Matemáticas para educación media en Chile/Conjuntos numéricos

Unidad I: Números y proporcionalidad Lección 1: Conjuntos númericos

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Conjuntos numéricos

Números naturales

Los números naturales nos permiten contar los botones de la imagen.

Conjunto designado con la letra $\mathbb {N}$ que surgió de la necesidad de contar:

$\mathbb {N} =\{1,2,3,4,5,\ldots \,+\infty \}$

Características:

• Posee infinitos elementos.
• El primer elemento es el número 1.
• Cada número natural tiene un sucesor dentro del mismo conjunto:

• $n+1,\forall \ n\in \ \mathbb {N}$

• Cada número natural posee un antecesor dentro del mismo conjunto:

• $n-1,\forall \ n\in \ \mathbb {N} ,n\not =1$
• Excepto el número 1 ya que: $1-1=0,0\not \in \mathbb {N}$

Sub-conjuntos:

• Números pares representados como $2n,\forall \ n\in \ \mathbb {N}$

$\mathbb {N} =\{2,4,6,8,\ldots \,+\infty \}$

• Números impares representados como $2n-1,\forall \ n\in \ \mathbb {N}$

$\mathbb {N} =\{1,3,5,7\ldots \,+\infty \}$

• Números primos son aquellos divisibles por sí mismo y el uno, excepto este último.

$\mathbb {N} =\{2,3,5,7,11,13,\ldots \,+\infty \}$

Operaciones:

• Adición entre sus propiedades encontramos:

• Clausura $(a+b)\in \ \mathbb {N} ,\forall \ a,b\in \ \mathbb {N}$
• Conmutatividad $(a+b)=(b+a),\forall \ a,b\in \ \mathbb {N}$
• Asociatividad $a+(b+c)=(a+b)+c,\forall \ a,b,c\in \ \mathbb {N}$

• Sustración: en el conjunto de números naturales la resta no siempre es cerrada

Ejemplo:

$3-4=-1,-1\not \in \mathbb {N}$

Por ello para que la sustración exista en éste conjunto debe estar definida como:

$a-b\in \ \mathbb {N} \Leftrightarrow a>b,\forall \ a,b\in \ \mathbb {N}$

• Multiplicación entre sus propiedades encontramos

• Clausura $(a\,\cdot \ b)\in \ \mathbb {N} ,\forall \ a,b\in \ \mathbb {N}$
• Conmutatividad $(a\,\cdot \ b)=(b\,\cdot \ a),\forall \ a,b\in \ \mathbb {N}$

• Asociatividad $a\,\cdot \ (b\,\cdot \ c)=(a\,\cdot \ b)\cdot \ c,\forall \ a,b,c\in \ \mathbb {N}$
• Neutro multiplicativo es el 1: $a\,\cdot \ 1=a,\,\forall \ a\in \ \mathbb {N}$

• División para que la división de números naturales exista el dividendo debe ser divisible por el divisor, definiéndola como:

$(a:b)\in \ \mathbb {N} \Leftrightarrow a$ es divisible por $b,\forall \ a,b\in \ \mathbb {N}$

Números cardinales

El conjunto de números cardinales surgé de la unión de los números naturales y el cero $\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} \cup {\big \{}0{\big \}}$

$\mathbb {N} _{0}=\{0,1,2,3,4,5,\ldots \,+\infty \}$

Características posee las mismas características que el conjunto de los naturales salvo:

• El primer elemento es el número 0.
• El número 1 sí tiene antecesor o sea el 0 , sin embargo éste no tiene puesto que

$0-1=-1,-1\not \in \mathbb {N} _{0}$

Operaciones:

• Adición, se cumplen las mismas propiedades del conjunto de números naturales, pero se agrega :

• Neutro aditivo el 0 $a+0=a,\,\forall \ a\in \ \mathbb {N} _{0}$

• Sustración, en los cardinales la resta está determinada por:

$a-b\in \ \mathbb {N} _{0}\Leftrightarrow a\geq b,\forall \ a,b\in \ \mathbb {N} _{0}$

• Multiplicación se añade:

• Elemento absorbente el 0

$a\cdot \ 0=0,\forall \ a\in \ \mathbb {N} _{0}$

• División, para que ésta se defina el divisor debe ser distinto de cero, luego:

$(a:b)\in \ \mathbb {N} _{0}\Leftrightarrow a$ es divisible por $b,\forall \ a,b\in \ \mathbb {N} _{0},\land b\not =0$

Números enteros

Artículo principal: Principales conjuntos numéricos/Números enteros.

Números racionales

Artículo principal: Principales conjuntos numéricos/Números racionales.

Números irracionales

Son todos aquellos números que no se puedes escribir como fracción, se puede designar al conjunto con el símbolo $\mathbb {Q} ^{*}$ o $\mathbb {I}$.

Entre los números irracionales más famosos están: $\pi ,e,\phi ,{\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}}$

Números reales

Los números reales corresponde a la unión de todos los conjuntos anteriores. Se usa la letra $\mathbb {R}$ para representar al conjunto.

Referencias

• Apuntes de preparación para la Prueba de Selección Universitaria Matemática 2008–2009 Pamela Paredes Núñez y Manuel Ramírez Panatt, Estudiantes de Licenciatura en Ciencias Exactas, Facultad de Ciencias, Universidad de Chile.

Proyecto: Matemáticas para educación media en Chile

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