SSB

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[editar] Representación en tiempo y frecuencia

La modulacion SSB (Single Side Band) es una modulacion que transmite la informacion usando una solo banda de frecuencia (de ahi su nombre), esto es, el ancho de banda necesario para una señal SSB será la mitad que la de una DSB (o AM). Veamos primero el espectro de una señal DSB.

Moduladora f.gif


DSB tot f.gif


La transformada de Fourier de una señal modulada en SSB sería:

SSB f upper.gif


Ahora, debemos conseguir la ecuacion que represente en frecuencia a una señal SSB.

Tenemos 2 tipos de señal SSB: alta y baja, que dependen de la parte del espectro que elijamos.

SSB f lower.gif


Podemos ver que:

X_{SSB}(f)=X_{DSB}(f)\cdot H^{u}(f)


DSB tot f.gif


         x
SSB filter.gif


        =
SSB f upper.gif


Intentemos conseguir primero la funcion envolvente compleja de la señal SSB. Una vez lograda, la transformaremos en paso-banda.

Recordemos la propiedad de:

\begin{align} & Y(f)=X(f)\cdot H(f)\to \\ & \tilde{Y}(f)=\frac{1}{2}\tilde{X}(f)\cdot \tilde{H}(f) \\ \end{align}

\begin{align} & \tilde{X}_{SSB}(f)=\frac{1}{2}\tilde{X}_{DSB}(f)\cdot \tilde{H}^{u}(f) \\ & \tilde{X}_{DSB}(f)=? \\ & x_{DSB}(t)=A_{c}x(t)\cos (\omega _{c}t) \\ & \hat{x}_{DSB}(t)=A_{c}x(t)\sin (\omega _{c}t) \\ & x_{DSB}^{+}(t)=x_{DSB}(t)+j\hat{x}_{DSB}(t)=A_{c}x(t)\cos (\omega _{c}t)+jA_{c}x(t)\sin (\omega _{c}t)= \\ & A_{c}x(t)\left( \cos (\omega _{c}t)+j\sin (\omega _{c}t) \right)=A_{c}x(t)e^{+j\omega _{c}t} \\ & \tilde{x}_{DSB}(t)=x_{DSB}^{+}(t)\cdot e^{-j\omega _{c}t}=A_{c}x(t)\to \tilde{X}_{DSB}(f)=A_{c}X(f) \\ \end{align}

Ahora...

\begin{align} & H^{u}(f)=\prod{\left( \frac{f-fc-{}^{W}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}{W} \right)} \\ & H^{l}(f)=\prod{\left( \frac{f-fc+{}^{W}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}{W} \right)} \\ & \tilde{x}(t)=x^{+}(t)e^{-j\omega _{c}t};x^{+}(t)=x(t)+j\hat{x}(t) \\ & \tilde{H}^{u}(f)=2\prod{\left( \frac{f-{}^{W}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}{W} \right)}=\prod{\left( \frac{f}{2W} \right)\left( 1+\operatorname{sign}(f) \right)} \\ \end{align}

SSB filter.gif


SSB filter envolventeCompleja.gif


Por lo que:

\begin{align} & \tilde{H}^{u}(f)=\prod{\left( \frac{f}{2W} \right)\left( 1+\operatorname{sign}(f) \right)} \\ & \tilde{X}_{DSB}(f)=A_{c}X(f)\text{ ; }\beta _{T}=2W \\ & \tilde{X}_{SSB}(f)=\frac{1}{2}\tilde{X}_{DSB}(f)\cdot \tilde{H}^{u}(f) \\ & \tilde{X}_{SSB}(f)=\frac{1}{2}A_{c}\underbrace{X(f)\prod{\left( \frac{f}{2W} \right)}}_{\beta _{T}=2W}\left( 1+\operatorname{sign}(f) \right)= \\ & \tilde{X}_{SSB}(f)=\frac{1}{2}A_{c}\underbrace{X(f)\left( 1+\operatorname{sign}(f) \right)}_{X^{+}(f)}=\frac{1}{2}A_{c}X^{+}(f) \\ & \tilde{X}_{SSB}(f)=\frac{A_{c}}{2}X^{+}(f)\to \tilde{x}_{SSB}(t)=\frac{A_{c}}{2}x^{+}(t) \\ \end{align}

