Introducción a la Física/Potencial Eléctrico

El potencial eléctrico o potencial electrostático en un punto, es el trabajo que debe realizar un campo electrostático para mover una carga positiva desde dicho punto hasta el punto de referencia, dividido por unidad de carga de prueba. Dicho de otra forma, es el trabajo que debe realizar una fuerza externa para traer una carga positiva unitaria q desde el punto de referencia hasta el punto considerado en contra de la fuerza eléctrica a velocidad constante. Matemáticamente se expresa por:

$V={\frac {W}{q}}\,\!$

Si se considera que las cargas están fuera de dicho campo, la carga no cuenta con energía y el potencial eléctrico equivale al trabajo necesario para llevar la carga desde el exterior del campo hasta el punto considerado. La unidad del Sistema Internacional es el voltio (V).

Campo eléctrico uniforme:

Sean A y B dos puntos situados en un campo eléctrico uniforme, estando A a una distancia d de B en la dirección del campo, tal como muestra la figura.

Considérese una carga de prueba positiva q moviéndose sin aceleración, por efecto de algún agente externo, siguiendo la recta que une A con B.

La fuerza eléctrica sobre la carga será qE y apunta hacia abajo. Para mover la carga en la forma descrita arriba, se debe contrarrestar esa fuerza aplicando una fuerza externa F de la misma magnitud pero dirigida hacia arriba. El trabajo $W\,\!$ realizado por el agente que proporciona esta fuerza es:

$W_{AB}=Fd=qEd\,\!$

Teniendo en cuenta que:

$V_{B}-V_{A}={\frac {W_{AB}}{q}}\,\!$

sustituyendo se obtiene:

$V_{B}-V_{A}={\frac {W_{AB}}{q}}=Ed\,\!$

Esta ecuación muestra la relación entre la diferencia de potencial y la intensidad de campo en un caso sencillo especial.

El punto B tiene un potencial más elevado que el A. Esto es razonable porque un agente exterior tendría que hacer trabajo positivo para mover la carga de prueba de A hacia B.

Campo eléctrico no uniforme

En el caso más general de un campo eléctrico no uniforme, este ejerce una fuerza $q{\vec {E}}\,\!$ sobre la carga de prueba, tal como se ve en la figura. Para evitar que la carga acelere, debe aplicarse una fuerza ${\vec {F}}\,\!$ que sea exactamente igual a $-q{\vec {E}}\,\!$ para todas las posiciones del cuerpo de prueba.

Si el agente externo hace que el cuerpo de prueba se mueva siguiendo un corrimiento $d{\vec {l}}\,\!$ a lo largo de la trayectoria de A a B, el elemento de trabajo desarrollado por el agente externo es ${\vec {F}}\cdot d{\vec {l}}\ \,\!$ . Para obtener el trabajo total $W_{AB}\,\!$ hecho por el agente externo al mover la carga de A a B, se suman las contribuciones al trabajo de todos los segmentos infinitesimales en que se ha dividido la trayectoria. Así se obtiene:

$W_{AB}=\int _{A}^{B}{\vec {F}}\cdot d{\vec {l}}=-q\int _{A}^{B}{\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}\,\!$

Como $V_{B}-V_{A}={\frac {W_{AB}}{q}}\,\!$ , al sustituir en esta expresión, se obtiene que $V_{B}-V_{A}=-\int _{A}^{B}{\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}\,\!$

Si se toma el punto A infinitamente alejado, y si el potencial $V_{A}\,\!$ al infinito toma el valor de cero, esta ecuación da el potencial en el punto B, o bien, eliminando el subíndice B,

$V=-\int _{\infty }^{B}{\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}\,\!$

Estas dos ecuaciones permiten calcular la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera si se conoce ${\vec {E}}\,\!$ . Ejemploooooosss

Potencial debido a una carga puntual

Una carga de prueba q, se mueve, mediante un agente exterior de A hasta B en el campo producido por una carga $q_{0}\,\!$

Considérense los puntos A y B y una carga puntual q tal como muestra la figura. Según se muestra, ${\vec {E}}\,\!$ apunta a la derecha y $d{\vec {l}}\,\!$ , que siempre está en la dirección del movimiento, apunta a la izquierda. Por consiguiente:

${\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}\,\!=E\cos(180^{\circ })\,dl=-E\,dl\,\!$

Ahora bien, al moverse la carga una trayectoria dl hacia la izquierda, lo hace en la dirección de la r decreciente porque r se mide a partir de q como origen. Así pues:

${\vec {E}}\,d{\vec {l}}\,\!=E\,dr\,\!$

Por lo cual:

$V_{B}-V_{A}=-\int _{A}^{B}{\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}=-\int _{r_{A}}^{r_{B}}E\,dr\,\!$

Combinando esta expresión con la de E para una carga puntual se obtiene:

$V_{B}-V_{A}=-{\frac {q}{4\pi \epsilon }}\int _{r_{A}}^{r_{B}}{\frac {dr}{r^{2}}}={\frac {q}{4\pi \epsilon }}\left({\frac {1}{r_{B}}}-{\frac {1}{r_{A}}}\right)\,\!$

Escogiendo el punto de referencia A en el infinito, esto es, haciendo que $r_{A}\to \infty \,\!$ , considerando que $V_{A}=0\,\!$ en ese sitio y eliminando el subíndice B, se obtiene:

$V={\frac {1}{4\pi \epsilon }}{\frac {q}{r}}\,\!$

Esta ecuación muestra claramente que las superficies equipotenciales para una carga puntual aislada son esferas concéntricas a la carga puntual.

Superficies equipotenciales producidas por una carga puntual

Potencial debido a dos cargas puntuales

El potencial en un punto P debido a dos cargas es la suma de los potenciales debido a cada carga individual en dicho punto.

$V={\frac {1}{4\pi \epsilon }}{\frac {q_{1}}{r_{1}}}+{\frac {1}{4\pi \epsilon }}{\frac {q_{2}}{r_{2}}}={\frac {1}{4\pi \epsilon }}\left({\frac {q_{1}}{r_{1}}}+{\frac {q_{2}}{r_{2}}}\right)\,\!$

Siendo $r_{1}\,\!$ y $r_{2}\,\!$ las distancias entre las cargas $q_{1}\,\!$ y $q_{2}\,\!$ y el punto P respectivamente.

Esfera conductora cargada

Sea Q la carga total almacenada en la esfera conductora. Por tratarse de un material conductor las cargas están situadas en la superficie de la esfera siendo neutro su interior.

Potencial en el exterior de la corteza: El potencial en el exterior de la corteza es equivalente al creado por una carga puntual de carga Q en el centro de la esfera.

$V={\frac {KQ}{r}}.\,\!$

donde $r\,\!$ es la distancia entre el centro de la corteza y el punto en el que medimos el potencial eléctrico.

Potencial en el interior de la corteza: El campo eléctrico en el interior de una esfera conductora es cero, de modo que el potencial permanece constante al valor que alcanza en su superficie.

$V={\frac {KQ}{R}}.\,\!$

Donde $R\,\!$ es el radio de la esfera.