Filtros y concepto de ancho de banda

Ancho de banda

En el ejemplo anterior Ruido en comunicaciones, hemos visto que teníamos un filtro ideal, pues se trataba de un pulso rectangular. Este tipo de filtros son irrealizables, y los filtros reales presentan una amplitud desigual, de forma que su amplitud decrece a medida que nos acercamos a la “frecuencia de corte”. Además, los filtros ideales tendrian una respuesta temporal infinita, por lo que no son adecuados.

Ancho de banda equivalente

Un tipo de filtro paso-bajo usado habitualemente:

$H(\omega )={\frac {1}{a+j\omega }}\to h(t)=e^{-at}u(t),{\text{ }}a<1$

Este filtro tiene un máximo en frecuencia, de forma que es correcto pensar que para frecuencias altas el filtro prácticamente vale cero, bloqueando el paso de las señales para esos casos.

Como lo que nos interesa es la D.E.P:

${\begin{aligned}&H(\omega )={\frac {1}{a+j\omega }}={\frac {a-j\omega }{a^{2}+\omega ^{2}}}\to \left|H(\omega )\right|={\frac {\sqrt {a^{2}+\omega ^{2}}}{a^{2}+\omega ^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {a^{2}+\omega ^{2}}}}\\&\left|H(\omega )\right|^{2}={\frac {1}{a^{2}+\omega ^{2}}}\to \left|H(f)\right|^{2}={\frac {1}{a^{2}+\left(2\pi f\right)^{2}}}\\\end{aligned}}$

Respuesta en frecuencia de filtro RC paso-bajo

Nuestro filtro ideal seria: $\left|H(f)\right|^{2}=\prod {\left({\frac {f}{2W}}\right)}$ siendo W la frecuencia de corte.

Una definición usada habitualmente es la de ancho de banda equivalente, que significa que nuestro filtro real y el filtro ideal tengan la misma area, en caso de que nuestro filtro real tenga la misma amplitud que en el origen para las frecuencias que quiera dejar pasar. Con un dibujo se entenderá mejor:

Filtro RC comparado con filtro ideal (pulso rectangular)

Siendo nuestro filtro real $H(f)$ y el filtro equivalente $\prod {\left({\frac {f}{2B_{eq}}}\right)}$ En el dibujo el $\left|H(f)\right|_{\max }^{2}$ es igual a uno, para simplificar (pero no tiene porque).

Siendo el área una integral, en ancho de banda equivalente se define matemáticamente:

${\begin{aligned}&\int _{-\infty }^{\infty }{\left|H(f)\right|^{2}\partial f}=\int _{-\infty }^{\infty }{\underbrace {\left|H(f)\right|_{\max }^{2}} _{\left|H(0)\right|^{2}}\prod {\left({\frac {f}{2B_{eq}}}\right)}\partial f}\\&\int _{-\infty }^{\infty }{\left|H(f)\right|^{2}\partial f}=\int _{-B_{eq}}^{B_{eq}}{\left|H(f)\right|_{\max }^{2}\partial f}\\&\int _{-\infty }^{\infty }{\left|H(f)\right|^{2}\partial f}=\left|H(f)\right|_{\max }^{2}\cdot 2B_{eq}\\&B_{eq}={\frac {\int _{-\infty }^{\infty }{\left|H(f)\right|^{2}\partial f}}{2\left|H(f)\right|_{\max }^{2}}}={\frac {\int _{0}^{\infty }{\left|H(f)\right|^{2}\partial f}}{\left|H(f)\right|_{\max }^{2}}}\\\end{aligned}}$

Una vez definido en ancho de banda equivalente, ¿cuánto vale para nuestro filtro?

${\begin{aligned}&\int _{-\infty }^{\infty }{\left|H(f)\right|^{2}\partial f}=?\\&\left|H(f)\right|^{2}={\frac {1}{a^{2}+\left(2\pi f\right)^{2}}}\to \int _{-\infty }^{\infty }{{\frac {1}{a^{2}+\left(2\pi f\right)^{2}}}\partial f}\Rightarrow \left\{\int {{\frac {1}{1+x^{2}}}\partial x=\arctan(x)}\right\}\\&\int _{-\infty }^{\infty }{{\frac {1}{a^{2}+\left(2\pi f\right)^{2}}}\partial f}={\frac {1}{a^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }{{\frac {1}{1+\left({}^{2\pi f}\!\!\diagup \!\!{}_{a}\;\right)^{2}}}\partial f}={\frac {1}{a^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }{{}^{a}\!\!\diagup \!\!{}_{2\pi }\;{\frac {{}^{2\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{a}\;}{1+\left({}^{2\pi f}\!\!\diagup \!\!{}_{a}\;\right)^{2}}}\partial f}=\\&{\frac {1}{a^{2}}}{}^{a}\!\!\diagup \!\!{}_{2\pi }\;\int _{-\infty }^{\infty }{{\frac {{}^{2\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{a}\;}{1+\left({}^{2\pi f}\!\!\diagup \!\!{}_{a}\;\right)^{2}}}\partial f}={\frac {1}{a2\pi }}\cdot \left.\arctan \left({}^{2\pi f}\!\!\diagup \!\!{}_{a}\;\right)\right|_{-\infty }^{\infty }={\frac {1}{a2\pi }}\cdot \left({}^{\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{2}\;-\left({}^{\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{2}\;\right)\right)={\frac {\pi }{a2\pi }}\\&\int _{-\infty }^{\infty }{\left|H(f)\right|^{2}\partial f}={\frac {1}{2a}}\\\end{aligned}}$

