ & N_{R}=\eta \beta _{T}=\eta 2W\to N_{D}=\frac{\left( \eta 2W \right)}{4} \\ & \left( {}^{S}\!\!\diagup\!\!{}_{N}\; \right)_{D}=\frac{S_{D}}{N_{D}}=\frac{\frac{A_{R}^{2}m^{2}S_{x}}{4}}{\left( {}^{\eta 2W}\!\!\diagup\!\!{}_{4}\; \right)}=\frac{A_{R}^{2}m^{2}S_{x}}{\eta 2W} \\ \end{align}

[editar] Comparación mediante factor de calidad

Para comparar lo eficaz de nuestra modulacion, podremos la relacion señal a ruido de deteccion en funcion del factor de calidad.

\begin{align} & \gamma =\frac{S_{R}}{\eta W} \\ & S_{R}=\frac{A_{R}^{2}}{2}\left( 1+m^{2}S_{x} \right) \\ & \left( {}^{S}\!\!\diagup\!\!{}_{N}\; \right)_{D}=\frac{A_{R}^{2}m^{2}S_{x}}{\eta 2W}\to \frac{A_{R}^{2}m^{2}S_{x}}{2}\frac{1}{\eta W}\cdot \frac{S_{R}}{S_{R}}=\frac{A_{R}^{2}m^{2}S_{x}}{2}\frac{1}{\eta W}\cdot \frac{S_{R}=\frac{A_{R}^{2}}{2}\left( 1+m^{2}S_{x} \right)}{S_{R}=\frac{A_{R}^{2}}{2}\left( 1+m^{2}S_{x} \right)}\to \\ & \left( {}^{S}\!\!\diagup\!\!{}_{N}\; \right)_{D}=\frac{A_{R}^{2}m^{2}S_{x}}{2}\frac{1}{\frac{A_{R}^{2}}{2}\left( 1+m^{2}S_{x} \right)}\frac{S_{R}}{\eta W}=\frac{m^{2}S_{x}}{1+m^{2}S_{x}}\frac{S_{R}}{\eta W}=\frac{m^{2}S_{x}}{1+m^{2}S_{x}}\gamma \\ \end{align}

En el mejor de los casos

m=1\to \frac{m^{2}S_{x}}{1+m^{2}S_{x}}\gamma =\frac{S_{x}}{1+S_{x}}\gamma \xrightarrow[S_{x}\le 1]{}\frac{\gamma }{2}

Con lo que, el mejor de los casos, desperdiciamos la mitad de la potencia, debido a que tenemos energia en la portadora.

[editar] Relacion señal a ruido de una señal AM, deteccion por envolvente

EsquemaPasoBandaDeteccionPorEnvolvente.PNG


AM modulada t conEnvolvente.gif


\begin{align} & \left( {}^{S}\!\!\diagup\!\!{}_{N}\; \right)_{D}=? \\ & y_{R}(t)=s_{R}(t)+n_{R}(t) \\ & n_{R}(t)=n_{R_{I}}(t)\cos (\omega _{c}t)-n_{R_{Q}}(t)\sin (\omega _{c}t) \\ & s_{R}(t)=A_{R}\left( 1+mx(t) \right)\cos (\omega _{c}t) \\ & e_{s_{R}}(t)=\left| A_{R}\left( 1+mx(t) \right) \right|\xrightarrow[m\le 1]{}A_{R}\left( 1+mx(t) \right) \\ & s_{D}(t)=e_{s_{R}}(f)\text{ }\cdot \text{ DC-Block }\to A_{R}mx(t) \\ & y_{R}(t)=y_{R_{I}}(t)\cos (\omega _{c}t)-y_{R_{Q}}(t)\sin (\omega _{c}t) \\ & y_{R}(t)=\underbrace{\left( A_{R}\left( 1+mx(t) \right)+n_{R_{I}}(t) \right)}_{y_{R_{I}}(t)}\cos (\omega _{c}t)-\underbrace{n_{R_{Q}}(t)}_{y_{R_{Q}}(t)}\sin (\omega _{c}t) \\ & y_{D}(t)=e_{y_{R}}(t)=\sqrt{\left( A_{R}\left( 1+mx(t) \right)+n_{R_{I}}(t) \right)^{2}+n_{R_{Q}}^{2}(t)} \\ \end{align}


Ahora, hay dos escenarios posibles: señal con poco ruido, y señal con mucho ruido, que dependen directamente de lo buena que sea la relación señal a ruido en recepcion \left( {}^{S}\!\!\diagup\!\!{}_{N}\; \right)_{R}

[editar] Señal con poco ruido

\begin{align} & \left( {}^{S}\!\!\diagup\!\!{}_{N}\; \right)_{R}\uparrow \uparrow \\ & y_{D}(t)=e_{y_{R}}(t)=\sqrt{\left( A_{R}\left( 1+mx(t) \right)+n_{R_{I}}(t) \right)^{2}+n_{R_{Q}}^{2}(t)} \\ \end{align}