Por propiedades, nosotros sabemos que:

\begin{align} & \tilde{x}(t)=x^{+}(t)e^{-j\omega _{c}t}\to x^{+}(t)=\tilde{x}(t)\cdot e^{+j\omega _{c}t} \\ & x(t)=\Re \left\{ x^{+}(t) \right\} \\ \end{align}

Por lo que:

\begin{align} & \tilde{x}_{SSB}(t)=\frac{A_{c}}{2}x^{+}(t)\to \\ & x_{SSB}^{+}(t)=\left( \frac{A_{c}}{2}x^{+}(t) \right)e^{+j\omega _{c}t} \\ & x_{SSB}(t)=\Re \left\{ x_{SSB}^{+}(t) \right\}=\frac{A_{c}}{2}\Re \left\{ x^{+}(t)e^{+j\omega _{c}t} \right\}=\frac{A_{c}}{2}\Re \left\{ \left( x(t)+j\hat{x}(t) \right)\left( \cos \left( \omega _{c}t \right)+j\sin \left( \omega _{c}t \right) \right) \right\}= \\ & x_{SSB}^{u}(t)=\frac{A_{c}}{2}\left( x(t)\cos (\omega _{c}t)-\hat{x}(t)\sin (\omega _{c}t) \right) \\ \end{align}

La función matemática en frecuencia de la señal SSB será:

\begin{align} & x_{SSB}^{u}(t)=\frac{A_{c}}{2}\left( x(t)\cos (\omega _{c}t)-\hat{x}(t)\sin (\omega _{c}t) \right) \\ & x_{SSB}^{l}(t)=\frac{A_{c}}{2}\left( x(t)\cos (\omega _{c}t)+\hat{x}(t)\sin (\omega _{c}t) \right) \\ & \mathbb{F}\left[ x_{SSB}(t) \right]=X_{SSB}(f) \\ & X_{SSB}^{u}(f)=\frac{A_{c}}{2}\left[ X(f-f_{c})\frac{\left( 1+\operatorname{sign}(f-f_{c}) \right)}{2} \right]+\left[ X(f+f_{c})\frac{\left( 1-\operatorname{sign}(f+f_{c}) \right)}{2} \right]= \\ & X_{SSB}^{u}(f)=\frac{A_{c}}{4}\left[ X(f-f_{c})\left( 1+\operatorname{sign}(f-f_{c}) \right) \right]+\left[ X(f+f_{c})\left( 1-\operatorname{sign}(f+f_{c}) \right) \right] \\ & X_{SSB}^{l}(f)=\frac{A_{c}}{4}\left[ X(f-f_{c})\left( 1-\operatorname{sign}(f-f_{c}) \right) \right]+\left[ X(f+f_{c})\left( 1+\operatorname{sign}(f+f_{c}) \right) \right] \\ \end{align}

Como se ve, la representación en frecuencia podíamos obtenerla a partir del dibujo de frecuencia y usando las representaciones vistas (señal analítica, hilbert...)

[editar] Características

[editar] Propiedades y DEP

\begin{align} & x(t)=x_{I}(t)\cos (\omega _{c}t)-x_{Q}(t)\sin (\omega _{c}t)\to \\ & s(t)=x_{SSB}^{u}(t)=\frac{A_{c}}{2}\left( x(t)\cos (\omega _{c}t)-\hat{x}(t)\sin (\omega _{c}t) \right) \\ & s_{I}(t)=\frac{A_{c}}{2}x(t) \\ & s_{Q}(t)=-\frac{A_{c}}{2}\hat{x}(t) \\ & e(t)=\sqrt{s_{I}^{2}(t)+s_{Q}^{2}(t)}=\frac{A_{c}}{2}\sqrt{x^{2}(t)+\hat{x}^{2}(t)} \\ & \tilde{s}(t)=\frac{A_{c}}{2}x^{+}(t) \\ \end{align}

