Números naturales/La división

Lección 5

La división

La división es la operación inversa a la multiplicación. Nos dice cuántas veces una cantidad llamada dividendo contiene a otra cantidad llamada divisor. La cantidad resultante de la operación se llama cociente.

También la podemos entender como la operación mediante la cual distribuimos una cantidad (el divisor) en determinado número (el dividendo) de partes iguales.

Se denota con el símbolo $\div$, mediante una barra inclinada ($/$) o en forma de fracción (${\frac {a}{b}}$) y tiene la siguiente forma:

$\underbrace {a} _{\text{Dividendo}}\overbrace {\div } ^{\text{Operador}}\underbrace {b} _{\text{Divisor}}\overbrace {=} ^{\text{Igualdad}}\underbrace {c} _{\text{Cociente}}$

Por ser la operación inversa a la multiplicación, podemos definirla en términos de esta última como el número (cociente) por el que debemos multiplicar el divisor para obtener el dividendo. Por ejemplo:

Si tenemos los números naturales $a$, $b$ y $c$, podemos plantear la operación: $a\div b=c$ En términos de una multiplicación de la siguiente manera: $b\times c=a$

En la división exacta, la igualdad $a\div b=c$ se cumple porque tenemos suficientes unidades en el dividendo (a) para distribuirlas en una cantidad de grupos igual al divisor (d), todos de tamaño igual al cociente (c). Los siguientes son ejemplos de divisiones exactas:

$10\div 5=2$ $21\div 7=3$ $128\div 8=16$

En la división inexacta no se cumple la igualdad porque no existe un número natural que nos permita repartir las unidades del dividendo en una cantidad de grupos iguales. Cuando lo intentamos nos quedan unidades sobrantes. A esas unidades sobrantes las llamamos residuo de la operación.

En la siguiente tabla podemos ver cómo no es posible dividir el número $23$ en $5$ grupos diferentes. En este caso nos faltarían dos unidades (en color amarillo) para obtener 5 grupos iguales de 5 unidades o nos sobrarían 3 unidades (en color naranja) si intentamos agruparlas en 4 grupos iguales de 5 unidades.

Primer grupo (1):	$X$	$X$	$X$	$X$	$X$
Segundo grupo (2):	$X$	$X$	$X$	$X$	$X$
Tercer grupo (3):	$X$	$X$	$X$	$X$	$X$
Cuarto grupo (4):	$X$	$X$	$X$	$X$	$X$
Quinto grupo (5):	$X$	$X$	$X$

Para resolver este tipo de operaciones en el conjunto de los números naturales, realizamos una división inexacta distribuyendo el dividendo en tantos grupos completos como sea posible y sumamos las unidades sobrantes para restaurar la igualdad. En estos casos la operación toma la siguiente forma:

$\underbrace {a} _{\text{Dividendo}}\overbrace {=} ^{\text{Igualdad}}(\underbrace {b} _{\text{Divisor}}\overbrace {\times } ^{\text{Operador}}\underbrace {c} _{\text{Cociente}})\overbrace {+} ^{\text{Operador}}\underbrace {d} _{\text{Residuo}}$

En el caso del ejemplo anterior, al dividir 23 entre 5 obtenemos un cociente de 4 unidades (grupos completos) y un residuo de 3 unidades (las unidades restantes):

$23=(5\times 4)+3$

Otros ejemplos de divisiones inexactas son:

$11\div 3$ se resuelve: $11=(3\times 3)+2$ $33\div 7$ se resuelve: $33=(7\times 4)+5$ $42\div 8$ se resuelve: $42=(8\times 5)+2$

Cuando una división es exacta, decimos que tiene un residuo igual a cero ($0$). También podemos decir que si el residuo de una división es $0$, entonces la división es exacta.

La división por 0

La división donde el divisor es $0$ no tiene solución en el conjunto de los números naturales.