AMvectorPocoRuido.png


\begin{align} & n_{R_{Q}}^{2}(t)\ll \left( A_{R}\left( 1+mx(t) \right)+n_{R_{I}}(t) \right)^{2} \\ & y_{D}(t)=e_{y_{R}}(t)\approx \sqrt{\left( \underbrace{A_{R}\left( 1+mx(t) \right)+n_{R_{I}}(t)}_{y_{R_{I}}(t)} \right)^{2}} \\ & y_{D}(t)=A_{R}\left( 1+mx(t) \right)+n_{R_{I}}(t)\text{ y filtro DC} \\ & y_{D}(t)=A_{R}mx(t)+n_{R_{I}}(t) \\ & S_{D}=A_{R}^{2}m^{2}S_{x} \\ & N_{D}=N_{R_{I}}=N_{R}=\eta \beta _{T}=\eta 2W \\ & \left( {}^{S}\!\!\diagup\!\!{}_{N}\; \right)_{D}=\frac{A_{R}^{2}m^{2}S_{x}}{\eta 2W}=\frac{m^{2}S_{x}}{1+m^{2}S_{x}}\gamma \\ \end{align}

Sale lo misma relacion señal a ruido que la deteccion coherente, con la ventaja añadida de usar un detector por envolvente, que es mucho mas barato y sencillo.

[editar] Señal con mucho ruido

\begin{align} & \left( {}^{S}\!\!\diagup\!\!{}_{N}\; \right)_{R}\downarrow \downarrow \\ & y_{R}(t)=\underbrace{\left( A_{R}\left( 1+mx(t) \right)+n_{R_{I}}(t) \right)}_{y_{R_{I}}(t)}\cos (\omega _{c}t)-\underbrace{n_{R_{Q}}(t)}_{y_{R_{Q}}(t)}\sin (\omega _{c}t) \\ & y_{D}(t)=e_{y_{R}}(t)=\sqrt{\left( A_{R}\left( 1+mx(t) \right)+n_{R_{I}}(t) \right)^{2}+n_{R_{Q}}^{2}(t)} \\ \end{align}

AMvectorMuchoRuido.png


Para dibujar la representación mediante vectores, lo representaremos mediante la envolvente compleja:

\begin{align} & \tilde{x}(t)=x_{I}(t)+jx_{Q}(t)=e(t)\cdot e^{j\phi (t)} \\ & \tilde{y}_{R}(t)=\left( A_{R}\left( 1+mx(t) \right)+n_{R_{I}}(t) \right)+j\cdot n_{R_{Q}}(t) \\ & \tilde{y}_{R}(t)=\left( A_{R}\left( 1+mx(t) \right)+n_{R_{I}}(t) \right)+n_{R_{Q}}(t)\cdot e^{j\frac{\pi }{2}} \\ \end{align}

A_{R}\left( 1+mx(t) \right)\ll n_{R_{I}}(t)


AMvectorMuchoRuidoExplicado.png



No podemos sacar y_{D}(t)=e_{y_{R}}(t) directamente, por lo que tendremos que usar la siguiente aproximación: \phi _{y_{R}}(t)\approx \phi _{n}(t)

Por lo que: b(t)\approx e_{n}(t) y sabiendo \cos x=\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}

\begin{align} & \cos \phi _{y_{R}}(t)=\frac{a(t)}{A_{R}\left( 1+mx(t) \right)} \\ & a(t)=A_{R}\left( 1+mx(t) \right).\cos \phi _{y_{R}}(t)\xrightarrow[\phi _{y_{R}}(t)\approx \phi _{n}(t)]{}a(t)=A_{R}\left( 1+mx(t) \right).\cos \phi _{n}(t) \\ & e_{y_{R}}(t)=a(t)+b(t)=A_{R}\left( 1+mx(t) \right).\cos \phi _{n}(t)+e_{n}(t) \\ \end{align}

Como se ve la demodulacion no funcionará bien, habrá mucho ruido.

Por estos motivos se suele poner un limite inferior o threshold como valor minimo de la relacion señal a ruido para considerar que podemos demodular correctamente.

\left( {}^{S}\!\!\diagup\!\!{}_{N}\; \right)_{R}\ge \left( {}^{S}\!\!\diagup\!\!{}_{N}\; \right)_{R_{\text{threshold}}}

El valor de threshold no es fijo y dependerá de la calidad que queramos, pero podemos considerar 10 como un valor adecuado. (Ademas, el decibelios 10 vale tambien 10).


Proyecto: Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones
Anterior: DSB — AM — Siguiente: SSB


Obtenido de "http://es.wikiversity.org/wiki/AM"
Herramientas personales