Lógica proposicional/Deducciones directas/Evaluación

Evaluación de la lección 10

Deducciones directas

En cada uno de los siguientes ejercicios es necesario identificar las afirmaciones, expresarlas de forma simbólica, identificar las premisas y la conclusión y escribirlas como proposiciones compuestas definidas en términos de las afirmaciones. Finalmente se deben organizar en una tabla de deducción y utilizar las reglas de inferencia y las equivalencias lógicas para demostrar que la conclusión es una consecuencia lógica de las premisas.

Ejercicio #1

Si x es mayor que p o y es mayor que p, entonces z es mayor que t. x es mayor que p. Por tanto z es mayor que t.

Solución
Afirmaciones: A: x > p B: y > p C: z > t Premisas: $(A\lor B)\Rightarrow C$ $A$ Conclusión: $C$ Razonamiento: Identificador Proposición Regla Dependencias 1 $(A\lor B)\Rightarrow C$ Premisa n/a 2 $A$ Premisa n/a 3 $A\lor B$ Introducción de la disyunción (ID) 2 4 $C$ Modus ponens (MP) 1, 3 Resultado: El razonamiento es válido.

Ejercicio #2

María estudiará este trimestre. Si estudia, sus notas serán mejores. Si sus notas son mejores, su expediente académico mejorará. Por lo tanto, su expediente académico mejorará.

Solución

Afirmaciones: A: María estudiará este trimestre. B: Las notas de María mejorarán. C: El expediente académico de María mejorará. Premisas: $A$ $A\Rightarrow B$ $B\Rightarrow C$ Conclusión: $C$ Razonamiento: Identificador Proposición Regla Dependencias 1 $A$ Premisa n/a 2 $A\Rightarrow B$ Premisa n/a 3 $B\Rightarrow C$ Premisa n/a 4 $A\Rightarrow C$ Silogismo hipotético (SH) 2, 3 5 $C$ Modus ponens (MP) 1, 4 Resultado: El razonamiento es válido.

Ejercicio #3

Si el mayordomo estaba trabajando la noche del crimen, es sospechoso. Si no estaba trabajando la noche del crimen, entonces la víctima no fue envenenada. El detective a cargo del caso encontró a su tercer hijo encerrado en un armario y descartó al mayordomo como sospechoso. Por lo tanto la víctima no fue envenenada.

Solución

Afirmaciones: A: El mayordomo estaba trabajando la noche del crimen. B: El mayordomo es sospechoso. C: La víctima fue envenenada. D: El detective a cargo del caso encontró a su tercer hijo encerrado en un armario. Premisas: $A\Rightarrow B$ $\neg A\Rightarrow \neg C$ $D\land \neg B$ Conclusión: $\neg C$ Razonamiento: Identificador Proposición Regla Dependencias 1 $A\Rightarrow B$ Premisa n/a 2 $\neg A\Rightarrow \neg C$ Premisa n/a 3 $D\land \neg B$ Premisa n/a 4 $\neg B\land D$ Conmutatividad de la conjunción 3 5 $\neg B$ Eliminación de la conjunción (EC) 4 6 $\neg A$ Modus tollens (MT) 1, 5 7 $\neg C$ Modus ponens (MP) 2, 6 Resultado: El razonamiento es válido.

Ejercicio #4

Para contener la inflación el gobierno debe disminuir los gastos. Si no hay despidos en el sector público, no habrá una disminución en los gastos del gobierno. O se contiene la inflación o se devaluarán los depósitos de los bancos. Los depósitos de los bancos no se han devaluado, por lo tanto se despidieron empleados públicos.

Solución

Afirmaciones: A: El gobierno contiene la inflación. B: El gobierno disminuye los gastos. C: Hay despidos en el sector público. D: Se devalúan los depósitos de los bancos. Premisas: $A\Rightarrow B$ $\neg C\Rightarrow \neg B$ $A\lor D$ $\neg D$ Conclusión: $C$ Razonamiento: Identificador Proposición Regla Dependencias 1 $A\Rightarrow B$ Premisa n/a 2 $\neg C\Rightarrow \neg B$ Premisa n/a 3 $A\lor D$ Premisa n/a 4 $\neg D$ Premisa n/a 5 $D\lor A$ Conmutatividad de la disyunción 3 6 $A$ Silogismo disyuntivo (SD) 4, 5 7 $B$ Modus ponens (MP) 1, 6 8 $C$ Modus tollens (MT) 2, 7 Resultado: El razonamiento es válido.

Ejercicio #5

Si voy a la carrera de autos mi esposa se enojará. Si Carlos juega cartas toda la noche su esposa se enojará. Si mi esposa o la esposa de Carlos se enojan llamarán a su abogada. La abogada no ha recibido llamadas de nuestras esposas por lo tanto ni yo fui a las carreras ni Carlos jugó cartas.

Solución

Afirmaciones: A: Voy a la carrera de autos. B: Mi esposa se enoja. C: Carlos juega cartas toda la noche. D: La esposa de Carlos se enoja. E: Nuestras esposas llaman a la abogada. Premisas: $A\Rightarrow B$ $C\Rightarrow D$ $(B\lor D)\Rightarrow E$ $\neg E$ Conclusión: $\neg A\land \neg C$ Razonamiento: Identificador Proposición Regla Dependencias 1 $A\Rightarrow B$ Premisa n/a 2 $C\Rightarrow D$ Premisa n/a 3 $(B\lor D)\Rightarrow E$ Premisa n/a 4 $\neg E$ Premisa n/a 5 $\neg (B\lor D)$ Modus tollens (MT) 3, 4 6 $\neg B\land \neg D$ Ley de De Morgan para la disyunción 5 7 $\neg B$ Eliminación de la conjunción (EC) 6 8 $\neg D\land \neg B$ Conmutatividad de la conjunción 6 9 $\neg D$ Eliminación de la conjunción (EC) 8 10 $\neg A$ Modus tollens (MT) 1, 7 11 $\neg C$ Modus tollens (MT) 2, 9 12 $\neg A\land \neg C$ Introducción de la conjunción (IC) 10, 11 Resultado: El razonamiento es válido.

Proyecto: Lógica proposicional

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