Y ahora

${\begin{aligned}&\int _{-\infty }^{\infty }{\left|H(f)\right|^{2}\partial f}={\frac {1}{2a}};{\text{ }}\left|H(f)\right|_{\max }^{2}={\frac {1}{a^{2}}}\\&B_{eq}={\frac {\int _{-\infty }^{\infty }{\left|H(f)\right|^{2}\partial f}}{2\left|H(f)\right|_{\max }^{2}}}={\frac {\frac {1}{2a}}{2\left({\frac {1}{a^{2}}}\right)}}={\frac {a}{4}}(Hz)\\\end{aligned}}$

Por lo que nuestro ancho de banda equivalente es a/4. ¿Para qué nos puede servir? Imaginemos que tenemos que calcular la salida del filtro cuando la entrada es ruido blanco u otra señal de espectro plano, para cada señal de diferente amplitud tendríamos que repetir las complejas integrales, pero usando el filtro equivalente se simplifica mucho el cálculo.

${\begin{aligned}&Ej:\\&P_{y}?\\&G_{n}(f)={}^{\eta }\!\!\diagup \!\!{}_{2}\;\\&\left|H(f)\right|^{2}={\frac {1}{a^{2}+\left(2\pi f\right)^{2}}}\to \left|H(f)\right|_{\max }^{2}={\frac {1}{a^{2}}}\\&G_{y}(f)=G_{n}(f)\cdot \left|H(f)\right|^{2}\\&P_{y}=\int _{-\infty }^{\infty }{G_{y}(f)}\partial f=\int _{-\infty }^{\infty }{G_{n}(f)\cdot \left|H(f)\right|^{2}}\partial f=?\to \int _{-\infty }^{\infty }{G_{n}(f)\cdot \left|H(f)\right|_{\max }^{2}\cdot \prod {\left({\frac {f}{2B_{eq}}}\right)}}\partial f=\\&{\frac {\eta }{2}}\cdot {\frac {1}{a^{2}}}\cdot 2B_{eq}={\frac {\eta }{2}}\cdot {\frac {1}{a^{2}}}\cdot 2\left({\frac {a}{4}}\right)={\frac {\eta }{2}}\cdot {\frac {1}{2a}}\to P_{y}={\frac {\eta }{4a}}\\\end{aligned}}$

Ancho de banda a 3 dB

El ancho de banda equivalente es una manera de caracterizar un filtro. Otra manera es la de conocer el ancho de banda a 3 dB. ¿Qué quiere decir? El BW a 3 dB es el punto en el filtro a partir de donde la señal vale 3 dB menos que en el origen (en el máximo). Con ello, sabiendo que a partir de ese punto el filtro vale menos que 3 dB, consideramos que elimina esas banda, solo dejando pasar las inferiores.

Primeramente, decir que $dB=10\log(x)\to 3dB=10\log(x)\to x=2$ Por lo que habrá que buscar el punto donde el filtro vale 2 veces menos que el original.

Usemos el mismo filtro anterior, y calculemos su ancho de banda a 3 dB.

Respuesta en frecuencia de filtro RC paso-bajo

Los dB se utilizan en potencias, por lo que tendremos que usar el módulo al cuadrado de nuestro filtro.

${\begin{aligned}&\left|H(f)\right|^{2}={\frac {1}{a^{2}+\left(2\pi f\right)^{2}}};\left|H(f)\right|_{\max }^{2}={\frac {1}{a^{2}}}\\&\left|H(f=f_{3dB})\right|^{2}={\frac {1}{a^{2}+\left(2\pi \left(f=f_{3dB}\right)\right)^{2}}}={\frac {\left|H(f)\right|_{\max }^{2}}{2}}\to f_{3dB}=?\\&{\frac {\left|H(f)\right|_{\max }^{2}}{2}}={\frac {1}{a^{2}+\left(2\pi f_{3dB}\right)^{2}}}={\frac {\left|H(f)\right|_{\max }^{2}}{1+\left({}^{2\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{a}\;f_{3dB}\right)^{2}}}\\&{\frac {1}{2}}={\frac {1}{1+\left({}^{2\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{a}\;f_{3dB}\right)^{2}}}\to 2=1+\left({}^{2\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{a}\;f_{3dB}\right)^{2}\to 1=\left({}^{2\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{a}\;f_{3dB}\right)^{2}\to \\&f_{3dB}={\frac {a}{2\pi }}(Hz)\\\end{aligned}}$

Ahora sabemos que a partir de a/2pi la señal se atenúa mas de 3 dB (mas de ½) con lo que podemos suponer que elimina esas frecuencias. Por debajo, a pesar de en realidad las esta atenuando un poco, suponemos que deja pasar las frecuencias bajas.

Podemos reseñar que existe una relación entre en ancho de banda a 3 dB y el ancho de banda equivalente:

${\begin{aligned}&f_{3dB}={\frac {a}{2\pi }}\\&B_{eq}={\frac {a}{4}}\\&{}^{B_{eq}}\!\!\diagup \!\!{}_{f_{3dB}}\;={\frac {\frac {a}{4}}{\frac {a}{2\pi }}}={\frac {\pi }{2}}\to B_{eq}=f_{3dB}\cdot {\frac {\pi }{2}}\\\end{aligned}}$

Proyecto: Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones

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