Para sacar la Densidad Espectral de Potencia, sacaremos primeramente la autocorrelacion:

\begin{align} & R_{SSB}(\tau )=\underset{T\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{T}\cdot \int_{-\infty }^{\infty }{x_{SSB}^{*}(t)\cdot x_{SSB}(t+\tau )\partial t=} \\ & x_{SSB}(t)=\frac{A_{c}}{2}\left( x(t)\cos (\omega _{c}t)-\hat{x}(t)\sin (\omega _{c}t) \right) \\ & \underset{T\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{T}\cdot \left( \frac{A_{c}}{2} \right)^{2}\int_{-\infty }^{\infty }{\left[ x(t)\cos (\omega _{c}t)-\hat{x}(t)\sin (\omega _{c}t) \right]^{*}\cdot \left[ x(t+\tau )\cos \left( \omega _{c}\left( t+\tau \right) \right)-\hat{x}(t+\tau )\sin \left( \omega _{c}\left( t+\tau \right) \right) \right]\partial t=} \\ & \underset{T\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{T}\cdot \left( \frac{A_{c}}{2} \right)^{2}\int_{-\infty }^{\infty }{{}} \\ & x^{*}(t)\cos (\omega _{c}t)x(t+\tau )\cos \left( \omega _{c}\left( t+\tau \right) \right)+ \\ & -\hat{x}^{*}(t)\sin (\omega _{c}t)x(t+\tau )\cos \left( \omega _{c}\left( t+\tau \right) \right)+ \\ & x^{*}(t)\cos (\omega _{c}t)\left( -\hat{x}(t+\tau )\sin \left( \omega _{c}\left( t+\tau \right) \right) \right)+ \\ & -\hat{x}^{*}(t)\sin (\omega _{c}t)\left( -\hat{x}(t+\tau )\sin \left( \omega _{c}\left( t+\tau \right) \right) \right)\partial t=\left\{ \text{Relaciones Trigonometricas} \right\} \\ & \underset{T\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{T}\cdot \left( \frac{A_{c}}{2} \right)^{2}\int_{-\infty }^{\infty }{{}} \\ & x^{*}(t)x(t+\tau )\left( \frac{\cos \left( \omega _{c}\tau \right)+\overbrace{\cos \left( \omega _{c}\left( 2t+\tau \right) \right)}^{\text{fuera del area de }\int{{}}}}{2} \right)+\leftarrow \left\{ \cos a\cos b=\frac{\cos (a+b)+\cos (a-b)}{2} \right\} \\ & -\hat{x}^{*}(t)x(t+\tau )\left( \frac{\sin (-\omega _{c}\tau )+\overbrace{\sin \left( \omega _{c}\left( 2t+\tau \right) \right)}^{\text{fuera del area de }\int{{}}}}{2} \right)\leftarrow \left\{ \sin a\cos b=\frac{\sin (a+b)+\sin (a-b)}{2} \right\} \\ & x^{*}(t)-\hat{x}(t+\tau )\left( \frac{\sin \left( \omega _{c}\tau \right)+\overbrace{\sin \left( \omega _{c}\left( 2t+\tau \right) \right)}^{\text{fuera del area de }\int{{}}}}{2} \right)+\leftarrow \left\{ \sin a\cos b=\frac{\sin (a+b)+\sin (a-b)}{2} \right\} \\ & -\hat{x}^{*}(t)-\hat{x}(t+\tau )\left( \frac{\cos \left( \omega _{c}\tau \right)-\overbrace{\cos \left( \omega _{c}\left( 2t+\tau \right) \right)}^{\text{fuera del area de }\int{{}}}}{2} \right)\partial t\leftarrow \left\{ \sin a\sin b=\frac{\cos (a-b)-\cos (a+b)}{2} \right\}= \\ & \\ \end{align}

