Ondas Transversales: Cuerdas

De Wikiversidad
Ir a la navegación Ir a la búsqueda

Velocidad de la onda [1][editar]

La rapidez es una de las propiedades claves de una onda, la velocidad de una onda en una cuerda está determinada por la tensión de la cuerda y la masa por unidad de longitud, también llamada densidad de masa lineal.

Al aumentar la tensión, la fuerza de restitución de las partículas de la cuerda es mayor, por lo que la velocidad de propagación de la onda aumentará. Al aumentar la masa el movimiento será más lento.

De lo anterior se puede decir que la velocidad aumenta cuando la tensión aumenta y/o cuando la masa disminuye. La velocidad de una onda en una cuerda está dada por

donde    es la tensión de la cuerda   es la masa por unidad de longitud, es decir

Energía y potencia transportada[editar]

Para producir el movimiento de una cuerda se necesita aplicar una fuerza, como hay desplazamiento de la porción en donde se aplica, se efectúa trabajo. Al propagarse la onda cada porción ejerce una fuerza sobre la porción adyacente y por lo tanto realiza trabajo sobre cada una. De esta manera una onda puede transportar energía.

La potencia es la razón instantánea con que se transfiere energía por la cuerda, depende de la posición    en la cuerda y del tiempo . Es la fuerza transversal aplicada multiplicada por la velocidad transversal.

Esta ecuación es válida para cualquier onda en una cuerda.

De la ecuación de onda sinusoidal conocida, tenemos que

y

Reemplazando lo anterior en la fórmula de potencia, tenemos

usando y

Como la función  nunca es negativa, entonces la potencia siempre es positiva o cero.

El valor máximo de la potencia es cuando la función    vale la unidad.

Para obtener la potencia media, debemos saber que que el promedio de la constante   , es la misma constante y el promedio de es . Por lo que la potencia promedio es

Principio de superposición, interferencia espacial y temporal[editar]

Representación de 2 ondas que viajan en direcciones contrarias e invertidas.
Representación de 2 ondas que viajan en direcciones contrarias con la misma forma.

Cuando una onda choca contra las fronteras de su medio, se refleja parcial o totalmente.  Cuando la onda se refleja y se encuentra con la onda original se genera interferencia.

La interferencia se da cuando dos ondas pasan por la misma región al mismo tiempo.

Cuando dos ondas que viajan en direcciones contrarias e invertidas, se encuentran en un punto, estas continúan su trayectoria.El punto central se desplaza.

Cuando dos ondas que viajan en direcciones contrarias con la misma forma, se encuentran en un punto, continúan su trayectoria. El punto central se desplaza.

Cuando dos ondas se traslapan, el desplazamiento real de cualquier punto de la cuerda en cualquier instante se obtiene sumando el desplazamiento de ese punto si solo estuviera la primera onda con el desplazamiento de ese punto como si solo estuviera la segunda onda.

Ondas estacionarias en cuerdas[editar]

Representación de nodos y antinodos
Cuerda de longitud L sujeta de sus dos extremos.
Longitud de una onda
Primer modo normal de vibración de una cuerda
Segundo modo normal de vibración de una cuerda
Tercer modo normal de vibración de una cuerda

Las ondas estacionarias son el resultado de la superposición de dos ondas que viajan en sentidos contrarios con la misma velocidad. Al sumar las ecuaciones de onda de cada una obtenemos la ecuación para una onda estacionaria.

Una onda estacionaria tiene un patrón de oscilación con contorno estacionario.

Note que ahora la expresión para la amplitud dada por

Y esta nueva amplitud depende de la posición   del elemento del medio.

La amplitud del movimiento de un elemento es mínima cuando satisface que  , es decir, cuando

Ya que , los valores que   puede tomar son

Estos puntos en los que la amplitud es cero, se llaman nodos.

Los puntos en los que se presenta la amplitud máxima se denominan antinodos.

Los valores de   para los antinodos son

La distancia entre dos nodos consecutivos es

La distancia entre dos antinodos consecutivos es

La distancia entre un nodo y un antinodo adyacente es

Suponga una cuerda de longitud está sujeta por ambos extremos, en donde se pueden generar ondas estacionarias. Ya que sus extremos están fijos, el desplazamiento allí será cero, por lo tanto son nodos. Esto hace que la onda en la cuerda esté bajo condiciones frontera y que esta tenga modos normales de vibración.

El primer modo de vibración para la cuerda se llama modo fundamental.

Para analizar los modos normales de vibración de una cuerda bajo condiciones frontera, debe tener claro el concepto de longitud de una onda  .

Primer modo: La longitud de la cuerda equivale a media longitud de onda.  , entonces .

La frecuencia está dada por . Entonces para este modo

Segundo modo: y

Tercer modo: entonces y la frecuencia es

Podemos encontrar un patrón de secuencia en la frecuencia de estas ondas y es

donde es el modo de vibración y coincide con el número de antinodos.

Para cuerdas sujetas por un extremo se realiza un análisis similar y se obtiene que

y

donde  y es el modo de vibración que en este caso también coincide con el número de antinodos.

Propiedades generales de las ondas: Reflexión y transmisión de ondas[editar]

Pulso de una cuerda con un extremo fijo
Pulso de una cuerda con un extremo móvil
Tipos de pulso generados en una cuerda

Cuando la onda en una cuerda llega al extremo fijo, este ejerce una fuerza y crea una onda  reflejada invertida que viaja en dirección opuesta.

Cuando el extremo es móvil, este se mueve con la cuerda y crea una onda reflejada no invertida en dirección opuesta.

Si la frontera de la cuerda por la que viaja el pulso incidente es intermedio a los dos casos anteriores ocurre que parte de la energía del pulso se refleja y otra parte se transmite. Es decir parte de la energía pasa a través de la frontera. Suponga dos cuerdas unidas, una más ligera que otra, cuando el pulso incidente viaja por la cuerda ligera y llega a la frontera, el pulso transmitido continúa y el reflejado se invierte. Cuando el pulso incidente viaja por la cuerda menos ligera, el pulso transmitido continúa y el pulso reflejado se devuelve sin ser invertido.

Velocidad de grupo y velocidad de fase[editar]

Representación de velocidad de fase y velocidad de grupo

La velocidad de fase es la rapidez con la cual la onda cambia de fase, la velocidad de una fase de onda, por ejemplo, su cresta. La velocidad de grupo es la rapidez a la que se propaga la onda, la velocidad de la onda envolvente de un grupo de ondas, por ejemplo de un pulso.

Anexos[editar]

Véase también[editar]

Notas[editar]

Referencias[editar]

  1. Física universitaria con física moderna. Volumen 1. ISBN 9786073221245. 

Bibliografía[editar]

Enlaces externos[editar]

Categorías[editar]