Dividir un número por cero ($a\div 0=?$) es equivalente a encontrar un número que multiplicado por $0$ nos de el dividendo ($0\times ?=a$). Pero debido a que el $0$ es el elemento absorbente en la multiplicación, el resultado de multiplicar por cero siempre es cero. Por eso no existe ningún número que multiplicado por cero nos de un resultado diferente de cero.

La división $0\div 0$ tampoco está definida porque al escribir $0\div 0=?$ como multiplicación obtenemos $0\times ?=0$. Al reemplazar $?$ con los primeros números naturales obtenemos:

$0\times 0=0$ $0\times 1=0$ $0\times 2=0$ $0\times 3=0$ $0\times 4=0$ ...

El signo $?$ puede tomar cualquier valor (0, 1, 2, 3, 4, ...), por lo que es imposible asignarle un resultado único a la división $0\div 0$ y por eso se dice que no está definida.

Propiedades

La división no es una operación cerrada en el conjunto de los números naturales.

Cómo vimos en la sección sobre la división inexacta, no siempre que tratemos de dividir un número natural por otro vamos a obtener un número natural.

Si no es posible que todos los grupos indicados por el divisor reciban la misma cantidad de unidades, tenemos una división inexacta y nos queda un residuo. Si el divisor es mayor al dividendo, decimos que el resultado de la operación es $0$ y que el residuo es igual al dividendo.

Por ejemplo, si tratamos de calcular $7\div 18$ debemos recurrir a una división inexacta y decir que el resultado es $0$ con un residuo de $7$ unidades.

• No es conmutativa

La división no es una operación conmutativa.

No es posible intercambiar los valores del dividendo y el divisor sin alterar el resultado de la división. Esta propiedad se representa matemáticamente de la siguiente forma:

$a\div b\neq b\div a$

Si tenemos los números $16$ y $2$ podemos dividir el primero por el segundo y obtenemos $8$: $16\div 2=8$. Sin embargo, no obtenemos el mismos resultado si intercambiamos sus posiciones.

Según vimos en la sección anterior, la operación $2\div 16=?$ no está definida en el conjunto de los números naturales. Debemos recurrir a una división inexacta y decir que el resultado es $0$ con un residuo de $2$ unidades.

• No es asociativa

La división no es una operación asociativa.

Si deseamos dividir tres números en la misma operación, vemos que no obtenemos el mismo resultado si asociamos los dos primeros números y que si asociamos los dos últimos números.

$(a\div b)\div c\neq a\div (b\div c)$

Las operaciones entre paréntesis deben realizarse primero. Este tema se analizará en detalle en la lección sobre combinación de operaciones.

Por ejemplo:

Si tenemos los números $75$, $5$ y $5$ y los dividimos de izquierda a derecha (primero dividimos 75 entre 5 y luego el resultado parcial lo dividimos entre 5) obtenemos el siguiente resultado: $75\div 5=15$ $15\div 5=3$ $(75\div 5)\div 5=15\div 5=3$ Pero obtenemos un resultado diferente si primero dividimos 5 entre 5 y luego dividimos 75 entre ese resultado parcial: $5\div 5=1$ $75\div 1=75$ $75\div (5\div 5)=75\div 1=75$ Por lo tanto: $(75\div 5)\div 5\neq 75\div (5\div 5)$ Porque: $3\neq 75$

• No tiene elemento neutro

En el conjunto de los números naturales no existe un elemento neutro para la división.

El número $1$ se comporta como elemento neutro para la división si se encuentra en la posición del divisor. Pero no funciona como elemento neutro si se encuentra en la posición del dividendo. Por ejemplo:

Si tenemos el número $32$, vemos que: $32\div 1=32$ Pero que: $1\div 32\neq 32$ Por lo que el $1$ no es un elemento neutro.

Para que un número se pueda considerar neutro con respecto a una operación es necesario que lo sea en ambas posiciones: cuando se ubica a la derecha y cuando se ubica a la izquierda. Esa condición no se cumple en el caso de la división por lo que decimos que esta operación no tiene un elemento neutro en $\mathbb {N}$.

