Análisis dimensional

Análisis dimensional
Unidad:	Introducción a la Física
Departamento:	Departamento de física

El concepto de dimensión se debe a Fourier que, en su obra “Théorie analytique de la chaleur”, dice: “Es necesario hacer notar que cada magnitud, indeterminada o constante, tiene una dimensión que le es propia, y que los términos de una no podrían ser comparados si no tuviesen el mismo exponente de dimensiones”.

Es decir, las ecuaciones deben de ser homogéneas dimensionalmente hablando. Esta es la idea que subyace en el fondo de todo el Análisis Dimensional y es lo que hemos oído alguna vez cuando nos dicen que no se pueden sumar peras con manzanas; aunque esto no es estrictamente cierto, puesto que 3 peras y 2 manzanas son 5 frutas.

Explicación

A pesar de que aún existen algunos sistemas de unidades vigentes y que las cantidades físicas pueden expresarse en distintas unidades según la escala en que esté graduado el instrumento de medición.

Por ejemplo, una distancia puede expresarse en metros, kilómetros, centímetros o píes. Sin embargo, sin importar cual sea la unidad empleada para medir la cantidad física distancia, todas ellas se refieren a una dimensión fundamental llamada longitud, representada por L.

El buen manejo de las dimensiones de las cantidades físicas en una ecuación o fórmula física nos permite comprobar si son correctas y si se trabajaron debidamente.

Al aplicar una ecuación o fórmula física, debemos recordar dos reglas:

Las dimensiones de las cantidades físicas a ambos lados del signo de igualdad, deben ser las mismas. Ejemplo, tomando en cuenta la formula básica del MRU:

(1) $e=v\cdot t$

(2) $e:unidades\,de\,longitud$

(3) $v:{\frac {unidades\,de\,longitud}{unidades\,de\,tiempo}}$

(4) $t:unidades\,de\,tiempo$

De $(3)$ y $(4)$

(5) $\rightarrow v\cdot t:{\frac {unidades\,de\,longitud}{\cancel {unidades\,de\,tiempo}}}\cdot {\cancel {unidades\,de\,tiempo}}=unidades\,de\,longitud$

De $(2)$ y $(5)$ en $(1)$

$\therefore las\,unidades\,de\,[e]=las\,unidades\,de\,[v\cdot t]$

Sólo pueden sumarse o restarse cantidades físicas de la misma dimensión.

Incorrecto	Correcto
$20{\frac {m}{s}}+30^{\circ }C$	$85kg-30kg$

Fórmula Dimensional

Cada magnitud física a parte de las unidades en las que se puede expresar, como anteriormente habíamos mencionado, posee una dimensión.

Fórmulas dimensionales de Magnitudes Físicas fundamentales


Magnitud	Unidad en el SI	[Dimensión]
Masa	kg	M
Longitud	m	L
Tiempo	s	T
Temperatura	K	θ
Intensidad de corriente	A	I
Intesidad luminosa	cd	J
Cantidad de sustancia	mol	N

Fórmulas dimensionales de Magnitudes Físicas derivadas

En el caso de las magnitudes derivadas, podemos deducirlas en base a las fundamentales, para lo cual utilizaremos cualquier relación o fórmula física o matemática conocida.

Ejemplo 1: para encontrar la fórmula dimensional del volumen, a modo de demostración utilizaremos la fórmula matemática del volumen de un cubo y la del volumen de un cilindro:

Fórmula dimensional del volumen
Volumen de cubo	Volumen de cilindro
$V_{cubo}=l^{3}$ Aplicamos análisis dimensional: $\left[V_{cubo}\right]=\left[l\right]^{3}$ $l$ es longitud, por lo que su dimensión ( $\left[l\right]$ ) es $L$ $\therefore \left[V_{cubo}\right]=L^{3}$	$V_{cilindro}=\pi \cdot r^{2}\cdot h$ Aplicamos análisis dimensional $\left[V_{cilindro}\right]=\left[\pi \cdot r^{2}\cdot h\right]$ Distribuimos el operador análisis dimensional ( $\left[\;\right]$ ) para cada elemento $\left[V_{cilindro}\right]=\left[\pi \right]\left[r\right]^{2}\left[h\right]$ $\pi$ es una constante matemática sin dimensiones físicas, por lo que $\left[\pi \right]=1$ $r$ es radio, por lo que $\left[r\right]=L$ $h$ es radio, por lo que $\left[h\right]=L$ Reemplazamos: $\left[V_{cilindro}\right]=1\cdot L^{2}\cdot L$ $\therefore \left[V_{cilindro}\right]=L^{3}$