\begin{align} & \underset{T\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{T}\cdot \left( \frac{A_{c}}{2} \right)^{2}\int_{-\infty }^{\infty }{\frac{1}{2}}\left( \begin{align} & x^{*}(t)x(t+\tau )\cos \left( \omega _{c}\tau \right)-\hat{x}^{*}(t)x(t+\tau )\overbrace{\sin (-\omega _{c}\tau )}^{-\sin \left( \omega _{c}\tau \right)} \\ & -x^{*}(t)\hat{x}(t+\tau )\sin \left( \omega _{c}\tau \right)+\hat{x}^{*}(t)\hat{x}(t+\tau )\cos \left( \omega _{c}\tau \right) \\ \end{align} \right)= \\ & \left( \frac{A_{c}}{2} \right)^{2}\frac{1}{2}\left( R_{x}\left( \tau \right)\cos \left( \omega _{c}\tau \right)+R_{x\hat{x}}\left( \tau \right)\sin \left( \omega _{c}\tau \right)-R_{\hat{x}x}\left( \tau \right)\sin \left( \omega _{c}\tau \right)+R_{{\hat{x}}}\left( \tau \right)\cos \left( \omega _{c}\tau \right) \right)= \\ & \left\{ \begin{align} & R_{\hat{x}x}\left( \tau \right)=-R_{x\hat{x}}\left( \tau \right) \\ & R_{x}\left( \tau \right)=R_{{\hat{x}}}\left( \tau \right) \\ \end{align} \right\}\to \\ & R_{SSB}(\tau )=\left( \frac{A_{c}^{2}}{4} \right)\frac{1}{2}\left( 2R_{x}\left( \tau \right)\cos \left( \omega _{c}\tau \right)-2R_{\hat{x}x}\left( \tau \right)\sin \left( \omega _{c}\tau \right) \right)= \\ & R_{SSB}(\tau )=\left( \frac{A_{c}^{2}}{4} \right)\left( R_{x}\left( \tau \right)\cos \left( \omega _{c}\tau \right)-R_{\hat{x}x}\left( \tau \right)\sin \left( \omega _{c}\tau \right) \right) \\ \end{align}

Una vez obtenida la autocorrelacion, la DEP será:

\begin{align} & X_{SSB}^{u}(f)=\frac{A_{c}}{4}\left[ X(f-f_{c})\left( 1+\operatorname{sign}(f-f_{c}) \right) \right]+\left[ X(f+f_{c})\left( 1-\operatorname{sign}(f+f_{c}) \right) \right] \\ & R_{SSB}(\tau )=\left( \frac{A_{c}^{2}}{4} \right)\left( R_{x}\left( \tau \right)\cos \left( \omega _{c}\tau \right)-R_{\hat{x}x}\left( \tau \right)\sin \left( \omega _{c}\tau \right) \right) \\ & G_{SSB}(f)=\mathbb{F}\left[ R_{SSB}(\tau ) \right]=\left( \frac{A_{c}}{4} \right)^{2}\cdot \left[ G_{x}(f-f_{c})\left( 1+\operatorname{sign}(f-f_{c}) \right)^{2} \right]+\left[ G_{x}(f+f_{c})\left( 1-\operatorname{sign}(f+f_{c}) \right)^{2} \right]= \\ & G_{SSB}(f)=\frac{A_{c}^{2}}{8}\left[ G_{x}(f-f_{c})\left( 1+\operatorname{sign}(f-f_{c}) \right) \right]+\left[ G_{x}(f+f_{c})\left( 1-\operatorname{sign}(f+f_{c}) \right) \right] \\ \end{align}


Y la potencia será:

\begin{align} & P_{SSB}=S_{SSB}=R_{SSB}(0)=\left( \frac{A_{c}^{2}}{4} \right)\left( R_{x}\left( 0 \right)\cos \left( 0 \right)-R_{\hat{x}x}\left( 0 \right)\sin \left( 0 \right) \right)= \\ & S_{SSB}=\frac{A_{c}^{2}}{4}S_{x} \\ & S_{DSB}=\frac{A_{c}^{2}}{2}S_{x}\to S_{SSB}=\frac{S_{DSB}}{2} \\ \end{align}

Tiene sentido, pues si recordamos, la potencia de una señal DSB era el doble, pues necesitaba el doble de ancho de banda.

