Ruido en comunicaciones

Características

El ruido es una parte natural e inevitable de los sistemas de telecomunicación. Aparte de los ruidos que puedan surgir en una transmision común, siempre vamos a tener, al menos, un tipo de ruido:

Ruido termico $n(t)$ : consecuencia de los electrones al vibrar.

Este tipo de ruido, presente en todas los objetos, esta estudiado y caracterizado, siendo sus propiedades las siguientes:

• Aleatoria
• Media 0 $<n(t)>=m_{n(t)}=0$
• Ortogonal a cualquier señal
• Distribución gaussiana
• Densidad espectral de frecuencia constante para cualquier frecuencia

Al ruido termico se le suele llamar habitualmente ruido blanco o ruido gaussiano blanco

Si la DEP es constante,entonces:

DEP del ruido

$\eta$ es un valor fijo, medido en Watt/Hz.

De aquí viene el término “blanco”, como se sabe cada color tiene un longitud de onda dada, y por ende, un frecuencia determinada. Al ser la mezcla de todos los colores el blanco, una señal que este uniformemente distribuida en todo el espectro será “blanca”. Sabiendo que:

${\begin{aligned}&G_{n}(f)={}^{\eta }\!\!\diagup \!\!{}_{2}\;\to \mathbb {F} \left[R_{n}(\tau )\right]=G_{n}(f)\\&R_{n}(\tau )={}^{\eta }\!\!\diagup \!\!{}_{2}\;\cdot \delta (\tau )\\\end{aligned}}$

Ahora bien, también se ha dicho que el ruido gaussiano blanco es ortogonal a cualquier señal, que consecuencias tiene eso?

Calculemos la correlación de la salida:

${\begin{aligned}&y(t)=s(t)+n(t)\\&R_{y}(t)?\\&R_{y}(\tau )={\underset {T\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {1}{T}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{y^{*}(t)\cdot y(t+\tau )\partial t=}{\underset {T\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {1}{T}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{\left[s(t)+n(t)\right]^{*}\cdot \left[s(t+\tau )+n(t+\tau )\right]\partial t=}\\&{\underset {T\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {1}{T}}\left[\int _{-\infty }^{\infty }{s^{*}(t)\cdot s(t+\tau )\partial t+\int _{-\infty }^{\infty }{s^{*}(t)\cdot n(t+\tau )\partial t+\int _{-\infty }^{\infty }{n^{*}(t)\cdot s(t+\tau )\partial t}}}+\int _{-\infty }^{\infty }{n^{*}(t)\cdot n(t+\tau )\partial t}\right]=\\&R_{y}(\tau )=R_{s}(\tau )+\underbrace {R_{ns}(\tau )} _{0}+\underbrace {R_{sn}(\tau )} _{0}+R_{n}(\tau )\\\end{aligned}}$

La correlación cruzada del ruido y una señal es cero. Por lo que, si queremos saber la potencia de la señal a la salida:

$P_{y}=R_{y}(0)=R_{s}(0)+R_{n}(0)=P_{s}+P_{n}$

La potencia de la salida será la suma de las potencias de la entrada y el ruido

Al igual que se habla de ruido blanco, también se habla de ruido “coloreado” cuando el ruido blanco atraviesa un filtro, le damos “color” porque solo nos estamos quedando con un grupo de frecuencias. Veamoslo con un ejemplo:

Ruido coloreado

Ruido Coloreado

LPF: Low Pass Filter (Filtro paso-bajo)

Un filtro paso-bajo es aquel que solo deja pasar las bajas frecuencias (considerando bajas frecuencias a aquellas cuya frecuencia es menor que W) y elimina el resto. Considerando un filtro paso-bajo ideal (un pulso rectangular), tenemos que:

${\begin{aligned}&G_{y}(f)=G_{x}(f)\cdot \left|H(f)\right|^{2}\to {\text{para nuestro caso}}\\&G_{y}(f)=G_{n}(f)\cdot \left|H_{LPF}(f)\right|^{2}\\&H_{LPF}(f)=\prod {\left({\frac {f}{2W}}\right)}\\&P_{y}=\int _{-\infty }^{\infty }{G_{y}(f)\partial f=}\int _{-\infty }^{\infty }{G_{n}(f)\cdot \left|H_{LPF}(f)\right|^{2}\partial f}=\int _{-\infty }^{\infty }{{}^{\eta }\!\!\diagup \!\!{}_{2}\;\cdot \prod {\left({\frac {f}{2W}}\right)}\partial f}=\\&\int _{-W}^{W}{{}^{\eta }\!\!\diagup \!\!{}_{2}\;\partial f}={}^{\eta }\!\!\diagup \!\!{}_{2}\;\cdot 2W\to P_{y}=\eta W\\\end{aligned}}$

Proyecto: Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones

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