Función cuadrática

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De vital importancia en matemáticas y física es la función cuadrática o de segundo grado.

Una función polinómica de grado dos o función cuadrática es la que corresponde a un polinomio en x de segundo grado, según la forma:

Gráficas de funciones cuadráticas.

donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0.

La representación gráfica en el plano XY haciendo:

esto es:

es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de a.

Estudio de la función[editar]

Corte con el eje y[editar]

Función cuadrática 11.svg

La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):

lo que resulta:

la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el termino independiente de la función.

Corte con el eje x[editar]

La función corta al eje x cuando y vale 0:

las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen como es sabido por la expresión:

donde:

se le llama discriminante, Δ:

según el signo del discriminante podemos distinguir:

  • Δ > 0, la ecuación tiene dos soluciones, por tanto la parábola cortara al eje x en dos puntos: y .
  • Δ = 0, la ecuación tiene una única solución en , la parábola solo tiene un punto en común con el eje x, el cual es el vértice de la función donde las dos ramas de la parábola confluyen.
  • Δ < 0, la ecuación no tiene solución real, y la parábola no corta al eje x.

Forma factorizada[editar]

Todo función cuadrática se puede factorizar en función de sus raíces. Dada:

se puede factorizar como:

siendo a el coeficiente principal de la función, por ello se extrae siempre como factor común, de no escribirse, el coeficiente de sería siempre 1. y representan las raíces de . En el caso de que el Discriminante Δ sea igual a 0 entonces por lo que podríamos escribir:

En este caso a se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2.

Forma canónica[editar]

Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

A esta forma de expresión se la llama forma canónica. Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola. Para llegar a esta expresión se parte de la forma polinómica y se realiza el siguiente procedimiento:

  • Dado:
  • Se extrae a como factor común en el término cuadrático y en el lineal.
  • Se factoriza formando el cuadrado de un binomio.
  • sustituyendo:
  • la expresión queda:

Extremos relativos[editar]

Para localizar los extremos relativos, se calcula la derivada de la función, y se iguala a cero, la solución a esta ecuación son los posibles máximos y mínimos de la función, en este caso, partiendo de la función cuadrática:

calculamos su derivada respecto a x:

que si la igualamos a cero, tenemos:

donde x valdrá:

En la vertical que pasa por este valor de x se encontrar el valor máximo, mínimo o relativo de la función.

Determinar la ecuación conocidos tres puntos[editar]

Función cuadrática 03.svg

Partiendo de la forma de la ecuación:

y conocidos tres puntos del plano xy por los que pasa una función polinómica de segundo grado:

se cumplira que:

con lo que tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, donde las incógnitas son: a, b y c, este sistema tendrá solución si el determinante de los coeficientes de las incógnitas es distinto de cero.

Representando el sistema ordenado de forma convencional:

Con lo que podemos calcular los valores de los coeficientes: