Números naturales/Divisibilidad

Lección 8

Divisibilidad

Un número natural es divisible entre otro llamado divisor si su división es exacta (el residuo es $0$ ).

El número 25 es divisible entre 5 porque su división es exacta:
$25 \div 5 = 5$ . El residuo es $0$ .

El número 81 es divisible entre 3 por que su división es exacta:
$81 \div 3 = 27$ . El residuo es $0$ .

El número 32 es divisible entre 2 por que su división es exacta:
$32 \div 2 = 16$ . El residuo es $0$ .

Si el residuo de la división es diferente de $0$ , el dividendo no es divisible entre el divisor.

El número 77 no es divisible entre 5 por que su división no es exacta:
$77 \div 5 = 15$ . El residuo es $2$ , por lo tanto la división no es exacta y $5$ no es divisor de $77$ .

El número 13 no es divisible entre 6 por que su división no es exacta:
$13 \div 6 = 2$ . El residuo es $1$ , por lo tanto la división no es exacta y $6$ no es divisor de $13$ .

El número 48 no es divisible entre 7 por que su división no es exacta:
$48 \div 7 = 6$ . El residuo es $6$ , por lo tanto la división no es exacta y $7$ no es divisor de $48$ .

Los divisores de un número también se llaman factores o submúltiplos de ese número.

Divisibilidad del 0

El $0$ es un caso especial porque es divisible entre todos los números naturales, ya que el resultado de dividir el cero entre cualquier otro número siempre es cero y la división siempre es exacta.

$0 \div 1 = 0$ . El residuo es $0$ , la división es exacta y por lo tanto decimos que 1 es factor del $0$ .

$0 \div 2 = 0$ . El residuo es $0$ , la división es exacta y por lo tanto decimos que 2 es factor del $0$ .

$0 \div 3 = 0$ . El residuo es $0$ , la división es exacta y por lo tanto decimos que 3 es factor del $0$ .

$0 \div 4 = 0$ . El residuo es $0$ , la división es exacta y por lo tanto decimos que 4 es factor del $0$ .

...

Reglas de divisibilidad

Las siguientes reglas nos ayudan a verificar rápidamente si un número natural es divisible entre algunos números utilizados frecuentemente en las divisiones.

Existen reglas de divisibilidad para otros números pero son más complejas de calcular. En esos casos es más sencillo realizar la división. Si el residuo es cero, el dividendo es divisible entre el divisor.

Divisibilidad entre 2

Un número es divisible entre 2 si su última cifra es divisible entre 2: $0, 2, 4, 6$ y $8$ .

Los siguientes números son divisibles entre dos:

$24$ ya que su última cifra es divisible entre 2: $4$ .

$576$ ya que su última cifra es divisible entre 2: $6$ .

$452$ ya que su última cifra es divisible entre 2: $2$ .

Los siguientes números no son divisibles entre dos porque su última cifra no es par:

$11$

$17$

$97$

Divisibilidad entre 3

Un número es divisible por tres si la suma de todas sus cifras es divisible por tres.

Los siguientes números son divisibles por tres:

$24$ ya que la suma de sus cifras es $6$ y 6 es divisible por tres.

$30$ ya que la suma de sus cifras es $3$ y 3 es divisible por tres.

$45$ ya que la suma de sus cifras es $9$ y 9 es divisible por tres.

Si el número resultante tiene más de una cifra, se aplica el mismo procedimiento para determinar si es divisible por tres.

Los siguientes números son divisibles por tres:

$129$ ya que la suma de sus cifras ( $12$ ) también es divisible por tres ( $1 + 2 = 3$ ).

$495$ ya que la suma de sus cifras ( $18$ ) también es divisible por tres ( $1 + 8 = 9$ ).

$5667$ ya que la suma de sus cifras ( $24$ ) también es divisible por tres ( $2 + 4 = 6$ ).

Los siguientes números no son divisibles por tres porque la suma de sus cifras no es divisible por tres:

$7$ ya que su división entre $3$ produce un residuo diferente de $0$ .

$17$ ya que la suma de sus cifras ( $8$ ) no es divisible por tres.

$649$ ya que la suma de sus cifras ( $19$ ) no es divisible por tres.

Divisibilidad entre 5

Un número es divisible entre $5$ si la última cifra es $5$ o $0$ .

Los siguientes números son divisibles entre cinco:

$25$ ya que su última cifra es $5$ .

$110$ ya que su última cifra es $0$ .

$275$ ya que su última cifra es $5$ .

Los siguientes números no son divisibles entre cinco porque su última cifra no es cinco o cero:

$32$

$1256$

$1669$

Divisibilidad entre 10

Un número es divisible entre $10$ si la última cifra es $0$ .

Los siguientes números son divisibles entre diez:

$40$ ya que su última cifra es $0$ .

$70$ ya que su última cifra es $0$ .

$110$ ya que su última cifra es $0$ .

Los siguientes números no son divisibles entre diez porque su última cifra no es cero:

$21$

$78$

$1254$

Propiedades

Reflexibilidad

Todo número natural distinto de $0$ es divisor de sí mismo.

Lo anterior se cumple porque la división de todo número natural por sí mismo siempre es igual a

1

y el residuo de la operación es

0

. Por ejemplo:

El número $37$ es divisor de sí mismo ya que:

$(37 \div 37) = 1$ y el residuo es $0$

El número $123$ es divisor de sí mismo ya que:

$(123 \div 123) = 1$ y el residuo es $0$

Divisibilidad por la unidad

Todo número natural es divisible por el número $1$ .

Lo anterior se cumple ya que la división de todo número natural por la unidad (el número

1

) siempre es igual al número original y el residuo de la operación es

0

. Por ejemplo:

El número $1$ es divisor del número $65$ ya que:

$(65 \div 1) = 65$ y el residuo es $0$

El número $1$ es divisor del número $867$ ya que:

$(867 \div 1) = 867$ y el residuo es $0$

No es simétrica

Si un número $b$ es factor o submúltiplo de un número $a$ , la relación no se cumple en la dirección opuesta ( $a$ no es divisor de $b$ ).

Esto ocurre porque la división no es una operación conmutativa. Por ejemplo:

El número $5$ es factor del número $25$ pero $25$ no es factor de $5$ ya que:

$25 \div 5 = 5$

pero
$5 \div 25 \neq 5$

El número $7$ es submúltiplo del número $77$ pero $77$ no es factor de $7$ ya que:

$77 \div 7 = 11$

pero
$7 \div 77 \neq 11$

Transitividad

Si un número $a$ es divisible por un número $b$ y $b$ es divisible por un número $c$ , entonces $a$ es divisible por $c$ .

Esto significa que todos los factores de

b

también son factores de

a

y lo podemos ver en los siguientes ejemplos:

Cómo el número $2$ es factor del número $6$ y el número $6$ es factor del número $36$ :

$36 \div 6 = 6$ y el residuo es $0$

$6 \div 2 = 3$ y el residuo es $0$

entonces sabemos que el número $2$ es factor de $36$ :

$36 \div 2 = 18$ y el residuo es $0$

Cómo el número $5$ es factor del número $15$ y el número $15$ es factor del número $120$ :

$120 \div 15 = 8$ y el residuo es $0$

$15 \div 3 = 5$ y el residuo es $0$

entonces sabemos que el número $5$ es factor de $120$ :

$120 \div 5 = 24$ y el residuo es $0$

Resumen de la lección

Un número natural es divisible entre otro si su división es exacta (el residuo es 0).
Un número es divisible entre 2 si su última cifra es divisible entre 2.
Un número es divisible por tres si la suma de todas sus cifras es divisible por tres.
Un número es divisible entre 5 si su última cifra es 5 o 0.
Un número es divisible entre 10 si la última cifra es 0.
Todo número natural es divisor de sí mismo.
Todo número natural es divisible por el número 1.
La divisibilidad no es una propiedad simétrica.
La divisibilidad es una propiedad transitiva.

Términos clave

Lecturas adicionales

Bibliografía

Buján, Victor; Vargas, Gillermo (1975). Matemática. Séptimo año. Conjuntos, naturales, enteros (1.ª edición). San José, Costa Rica: Editorial S. O. F. O. S., S. A. p. 239.
Ramos, Francisco (2010). Aritmética. Teoría y práctica. Colección Signos (1.ª edición). Lima, Perú: Empresa Editora Macro. p. 510. ISBN 9786124034909.
Valverde Cervantes, Anthony, ed. (2017). Matemática 7. Puentes del Saber (1.ª edición). San José, Costa Rica: Santillana. p. 272. ISBN 9789930527276.

Proyecto: Números naturales

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