DSB

De Wikiversidad

Contenido

1 Representacion en tiempo y frecuencia
2 Propiedades y DEP
3 Relacion señal a ruido de una señal DSB (deteccion coherente)
4 Comparacion mediante factor de calidad
5 Por que no podemos usar deteccion por envolvente?

[editar] Representacion en tiempo y frecuencia

La modulacion DSB o doble banda lateral es una modulacion lineal analogica. Matematicamente puede ser de las mas sencillas de expresar, pues no es mas que el producto de nuestra señal moduladora (la señal que contiene la informacion y queremos transmitir) por la portadora (encargada de mover el espectro).

$\begin{align} & c(t)=A_{c}\cos (\omega _{c}t)=A_{c}\cos (2\pi f_{c}t) \\ & x(t)\text{ o }x_{m}(t):\text{ Moduladora} \\ & x_{DSB}(t)=A_{c}x(t)\cos (\omega _{c}t) \\ \end{align}$

Cual es la representacion en frecuencia de una señal DSB?

$\begin{align} & x_{DSB}(t)=A_{c}x(t)\cos (\omega _{c}t)=A_{c}x(t)\left( \frac{e^{j\omega _{c}t}+e^{-j\omega _{c}t}}{2} \right) \\ & \mathbb{F}\left[ x(t)e^{+j\omega _{0}t} \right]=X(f-f_{0}) \\ & X_{DSB}(f)=\frac{A_{c}}{2}\left( X(f-f_{c})+X(f+f_{c}) \right) \\ \end{align}$

Como se desplazamos el espectro de nuestra señal original a la frecuencia de la portadora, y queda replicada en en la parte positiva y la negativa.

[editar] Propiedades y DEP

Con la representación de señales paso-banda vista en el tema anterior, podemos sacar que:

$\begin{align} & x(t)=x_{I}(t)\cos (\omega _{c}t)-x_{Q}(t)\sin (\omega _{c}t) \\ & s(t)=x_{DSB}(t)=A_{c}x(t)\cos (\omega _{c}t) \\ & s_{I}(t)=A_{c}x(t) \\ & s_{Q}(t)=0 \\ & e(t)=A_{c}\left| x(t) \right|\ne A_{c}x(t) \\ \end{align}$

Cual será su DEP y su potencia?

Para ello, tendremos que sacar su autocorrelacion:

$\begin{align} & R_{DSB}(\tau )=\underset{T\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{T}\cdot \int_{-\infty }^{\infty }{x_{DSB}^{*}(t)\cdot x_{DSB}(t+\tau )\partial t=}\underset{T\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{T}\cdot \int_{-\infty }^{\infty }{\left[ A_{c}x(t)\cos (\omega _{c}t) \right]^{*}\cdot \left[ A_{c}x(t+\tau )\cos \left( \omega _{c}\left( t+\tau \right) \right) \right]\partial t=} \\ & \underset{T\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{T}\cdot A_{c}^{2}\int_{-\infty }^{\infty }{x^{*}(t)x(t+\tau )\cos (\omega _{c}t)\cdot \cos \left( \omega _{c}t+\omega _{c}\tau \right)\partial t\to \left\{ \cos a\cos b=\frac{\cos (a+b)+\cos (a-b)}{2} \right\}} \\ & \underset{T\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{T}\cdot A_{c}^{2}\int_{-\infty }^{\infty }{x^{*}(t)x(t+\tau )\left( \frac{\overbrace{\cos (2\omega _{c}t+\tau )}^{\text{fuera del area de }\int{{}}}+\cos (\omega _{c}\tau )}{2} \right)\partial t}=\underset{T\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{T}\cdot \frac{A_{c}^{2}}{2}\int_{-\infty }^{\infty }{x^{*}(t)x(t+\tau )\overbrace{\cos (\omega _{c}\tau )}^{\text{No depende de t}}\partial t}= \\ & \frac{A_{c}^{2}}{2}\cos (\omega _{c}\tau )\overbrace{\underset{T\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{T}\cdot \int_{-\infty }^{\infty }{x^{*}(t)x(t+\tau )\partial t}}^{R_{x}(\tau )}=\frac{A_{c}^{2}}{2}\cos (\omega _{c}\tau )R_{x}(\tau ) \\ \end{align}$

Por lo que la DEP:

$\begin{align} & R_{DSB}(\tau )=\frac{A_{c}^{2}}{2}R_{x}(\tau )\cos (\omega _{c}\tau )\to \mathbb{F}\to \\ & G_{DSB}(f)=\frac{A_{c}^{2}}{4}\left( G_{x}(f-f_{c})+G_{x}(f+f_{c}) \right) \\ \end{align}$

