Curso de Cálculo Integral/Actividad ST1 en clase

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Antiderivada[editar]

Concepto[editar]

La antiderivada es una función 

Teorema: sea f una función real cuyo dominio es el intervalo abierto I, sí es una antiderivada de entonces tambien lo es.[1]

Prueba

Entonces la tarea de buscar una función tal que la derivada sea igual que la función se le llamaría un método directo de antiderivación.

Este método se basa directamente de las derivadas.

Ejemplo:

Sea la función , de las derivadas sabemos que la derivada de una función con potencia n se calcula como , por lo que la función para que aplicando la derivada a la función nos entregue la función .

y puesto que es una primitiva de , entonces la antiderivada es una función

Integral Indefinida[editar]

Ejemplo en Octave: Puedes crear la siguiente función:

octave:3> syms x a
Symbolic pkg v2.9.0: Python communication link active, SymPy v1.5.1.

Para integrar a

octave:12> f = (sec(x))^2
f = (sym)
    2   
 sec (x)
octave:17> int(f,x,a,x)
ans = (sym)
   sin(a)   sin(x)
 - ────── + ──────
   cos(a)   cos(x)
— Esta es la integral indefinida la cual servirá para construir a la antiderivada

La integral indefinida es la función primitiva que se encuentra dentro del intervalo de en I, es decir la relación entre la antiderivada y la integral indefinida se define cuando se realiza la primitiva esta no se evalúa en I portanto queda expresada como una primitiva que representa una antiderivada, en algún intervalo no explicito dentro de I.

Definición

La integral indefinida se puede definir de la siguiente forma

Por lo tanto puede construirse la antiderivada desde la Integral indefinida

Teorema

Prueba

Antiderivada a partir de la Integral indefinida[editar]

De esta forma usando una integral indefinida puedo reconstruir una antiderivada

Ejemplo

Encontrar la antiderivada de , usando la integral indefinida.

Cambio de variable o método de sustitución[editar]

Ejemplo en Octave: Puedes crear la siguiente función:

octave:3> syms x
Symbolic pkg v2.9.0: Python communication link active, SymPy v1.5.1.

Para integrar a

octave:21> f = 3*x^2*(x^3+2)^2
f = (sym)
              2
    2 ⎛ 3    ⎞ 
 3⋅x ⋅⎝x  + 2⎠ 
octave:22> int(f,x)
ans = (sym)
  9              
 x       6      3
 ── + 2⋅x  + 4⋅x 
 3              
— Esta es la integral indefinida


El cambio de variable de integración es una técnica empleada para continuar encontrando más reglas de antiderivadas o de integrales indefinidas, de tal forma que al realizar el cambio de variable éste cambio permita que la forma de la integral se encuentre dentro de las integrales inmediatas y de está forma realizar finalmente la integral o antiderivada.

Si entonces el cambio de varialbe puede ralizarse de lasiguiente forma

siendo

EjemploEjemplo

el cambio de variable sería

Por lo tanto la integral indefinida se puede expresar de la siguiente forma

, regresando a la varialbe original

Reglas para las antiderivadas[editar]

Para las antiderivadas inmediatas las reglas provienen de las formulas de las derivadas.

Es decir la deduccón de la regla de la anterior proviene de la regla de las potencias de las derivadas, entonces esta regla será de la potencia para las antiderivadas.

De esta forma algunas de las reglas inmediatas son las siguientes:

De la derivada de la constante podemos construir la regla

De la derivada de la variable podemos construir la regla

De la derivada de la constante podemos construir la regla

De la derivada de la constante podemos construir la regla

De la derivada de la constante podemos construir la regla

De la derivada de la constante podemos construir la regla

De la derivada de la constante podemos construir la regla

De la derivada de la constante podemos construir la regla

Entre otras.

Reglas para las integrales indefinidas[editar]

Lo mismo que para las antiderivadas inmediatas las reglas provienen de las formulas de las derivadas.

De esta forma algunas de las reglas inmediatas son las siguientes:

De la derivada de la constante podemos construir la regla

De la derivada de la variable podemos construir la regla

De la derivada de la constante podemos construir la regla

De la derivada de la constante podemos construir la regla

De la derivada de la constante podemos construir la regla

De la derivada de la constante podemos construir la regla

De la derivada de la constante podemos construir la regla

De la derivada de la constante podemos construir la regla

Confirmo lo aprendido[editar]

Véase también[editar]

Anexos[editar]

Notas[editar]

Referencias[editar]

Enlaces externos[editar]

Categorías[editar]

Proyecto: Curso de Cálculo Integral
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Bibliografía[editar]

W., Earl; Swokowski (1988) [1988]. Grepe; P., eds. Cálculo con Geometría Analítica [Cálculo con Geometría Analítica] (2 edición). México: Grupo Editorial Iberoamérica, S.A. de C.V. (publicado el 1989). ISBN 9687270-43-8. 

  1. V.,, Oswald, N.J. (1874). Introduction to Infinitesimal Analysis; Functions of One Real Variable. Volumen 1. Project Gutenberg LiteraryArchive Foundation.