Lógica proposicional/La implicación

Lección 5

La implicación

Implicación y su tabla de verdad

La implicación es la conectiva lógica más difícil de comprender y de asociar con una construcción del lenguaje natural.^[1] Se representa con el símbolo $\Rightarrow$ y la expresión $\alpha \Rightarrow \beta$ se puede leer de múltiples formas:^[2]

α implica β
Si α, entonces β
α es suficiente para β
α es una condición suficiente para β
α solo si β
β es necesaria para α
β es una condición necesaria para α

En la expresión $\alpha \Rightarrow \beta$ , la proposición $\alpha$ se llama hipótesis o antecedente y la proposición $\beta$ se llama conclusión o consecuente.^[2]^[1] La proposición compuesta es verdadera cuando el antecedente es falso o cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es verdadero. Si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso el valor de verdad de la implicación es falso ( $F$ ).^[3]

La tabla de verdad de la conectiva se muestra a continuación y la forma más sencilla de recordarla es considerando que la proposición compuesta es únicamente falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso y que, en los tres demás casos, es verdadera.^[1]

${\boldsymbol {\alpha }}$	${\boldsymbol {\beta }}$	${\boldsymbol {\alpha }}{\boldsymbol {\Rightarrow }}{\boldsymbol {\beta }}$
$V$	$V$	$V$
$V$	$F$	$F$
$F$	$V$	$V$
$F$	$F$	$V$

Otra forma de poder leer la implicación seria como el planteamiento de una hipótesis y su resultado:

Una hipótesis verdadera $\Rightarrow$ Un resultado verdadero. Esto es Verdadero.
Una hipótesis verdadera $\Rightarrow$ Un resultado falso. Esto es Falso.
Una hipótesis falsa $\Rightarrow$ Un resultado verdadero. Esto es Verdadero.
Una hipótesis falsa $\Rightarrow$ Un resultado falso. Esto es Verdadero.

Es importante tener en cuenta que esta conectiva no establece una relación de causa entre el antecedente y el consecuente.^[2] Si el antecedente es verdadero, el consecuente también debe serlo para que la proposición compuesta sea verdadera. Sin embargo el consecuente puede ser verdadero sin necesidad de que el antecedente también lo sea.^[1]

La relación se puede entender de forma más sencilla mediante un ejemplo. El enunciado «si tengo dinero entonces soy feliz» será falso si tengo dinero pero no soy feliz. Sin embargo será verdadero si no tengo dinero y aún así soy feliz. El enunciado no me limita y puedo lograr la felicidad de otras maneras.^[1]

La siguiente tabla con ejemplos ilustra aún mejor el funcionamiento de esta conectiva.

Primer enunciado	Segundo enunciado	La implicación en lenguaje natural	Valor de verdad del primer enunciado ( $A$ )	Valor de verdad del segundo enunciado ( $B$ )	Valor de verdad de la implicación ( $A\Rightarrow B$ )
La tierra es redonda	Cristóbal Colón descubrió América	Si la tierra es redonda entonces Cristóbal Colón descubrió América	$V$	$V$	$V$
Miguel de Cervantes fue un escritor	Cristóbal Colón descubrió África	Si Miguel de Cervantes fue un escritor entonces Cristóbal Colón descubrió África	$V$	$F$	$F$
Mario Vargas Llosa escribió «Cien años de soledad»	Los triángulos tienen tres lados	Si Mario Vargas Llosa escribió «Cien años de soledad» entonces los triángulos tienen tres lados	$F$	$V$	$V$
Júpiter es una estrella	El sol es un planeta	Si Júpiter es una estrella entonces el Sol es un planeta	$F$	$F$	$V$

Resumen de la lección

La implicación se representa con el símbolo $\Rightarrow$ .
La proposición a la izquierda del símbolo se llama antecedente o hipótesis.
La proposición a la derecha del símbolo se llama consecuente o conclusión.
La proposición compuesta es verdadera si tanto el antecedente como el consecuente son verdaderos.
La proposición compuesta es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.
La proposición compuesta es verdadera si el antecedente es falso y el consecuente es falso.

Términos clave

Bibliografía

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 Lau, Joe; Chan, Jonathan. «Sentential logic». Critical Thinking Web (en inglés). Consultado el 11 de diciembre de 2015.
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 Grimaldi, Ralph (1998). Matemáticas discreta y combinatoria (3.ª edición). Massachusetts, Estados Unidos: Addison Wesley Longman. p. 1120. ISBN 968-444-324-2.
↑ Klement, Kevin. «Propositional Logic». The Internet Encyclopedia of Philosophy (en inglés). Massachusetts, Estados Unidos. Consultado el 11 de diciembre de 2015.

Proyecto: Lógica proposicional

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[lau-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 Lau, Joe; Chan, Jonathan. «Sentential logic». Critical Thinking Web (en inglés). Consultado el 11 de diciembre de 2015.

[grimaldi1998-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 Grimaldi, Ralph (1998). Matemáticas discreta y combinatoria (3.ª edición). Massachusetts, Estados Unidos: Addison Wesley Longman. p. 1120. ISBN 968-444-324-2.

[klement-3] Klement, Kevin. «Propositional Logic». The Internet Encyclopedia of Philosophy (en inglés). Massachusetts, Estados Unidos. Consultado el 11 de diciembre de 2015.

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