[editar] Relación señal a ruido de una señal SSB, detección coherente

ACTUALIZAR DIBUJO PARA BANDA LATERAL

EsquemaPasoBandaDeteccionCoherente.PNG


\begin{align} & x(t)=x_{I}(t)\cos (\omega _{c}t)-x_{Q}(t)\sin (\omega _{c}t)\to \\ & s(t)=x_{SSB}^{u}(t)=\frac{A_{c}}{2}\left( x(t)\cos (\omega _{c}t)-\hat{x}(t)\sin (\omega _{c}t) \right) \\ & s_{R}(t)=x_{SSB}(t)\cdot {}^{g_{T}}\!\!\diagup\!\!{}_{L}\;\to \left\{ A_{R}=A_{c}\frac{g_{T}}{L} \right\}\to \\ & s_{R}(t)=\frac{A_{R}}{2}\left( x(t)\cos (\omega _{c}t)-\hat{x}(t)\sin (\omega _{c}t) \right) \\ & y_{R}(t)=s_{R}(t)+n_{R}(t) \\ & \left( {}^{S}\!\!\diagup\!\!{}_{N}\; \right)_{R}=? \\ & G_{n_{R}}(f)=G_{n}(f)\cdot \left| H_{R}(f) \right|^{2}\to G_{n}(f)=\frac{\eta }{2}\to N_{R}=\int_{-\infty }^{\infty }{G_{n_{R}}(f)\partial f} \\ & N_{R}=2\frac{\eta }{2}\beta _{T}=\eta \beta _{T}\to \beta _{T}=W\to N_{R}=\eta W \\ & S_{SSB}=\frac{A_{c}^{2}}{4}S_{x} \\ & \left( {}^{S}\!\!\diagup\!\!{}_{N}\; \right)_{R}=\frac{S_{R}}{N_{R}}=\frac{S_{R}}{\eta \beta _{T}}=\frac{S_{R}}{\eta W}=\frac{\frac{A_{R}^{2}}{4}S_{x}}{\eta W} \\ \end{align}

Calculemos ahora, la relación señal a ruido en detección \left( {}^{S}\!\!\diagup\!\!{}_{N}\; \right)_{D}

\begin{align} & s_{R}(t)=\frac{A_{R}}{2}\left( x(t)\cos (\omega _{c}t)-\hat{x}(t)\sin (\omega _{c}t) \right) \\ & y_{R}(t)=s_{R}(t)+n_{R}(t) \\ & y_{D}(t)=s_{D}(t)+n_{D}(t)=y_{R}(t)\cos (\omega _{c}t)\text{ y filtrar}\to \\ & s_{D}(t)=s_{R}(t)\cos (\omega _{c}t)=\frac{A_{R}}{2}\left( x(t)\cos (\omega _{c}t)-\hat{x}(t)\sin (\omega _{c}t) \right)\cos (\omega _{c}t)= \\ & \frac{A_{R}}{2}\left( x(t)\cos (\omega _{c}t)\cos (\omega _{c}t)-\hat{x}(t)\sin (\omega _{c}t)\cos (\omega _{c}t) \right)=\to \left\{ \begin{align} & \cos a\cos b=\frac{\cos (a+b)+\cos (a-b)}{2} \\ & \sin a\cos b=\frac{\sin (a+b)+\sin (a-b)}{2} \\ \end{align} \right\} \\ & s_{D}(t)=\frac{A_{R}}{2}x(t)\left( \frac{\overbrace{\cos (2\omega _{c}t)}^{\text{eliminado por el filtro}}+1}{2} \right)-\hat{x}(t)\left( \frac{\overbrace{\sin (2\omega _{c}t)}^{\text{eliminado por el filtro}}+0}{2} \right)=\frac{A_{R}}{4}x(t) \\ & s_{D}(t)=\frac{A_{R}}{4}x(t) \\ & n_{D}(t)=??? \\ & x(t)=x_{I}(t)\cos (\omega _{c}t)-x_{Q}(t)\sin (\omega _{c}t)\to \\ & n(t)=n_{I}(t)\cos (\omega _{c}t)-n_{Q}(t)\sin (\omega _{c}t)\to \\ & n_{R}(t)=n_{R_{I}}(t)\cos (\omega _{c}t)-n_{R_{Q}}(t)\sin (\omega _{c}t)\to \\ & y_{R}(t)=s_{R}(t)+n_{R}(t)=s_{R}(t)+n_{R_{I}}(t)\cos (\omega _{c}t)-n_{R_{Q}}(t)\sin (\omega _{c}t) \\ & n_{D}(t)=n_{R}(t)\cdot \cos (\omega _{c}t)\text{ y filtrar} \\ & n_{D}(t)=\left( n_{R_{I}}(t)\cos (\omega _{c}t)-n_{R_{Q}}(t)\sin (\omega _{c}t) \right)\cdot \cos (\omega _{c}t)\to \left\{ \begin{align} & \cos a\cos b=\frac{\cos (a+b)+\cos (a-b)}{2} \\ & \sin a\cos b=\frac{\sin (a+b)+\sin (a-b)}{2} \\ \end{align} \right\} \\ & n_{D}(t)=n_{R_{I}}(t)\left( \frac{\overbrace{\cos (2\omega _{c}t)}^{\text{eliminado por el filtro}}+1}{2} \right)-n_{R_{Q}}(t)\left( \frac{\overbrace{\sin (2\omega _{c}t)}^{\text{eliminado por el filtro}}+0}{2} \right) \\ & n_{D}(t)=\frac{n_{R_{I}}(t)}{2} \\ \end{align}

