Principales conjuntos numéricos/Números complejos

$j = \sqrt{- 1}$

Modulo de un número complejo: z

Llamemos z a un número complejo formado por una parte real y una imaginaria

El conjugado de un número se define como aquel que tiene la misma parte real que z, pero siendo la parte imaginaria de signo contrario: $\underset{\begin{matrix} Dos nomenclaturas \\ para denominar al \\ conjugado \end{matrix}}{\underset{⏟}{z^{*} = \overline{z}}} = x - j \cdot y$

A esta forma se la denomina forma binómica.

el modulo de una señal se define como la multiplicación de ese número por su conjugado

$| z | = z \cdot z^{*} = \sqrt{(x + j y) \cdot (x - j y}) = \sqrt{x^{2} - j x y + j x y - j^{2} y^{2}} \to_{j^{2} = - 1}^{} \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

A veces, y por simple comodidad se prefiere trabajar con la forma trigonometrica en vez de con la forma binómica:

$\begin{matrix} z = \underset{forma binomica}{\underset{⏟}{x + j \cdot y}} = \underset{forma trigonometrica}{\underset{⏟}{ρ (\cos θ + j \cdot \sin θ)}} = \underset{forma exponencial}{\underset{⏟}{ρ \cdot e^{j θ}}} \\ {\begin{matrix} x = ρ \cdot \cos θ \\ y = ρ \cdot \sin θ \end{matrix} \\ ρ = | z | = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \to_{debido a}^{} \sqrt{{(ρ \cos θ)}^{2} + {(ρ \sin θ)}^{2}} = \sqrt{ρ^{2} \underset{\cos^{2} θ + \sin^{2} θ = 1}{\underset{⏟}{(\cos^{2} θ + \sin^{2} θ)}}} = ρ \\ \tan θ = \frac{y}{x} \\ E j . \\ z = - 1 + j \to ρ = \sqrt{(- 1)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2} \\ \tan θ = \frac{1}{- 1} = - 1 \to θ = \arctan (- 1) =^{3 π} ╱_{4},^{11 π} ╱_{4} ... \\ El argumento de z se denomina \arg (z) = θ + 2 n π; n \in ℕ \\ \arg (z) \in [- π, π] \end{matrix}$

No se ha demostrado la igualdad correspondiente a:

$e^{j θ} = \cos θ + j \cdot \sin θ$ Llamada fórmula de Euler, y será demostrada mas adelante, junto con la serie de Taylor. De la misma manera, y usando las PROPIEDADES DE LOS SENOIDES, tenemos:

$e^{- j θ} = \underset{func . par}{\underset{⏟}{\cos (- θ)}} + j \cdot \underset{func . impar}{\underset{⏟}{\sin (- θ)}} = \cos θ - j \sin θ$

Periodicidad de la exponencial compleja

Por la relación de la exponencial compleja y las senoides vista anteriormente, podemos deducir que:

$\begin{matrix} z = x + j \cdot y \\ e^{z + j 2 π} = e^{z} \cdot e^{j 2 π} \to_{Euler}^{} e^{z} (\underset{1}{\underset{⏟}{\cos (2 π)}} + j \underset{0}{\underset{⏟}{\sin (2 π)}}) = e^{z} \\ e^{j 2 π} = 1 \\ Periodica T = 2 π j f (z + T) = f (z), z \in ℂ \end{matrix}$

La raíz de un número complejo

$\begin{matrix} \sqrt[n]{z} = w \leftrightarrow w^{n} = z \\ E j : \sqrt[4]{1 + j} = w \leftrightarrow w^{4} = 1 + j = \underset{Abs()}{\underset{⏟}{\sqrt{2}}} e^{j \underset{Arg()}{\underset{⏟}{^{π} ╱_{4}}}} \\ Poniendo w en forma polar w = ρ \cdot e^{j θ} \to w^{4} = ρ^{4} \cdot (e^{j θ})^{4} = ρ^{4} \cdot e^{j 4 θ} \\ ρ^{4} = \sqrt{2} \to ρ = \sqrt[4]{\sqrt{2}} = \sqrt[8]{2} \\ 4 θ =^{π} ╱_{4} + 2 k π, k \in ℤ \to θ = \frac{^{π} ╱_{4} + 2 k π}{4} =^{π} ╱_{16} +^{k π} ╱_{2} \\ k = 0 \to θ =^{π} ╱_{16} \\ k = 1 \to θ =^{π} ╱_{16} +^{π} ╱_{2} \\ k = 2 \to θ =^{π} ╱_{16} + π \\ k = 3 \to θ =^{π} ╱_{16} +^{3 π} ╱_{4} \\ k = 4 \to θ =^{π} ╱_{16} + 2 π se repite \\ \sqrt[n]{ρ \cdot e^{j θ}} = \sqrt[n]{ρ} \cdot e^{j (\frac{θ + 2 k π}{n})}; k = 0, 1, 2... (n - 1) \end{matrix}$