Y la potencia de la señal:

$\begin{align} & P_{DSB}=S_{DSB}=R_{DSB}(0)=\frac{A_{c}^{2}}{2}R_{x}(0)\cos (\omega _{c}\tau =0)= \\ & S_{DSB}=\frac{A_{c}^{2}}{2}S_{x} \\ \end{align}$

De las ventajas que se pueden decir de esta modulacion es que toda potencia dada a la señal s(t) es usada para la informacion (al contrario de lo que ocurre en AM, donde parte de la potencia se la lleva la portadora), a pesar de todo, el no tener potencia en la portadora nos generará problemas en la demodulacion, podiendo unicamente utilizar demodulacion coherente, que es mas compleja que la de envolvente.

[editar] Relacion señal a ruido de una señal DSB (deteccion coherente)

$\begin{align} & s(t)=A_{c}x(t)\cos (\omega _{c}t) \\ & s_{R}(t)=s(t)\cdot \frac{g_{T}}{L}=A_{c}\frac{g_{T}}{L}x(t)\cos (\omega _{c}t) \\ \end{align}$

Llamemos a $A_{R}=A_{c}\frac{g_{T}}{L}$ :

$s R (t) = A R x (t)cos(ω c t)$

Tras el filtro de recepcion tenemos:

$\begin{align} & y_{R}(t)=s_{R}(t)+n_{R}(t) \\ & n_{R}(t)? \\ & G_{n}(f)=\frac{\eta }{2} \\ & G_{n_{R}}(f)=G_{n}(f)\cdot \left| H_{R}(f) \right|^{2}=G_{n}(f)\cdot \left( \prod{\left( \frac{f-f_{c}}{2W} \right)}+\prod{\left( \frac{f+f_{c}}{2W} \right)} \right) \\ \end{align}$

IMAGEN MATHEMATICA

El tamaño de los filtros de recepcion como de deteccion tienen que ser tal que dejen pasar el ancho de banda de la señal.

En este punto, despues del filtro de recepcion, calculemos la relacion señal a ruido:

$\begin{align} & \left( {}^{S}\!\!\diagup\!\!{}_{N}\; \right)_{R}=? \\ & R_{S_{R}}(\tau )=\frac{A_{R}^{2}}{2}R_{x}(\tau )\cos (\omega _{c}\tau ) \\ & S_{R}=R_{S_{R}}(0)=\frac{A_{R}^{2}}{2}S_{x} \\ \end{align}$

Con el ruido, tenemos:

$N_{R}=R_{n_{R}}(\tau =0)=\int_{-\infty }^{\infty }{G_{n_{R}}}(f)\partial f=\int_{-\infty }^{\infty }{\underbrace{G_{n}(f)}_{\frac{\eta }{2}}\cdot \left| H_{R}(f) \right|^{2}}\partial f=2\left( \frac{\eta }{2}\cdot 2W \right)=2\eta W$

Por lo que, finalmente:

$\left( {}^{S}\!\!\diagup\!\!{}_{N}\; \right)_{R}=\frac{S_{R}}{N_{R}}=\frac{S_{R}}{2\eta W}=\frac{\frac{A_{R}^{2}}{2}S_{x}}{2\eta W}$

Una detalle a comentar es que, independientemente de la modulacion usada o que no este modulada (banda-base) siempre tenemos que:

$\left( {}^{S}\!\!\diagup\!\!{}_{N}\; \right)_{R}=\frac{S_{R}}{N_{R}}=\frac{S_{R}}{\eta \beta _{T}}\xrightarrow[\beta _{T}=2W]{DSB}\frac{S_{R}}{\eta 2W}$

Ahora bien, tras el filtro de recepcion tenemos un detector coherente que, para demodular la señal aplica un multiplicador y un filtro paso-bajo:

$\begin{align} & y_{D}(t)=s_{D}(t)+n_{D}(t)=y_{R}(t)\cos (\omega _{c}t)\text{ y filtrar} \\ & y_{R}(t)=s_{R}(t)+n_{R}(t)\to \\ & s_{D}(t)\to s_{R}(t)\cos (\omega _{c}t)=\left( A_{R}x(t)\cos (\omega _{c}t) \right)\cos (\omega _{c}t)=A_{R}x(t)\left( \frac{1+\overbrace{\cos (2\omega _{c}t)}^{\text{Lo elimina el filtro paso-bajo}}}{2} \right) \\ & s_{D}(t)=\frac{A_{R}}{2}x(t) \\ & n_{R}(t).\cos (\omega _{c}t)=??? \\ \end{align}$