\begin{align} & y_{D}(t)=s_{D}(t)+n_{D}(t) \\ & s_{D}(t)=\frac{A_{R}}{4}x(t) \\ & n_{D}(t)=\frac{n_{R_{I}}(t)}{2} \\ & \left( {}^{S}\!\!\diagup\!\!{}_{N}\; \right)_{D}=\frac{S_{D}}{N_{D}} \\ & G_{Y_{D}}(f)=\underset{T\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| Y_{D}(f) \right|^{2}}{T}\to S_{D}=\frac{A_{R}^{2}S_{x}}{16} \\ & N_{D}=\frac{N_{R_{I}}}{4}\to \left\{ \text{Propiedades: }S_{x}=S_{x_{I}}=S_{x_{Q}} \right\} \\ & N_{R}=\eta \beta _{T}=\eta W\to N_{D}=\frac{\eta W}{4} \\ & \left( {}^{S}\!\!\diagup\!\!{}_{N}\; \right)_{D}=\frac{S_{D}}{N_{D}}=\frac{\frac{A_{R}^{2}S_{x}}{16}}{\frac{\eta W}{4}}=\frac{A_{R}^{2}S_{x}}{4\eta W} \\ \end{align}

[editar] Comparación mediante factor de calidad

Para comparar lo eficaz de nuestra modulación, podremos la relación señal a ruido de detección en función del factor de calidad.

\begin{align} & \gamma =\frac{S_{R}}{\eta W} \\ & S_{R}=\frac{A_{R}^{2}}{4}S_{x} \\ & \left( {}^{S}\!\!\diagup\!\!{}_{N}\; \right)_{D}=\frac{A_{R}^{2}S_{x}}{4\eta W}=\frac{S_{R}}{\eta W}=\gamma \\ \end{align}

Con lo que la calidad de la modulación es igual al factor de calidad, igual que ocurría en DSB, salvo que ahora el ancho de banda necesitado es la mitad.

\left( \beta _{T}=W \right)

[editar] Detección por envolvente

Seria posible también usar detección por envolvente, con todas las ventajas que ello conlleva (simplicidad, eficacia...) siendo su análisis análogo al hecho en AM. Para ello, lo único que tenemos que hacer:

\begin{align} & x^{'}(t)=A_{c}\left( 1+mx(t) \right) \\ & x_{SSB}^{u}(t)=\frac{A_{c}}{2}\left( x^{'}(t)\cos (\omega _{c}t)-\hat{x}^{'}(t)\sin (\omega _{c}t) \right) \\ \end{align}


Proyecto: Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones
Anterior: AM — SSB — Siguiente: VSB


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