Distributividad con respecto a la suma y la resta

La división de una suma o resta de números naturales es igual a la suma o resta de las divisiones de cada uno de los sumandos con el divisor.

Esta propiedad se puede expresar para tres números naturales ( $a$, $b$ y $c$) mediante la siguiente fórmula:

$(a+b)\div c=(a\div c)+(b\div c)$

O con notación de fracciones de la siguiente forma:

${\frac {(a+b)}{c}}={\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}$

Por ejemplo:

Si tenemos los números $33$, $22$ y $11$ y queremos calcular la operación $(33+22)\div 11$, podemos usar la propiedad distributiva de la división con respecto a la suma y la resta para obtener el resultado: $(33+22)\div 11$ $=(33\div 11)+(22\div 11)$ $=3+2$ $=5$ O alternativamente con notación de fracciones: ${\frac {(33+22)}{11}}$ $={\frac {33}{11}}+{\frac {22}{11}}$ $=3+2$ $=5$

También se aplica en el caso de las restas:

$(a-b)\div c=(a\div c)-(b\div c)$

Por ejemplo:

Si tenemos los números $30$, $15$ y $3$ y queremos calcular la operación $(30-15)\div 3$, podemos usar la propiedad distributiva de la división con respecto a la suma y la resta para obtener el resultado: $(30-15)\div 3$ $=(30\div 3)-(15\div 3)$ $=10-5$ $=5$ O alternativamente con notación de fracciones: ${\frac {(30-15)}{3}}$ $={\frac {30}{3}}-{\frac {15}{3}}$ $=10-5$ $=5$

Es importante tener en cuenta que debido a que la división no es una operación conmutativa, la propiedad distributiva aplica solamente por la derecha. La igualdad no se cumple si la aplicamos por la izquierda:

$c\div (a+b)\neq (c\div a)+(c\div b)$

Por ejemplo:

Si tenemos los números $60$, $12$ y $3$ vemos que: $60\div (12+3)$ $=60\div 15$ $=4$ Pero: $=(60\div 12)+(60\div 3)$ $=5+20$ $=25$ Por tanto: $60\div (12+3)\neq (60\div 12)+(60\div 3)$ Ya que: $4\neq 25$

Resumen de la lección

• La división es la operación inversa a la multiplicación.
• Su objetivo es averiguar la cantidad de veces que una cantidad llamada dividendo contiene a otra cantidad llamada divisor.
• El resultado de la división se llama cociente.
• La división puede ser exacta o inexacta.
• El residuo son las unidades sobrantes al realizar una división inexacta.
• La división donde el divisor es 0 no tiene solución en el conjunto de los números naturales.
• La división no es una operación cerrada en el conjunto de los números naturales.
• La división no es una operación conmutativa en el conjunto de los números naturales.
• La división no es una operación asociativa en el conjunto de los números naturales.
• La división no tiene elemento neutro.
• La división es distributiva solo por la derecha con respecto a la suma y la resta.

Términos clave

• División
• Asociatividad
• Cerradura
• Conmutatividad
• Distributividad
• Elemento neutro
• División euclídea
• División por cero
• Residuo

Lecturas adicionales

Aritmética > Operaciones con Números Naturales > Division de Números Naturales en Wikilibros.

Bibliografía

• Buján, Victor; Vargas, Gillermo (1975). Matemática. Séptimo año. Conjuntos, naturales, enteros (1.ª edición). San José, Costa Rica: Editorial S. O. F. O. S., S. A. p. 239. 
• Ramos, Francisco (2010). Aritmética. Teoría y práctica. Colección Signos (1.ª edición). Lima, Perú: Empresa Editora Macro. p. 510. ISBN 9786124034909. 
• Valverde Cervantes, Anthony, ed. (2017). Matemática 7. Puentes del Saber (1.ª edición). San José, Costa Rica: Santillana. p. 272. ISBN 9789930527276. 

Proyecto: Números naturales

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