Circuitos RC: Carga y descarga de un condensador

Carga de un condensador

Se tiene el siguiente circuito:

Cuando se cierra el interruptor S la corriente I comienza a fluir y el condensador C comienza a cargarse, además sabemos que deberá cumplirse:

$\Delta V=0\Rightarrow V_{R}+V_{C}+V_{\epsilon }=0$

aplicando las leyes de Kirchhoff y sustituyendo se obtiene:

$IR+{\frac {Q}{C}}-V_{\epsilon }=0$

Teniendo en cuenta que se define I (intensidad de corriente) como la carga que atraviesa la sección por unidad de tiempo es decir, $I={\frac {dq}{dt}}$ con lo que:

${\frac {dq}{dt}}R+{\frac {Q}{C}}=V_{\epsilon }$

Esta es una ecuación diferencial, para resolverla bastará con agrupar los términos que hagan referencia a la carga con el diferencial de carga y los términos temporales con el diferencial de tiempo, de esta forma nos queda que:

${\frac {dq}{dt}}R=\epsilon -{\frac {Q}{C}}\Rightarrow {\frac {dq}{dt}}={\frac {\epsilon }{R}}-{\frac {Q}{RC}}\Rightarrow dt={\frac {dq}{{\frac {\epsilon }{R}}-{\frac {Q}{RC}}}}$

Integrando esta última expresión a ambos lados:

$\int \limits _{0}^{t}dt=\int \limits _{0}^{Q}{\frac {dq}{{\frac {\epsilon }{R}}-{\frac {Q}{RC}}}}$

Resolviendo la integral de la derecha por cambio de variable (sea el denominador = z) se obtiene:

$t=-RC\ln(1-{\frac {Q}{C\epsilon }})\Rightarrow q(t)=C\epsilon (1-e^{-{\frac {t}{RC}}})$

Derivando q en función de t obtendremos la corriente I (por la definición)

$I(t)={\frac {\epsilon }{R}}*e^{-{\frac {t}{RC}}}$

Es importante recalcar que cuando el condensador esta totalmente cargado la corriente I deja de fluir.

Descarga de un condensador

Se tiene el siguiente circuito donde el condensador esta cargado al máximo:

Como en el anterior caso sabiendo que ha de cumplirse la relación:

$V_{R}+V_{C}=0$

y por las leyes de Kirchhoff y sustitución

$IR-{\frac {Q}{C}}=0\Rightarrow IR={\frac {Q}{C}}$

Como la carga disminuye con el tiempo habremos de integrar la inversa de la intensidad es decir, $-{\frac {dq}{dt}}$ :

$-{\frac {dq}{dt}}R={\frac {Q}{C}}$

si reunimos los términos con sus diferenciales se obtiene:

$dt=-{\frac {RC}{Q}}dq$

integrando a ambos lados

$\int \limits _{0}^{t}dt=-RC\int \limits _{Q}^{q}{\frac {1}{Q}}dq$

donde los límites para la segunda integral son Q y q ya que queremos una expresión general para que el condensador se descargue hasta una carga q, resolviendo ambas integrales (triviales), se consigue:

$t=-RC\ln({\frac {q}{Q}})\Rightarrow q(t)=Q*e^{-{\frac {t}{RC}}}$

y de manera análoga al anterior apartado la corriente I se obtiene derivando esta expresión en función del tiempo

$I(t)=-{\frac {Q}{RC}}*e^{-{\frac {t}{RC}}}$

En ambas expresiones Q es la carga inicial de nuestro condensador C

Proyecto: Física General

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