Tangencias

La tangencia, en geometría plana, generalmente se establece entre rectas, circunferencias, elipses, parábolas o hipérbolas, con sus distintas posiciones, tamaños y combinaciones de unas respecto de otras.

Este texto se puede considerar una ampliación gráfica de la página tangente, por tener dicha página un enfoque de carácter analítico, lejos del trabajo con regla y compás usados en delineación; por esta razón se excluyen, en los ejemplos, las ecuaciones algebraicas o numéricas.

Para un análisis más profundo y en más dimensiones, se debe estudiar la tangente, o superficies como cónicas o cuádraticas. Hay generalizaciones más rigurosas en geometría proyectiva. Para el desarrollo de más propiedades con rectas y circunferencias.

Nomenclatura

• Recta hará referencia o indicará que las líneas rectas son indefinidas o infinitamente largas. También se usará semirrecta (si tiene un extremo) o segmento (cuando tiene dos extremos).
• Circunferencia hará referencia o indicará la cerrada totalmente. Para casos en los que no es cerrada, se usa arco de circunferencia o simplemente un arco cuando queda claro.
• Dos circunferencias, o una circunferencia y una recta, son tangentes o están en tangencia cuando tienen un único punto en común.
• Usaremos abreviaturas de colores, como N = negro (para el enunciado del problema), A = azul (pasos más representativos) y R = rojo (para la solución).

Antes de trazar la circunferencia tangente a los objetos dados, márquese levemente el lugar de tangencia, ya sea con una perpendicular a la recta tangente pasando por el centro de la circunferencia, o en otro caso uniendo con una recta los centros de dos circunferencias prolongándola hasta el supuesto lugar de tangencia. Esto ayuda a trazar arcos en los casos que se necesiten.

Tangencias simples

Serán las tangencias más frecuentes y de fácil resolución. Dependen del orden en que se dan los datos para su ejecución.

Entre una circunferencia y una recta

Objetivamente hay dos casos principales:

Dada una circunferencia cualquiera a la cual se ha de trazar una recta tangente:

• En un primer paso se hace necesario identificar y representar el diámetro (A) de dicha circunferencia, que sea perpendicular a la dirección de la recta tangente. Luego ya es cuestión de trazar la recta por los extremos (R) del diámetro hallado o radio.

Dada una recta cualquiera en la cual se ha construir una circunferencia tangente:

• En un primer paso se hace necesaria trazar una perpendicular (A) sobre dicha recta en el punto de tangencia deseado. Luego ya es cuestión de identificar el centro de la circunferencia sobre dicha perpendicular (R) y trazar la circunferencia.

Entre dos circunferencias

Dada una circunferencia (N) a la que queremos trazar otra circunferencia tangente:

• En un primer paso es necesario trazar una recta que pasa por el centro de la circunferencia dada y por el punto de tangencia deseado (A). Luego se identifica el centro de la segunda circunferencia (R) para acabar trazándola.

Se observa que los dos centros de las circunferencias y el lugar de tangencia de éstas siempre están alineados.

Posiciones relativas entre dos circunferencias

Los distintos adjetivos son de carácter intuitivo y ayudarán a observar, identificar y distinguir casos en los que hay o no tangencias y en qué situación se dan. Son puramente operativos e informativos, ya que en sí no resuelven ningún problema, pero facilitan su explicación para casos complejos.

Véase circunferencia para las explicaciones de algunos casos.

• 
  Circunferencia (R) externa o exterior a otra (N)
• 
  Circunferencia (R) tangente externa o exterior a otra (N)
• 
  Circunferencia (R) secante a otra (N)
• 
  Circunferencia (R) tangente interior a otra (N)
• 
  Circunferencia (R) interior y excéntrica a otra (N)
• 
  Circunferencia (R) interior y concéntrica a otra (N)
• 
  Circunferencia (R) exterior, circundante y excéntrica (N)
• 
  Circunferencia (R) tangente, exterior y circundante a otra (N)

Algunos ejemplos de tangencias múltiples

Los casos más habituales de tangencias se resuelven usando métodos como mediatrices, bisectrices y restas longitudinales de radios, incluso métodos de homotecias o potencias, para hallar circunferencias tangentes a dos rectas y una circunferencia o también para hallar circunferencias tangentes a otras tres de distintos tamaños.

Circunferencias tangente a dos rectas dadas

• Los centros de las circunferencias tangentes siempres son puntos de la bisectriz del ángulo conformado por las dos rectas dadas.

Se puede proceder de dos formas para hallar dichos centros:

• Por un lado trazando la bisectriz y luego seleccionar los centros deseados.

• Si no se tiene acceso al ángulo de las dos rectas dadas, la segunda forma de hallar la bisectriz es hallando dos puntos de la misma, por ejemplo trazando paralelas equidistantes a ambas rectas.

Circunferencia tangente a tres rectas dadas

• Se hallarán las bisectrices de los ángulos conformados por dos parejas de rectas.
• La intersección de las dos bisectrices es el centro de la circunferencia que buscamos.

Circunferencia tangente a otra en un punto dado y a una recta dada

• Se traza una recta tangente a la circunferencia en el punto dado.

A partir de esta recta hay dos posibilidades:

• En primer lugar se traza la bisectriz de las dos rectas. La intersección con la bisectriz y la recta radial es el centro de dicha circunferencia.
• En segundo lugar se puede aplicar potencia, que en resumen, equivale a trazar una circunferencia centrada en el ángulo y radio hasta el punto de tangencia, dicha circunferencia genera dos puntos en la recta dada, que son las dos posibles tangencias de la circunferencia buscada. Finalmente con perpendiculares en dicho par de puntos se obtienen los centros de las circunferencias buscadas.

Rectas tangentes a una circunferencia dada pasando por un punto exterior dado

• Unimos mediante un segmento el centro de la circunferencia con el punto exterior dado
• Trazamos una circunferencia auxiliar cuyo diámetro es el segmento anterior.
• La intersección de ambas circunferencias son los puntos de tangencia que al unirlos con el punto exterior nos dan la solución.

Los puntos de tangencia son los vértices del arco capaz de 90º comprendido entre el centro de la circunferencia y el punto exterior.

Rectas tangentes a dos circunferencias

• Se puede convertir este problema en el anterior, restando la longitud del radio de la circunferencia menor a los dos radios. Los puntos de tangencia de la circunferencia mayor estarán alineados con su centro.

• Para hallar las tangentes interiores, se suma la longitud del radio menor al mayor y se resta al menor. Los puntos de tangencia de la circunferencia mayor estarán alineados con su centro.

Circunferencia tangente a otra en un punto dado y que pase por otro punto dado

• Se une mediante un segmento(A) el punto de tangencia de las circunferencias con el punto exterior dado.
• Se hace la mediatriz de dicho segmento.
• El centro de la circunferencia buscada estará alineado con el centro de la circunferencia dada y su punto tangente.
• Finalmente en la intersección está el centro de la circunferencia buscada.

Circunferencia tangente a otra en un punto dado y a otra circunferencia cualquiera

• Es posible deducir este método del anterior.
• Alargando el radio de la circunferencia, con tangencia, y sobre su punto de tangencia, situemos dos puntos que equidisten a dicho punto el radio de la otra circunferencia. Ahora identificando mediatrices entre cada uno de los puntos y el centro de la circunferencia, que no tiene tangencia, generan otros dos puntos que son los centros de las dos circunferencias buscadas.

Circunferencias tangentes a otras tres dadas

En este caso solo se menciona que aparecen varios tipos de tangencias: una tangente exterior, tres tangentes cada una exterior a una y circundante a otras dos, tres tangentes cada una exterior a dos y circundante a otra, y una tangente circundante a las tres circunferencias. (El problema de Apolonio)