Directamente no sabemos resolver cuanto vale el ruido, pero para ello hemos definido las representacion paso-banda de las señales:

$\begin{align} & x(t)=x_{I}(t)\cos (\omega _{c}t)-x_{Q}(t)\sin (\omega _{c}t)\to \\ & n(t)=n_{I}(t)\cos (\omega _{c}t)-n_{Q}(t)\sin (\omega _{c}t)\to \\ & n_{R}(t)=n_{R_{I}}(t)\cos (\omega _{c}t)-n_{R_{Q}}(t)\sin (\omega _{c}t) \\ \end{align}$

$\begin{align} & y_{R}(t)=s_{R}(t)+n_{R}(t)=s_{R}(t)+n_{R_{I}}(t)\cos (\omega _{c}t)-n_{R_{Q}}(t)\sin (\omega _{c}t) \\ & y_{R}(t).\cos \left( \omega _{c}t \right)\text{ y filtrar} \\ & n_{D}(t)=n_{R}(t)\cdot \cos (\omega _{c}t) \\ & n_{D}(t)=\left( n_{R_{I}}(t)\cos (\omega _{c}t)-n_{R_{Q}}(t)\sin (\omega _{c}t) \right)\cdot \cos (\omega _{c}t)\to \left\{ \begin{align} & \cos a\cos b=\frac{\cos (a+b)+\cos (a-b)}{2} \\ & \sin a\cos b=\frac{\sin (a+b)+\sin (a-b)}{2} \\ \end{align} \right\} \\ & n_{D}(t)=n_{R_{I}}(t)\left( \frac{\overbrace{\cos (2\omega _{c}t)}^{\text{eliminado por el filtro}}+1}{2} \right)-n_{R_{Q}}(t)\left( \frac{\overbrace{\sin (2\omega _{c}t)}^{\text{eliminado por el filtro}}+0}{2} \right) \\ & n_{D}(t)=\frac{n_{R_{I}}(t)}{2} \\ \end{align}$

Por lo que finalmente,

$\begin{align} & y_{D}(t)=s_{D}(t)+n_{D}(t)=\frac{A_{R}x(t)}{2}+\frac{n_{R_{I}}(t)}{2} \\ & G_{Y_{D}}(f)=\underset{T\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| Y_{D}(f) \right|^{2}}{T}\to P_{Y}=\frac{A_{R}^{2}}{4}S_{x}+\frac{N_{R_{I}}}{4}\to \left\{ \text{Propiedades: }S_{x}=S_{x_{I}}=S_{x_{Q}} \right\} \\ & P_{Y}=\frac{A_{R}^{2}}{4}S_{x}+\frac{N_{R}}{4}\to \left\{ N_{R}=2\eta W \right\} \\ & \left( {}^{S}\!\!\diagup\!\!{}_{N}\; \right)_{D}=\frac{S_{D}}{N_{D}}=\frac{\frac{A_{R}^{2}}{4}S_{x}}{\frac{N_{R}}{4}}=\frac{A_{R}^{2}S_{x}}{N_{R}}=\frac{A_{R}^{2}S_{x}}{2\eta W} \\ & S_{R}=\frac{A_{R}^{2}}{2}S_{x}\to \left( {}^{S}\!\!\diagup\!\!{}_{N}\; \right)_{D}=\frac{A_{R}^{2}S_{x}}{2\eta W}=\frac{S_{R}}{\eta W} \\ \end{align}$

[editar] Comparacion mediante factor de calidad

Para comparar lo buena que es nuestra relación señal a ruido (para saber como de buena es nuestra modulacion), lo comparamos con el factor de calidad, que no es mas que la relacion señal a ruido que obtendriamos en banda base, esto es, sin modular la señal:

$\gamma =\frac{S_{R}}{\eta W}\to \left( {}^{S}\!\!\diagup\!\!{}_{N}\; \right)_{D}=\gamma$

[editar] Por que no podemos usar deteccion por envolvente?

Para nuestra DSB, teniamos que la envolvente era: $e(t)=A_{c}\left| x(t) \right|\ne A_{c}x(t)$

Si dibujamos nuestra señal Double Side Band, junto con la moduladora para ver la envolvente, vemos que:

Debido a que el modulo de la moduladora no es igual a la moduladora, no podemos usar la demodulacion por envolvente, que presenta ventajas como su facilidad y alta calidad:

En caso de que usasemos un demodulador por envolvente, la señal a la salida seria:

Proyecto: Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones

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