La Transformada de Fourier

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Contenido

[editar] Introduccion

Condiciones para que exista la transformada de Fourier cuando:

  • Es absolutamente integrable

\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\left| f(t) \right|\partial t<\infty \text{ (Converge)}}

  • f(t) continua por intervalos [a,b] finito
  • \underset{t\to t_{0}^{\pm }}{\mathop{\lim }}\,\text{ }f(t)\text{ finito},\forall t_{0}
  • \underset{{}}{\mathop{\lim }}\,f(t)=\frac{f(t^{+})+f(t^{-})}{2}

Para una f(t) real o compleja, con variable real t, se define como la transformada de Fourier como:

\mathbb{F}[f(t)]=F(\omega )=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{f(t).e^{-j\omega t}\partial t}

Igualmente, tenemos la funcion inversa de Fourier:

\mathbb{F}^{-1}[F(\omega )]=f(t)=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{-\infty }^{\infty }{F(\omega ).e^{+j\omega t}\partial \omega }

De forma que se cumple

\begin{align} & \mathbb{F}^{-1}[\underbrace{\mathbb{F}[f(t)]}_{F(\omega )}]=f(t) \\ & \mathbb{F}[\underbrace{\mathbb{F}^{-1}[F(\omega )]}_{f(t)}]=F(\omega ) \\ \end{align}


Es costumbre representar la transformada de fourier de una señal con la letra que lo representa en mayusculas: f(t)\leftrightarrow F(\omega ),g(t)\leftrightarrow G(\omega ),x(t)\leftrightarrow X(\omega )

Alguna propriedad:

Integracion: \begin{align} & F(\omega =0)=\int_{-\infty }^{\infty }{f(t)\partial t} \\ & f(t=0)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }{F(\omega )\partial \omega } \\ \end{align}

La demostracion es sencilla:


\begin{align} & \mathbb{F}[f(t)]=F(\omega )=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{f(t).e^{-j\omega t}\partial t} \\ & F(\omega =0)=\left. \int\limits_{-\infty }^{\infty }{f(t).e^{-j\omega t}\partial t} \right|_{\omega =0}=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{f(t).e^{-j0t}\partial t}=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{f(t)\partial t} \\ \end{align}

Analogamente:


\begin{align} & \mathbb{F}^{-1}[F(\omega )]=f(t)=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{-\infty }^{\infty }{F(\omega ).e^{+j\omega t}\partial \omega } \\ & f(t=0)=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{-\infty }^{\infty }{F(\omega ).e^{+j\omega t=0}\partial \omega }=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{-\infty }^{\infty }{F(\omega )\partial \omega } \\ \end{align}

Comentar que en matematicas es usual dejar el resultado de la transformada de Fourier en funcion de , mientras que en ingenieria es mas habitual dejarlo en f, debido a que se mantiene la simetria. Ambas estan relacionadas directamente.


\begin{align} & \omega =2\pi f \\ & \mathbb{F}[f(t)]=F(\omega )=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{f(t).e^{-j\omega t}\partial t}\to \mathbb{F}[f(t)]=F(f)=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{f(t).e^{-j2\pi ft}\partial t}\text{ } \\ & \mathbb{F}^{-1}[F(\omega )]=f(t)=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{-\infty }^{\infty }{F(\omega ).e^{+j\omega t}\partial \omega }=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{-\infty }^{\infty }{F(f).e^{+j2\pi ft}2\pi \partial f\to } \\ & \mathbb{F}^{-1}[F(f)]=f(t)=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{F(f).e^{+j2\pi ft}\partial f} \\ \end{align}

Con la ventaja que en funcion de f, no tenemos ese divisor de 2π, por lo que mantiene la simetria, que es mas comodo al realizar calculos (sin embargo, no olvidar que la fase de la exponencial esta invertida).

[editar] Propiedades de la transformada de Fourier

Artículo principal: Propiedades de la transformada de Fourier.


\begin{align} & \mathbb{F}[f(t)]=F(\omega )=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{f(t).e^{-j\omega t}\partial t} \\ & \mathbb{F}^{-1}[F(\omega )]=f(t)=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{-\infty }^{\infty }{F(\omega ).e^{+j\omega t}\partial \omega } \\ \end{align}

Linearidad \mathbb{F}\left[ \alpha f(t)+\beta g(t) \right]=\alpha F(\omega )+\beta G(\omega )
Dualidad \mathbb{F}[f(t)]=F(\omega )\to \mathbb{F}[F(t)]=2\pi f(-\omega )
Cambio de escala \mathbb{F}[f(at)]=\frac{1}{\left| a \right|}F\left( \frac{\omega }{a} \right)
Transformada de la conjugada \mathbb{F}[f^{*}(t)]=F^{*}(-\omega )
Translacion en el tiempo \mathbb{F}[f(t-t_{0})]=e^{-j\omega t_{0}}F(\omega )
Translacion en frecuencia \mathbb{F}[e^{+j\omega _{0}t}f(t)]=F(\omega -\omega _{0})
Derivacion en el tiempo \mathbb{F}\left[ \frac{\partial ^{n}f(t)}{\partial t^{n}} \right]=\left( j\omega \right)^{n}F(\omega )
Derivacion en la frecuencia \mathbb{F}\left[ \left( -jt \right)^{n}f(t) \right]=\frac{\partial ^{n}F(\omega )}{\partial \omega ^{n}}
Transformada de la integral \mathbb{F}\left[ \int\limits_{-\infty }^{t}{f(\tau )\partial \tau } \right]=\frac{F(\omega )}{j\omega }+\pi F(0)\delta (\omega )
Transformada de la Convolucion

\begin{align} & \mathbb{F}\left[ f(t)*g(t) \right]= \\ & \mathbb{F}\left[ \int\limits_{-\infty }^{\infty }{f(\tau )g(t-\tau )\partial \tau } \right]=F(\omega )G(\omega ) \\ \end{align}
Teorema de Parseval \int\limits_{-\infty }^{\infty }{\left| f(t) \right|^{2}\partial t=\frac{1}{2\pi }}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\left| F(\omega ) \right|^{2}\partial \omega }

[editar] Pares clasicos de la transformada de Fourier

Artículo principal: Pares clasicos de la transformada de Fourier.


Pulso rectangular

\prod{\left( \frac{t}{T} \right)}=\left\{ \begin{align} & 1,\left| t \right|\le {}^{T}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\; \\ & 0,\left| t \right|>{}^{T}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\; \\ \end{align} \right.

\mathbb{F}\left[ \prod{\left( \frac{t}{T} \right)} \right]=2\frac{\sin \left( \omega {}^{T}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\; \right)}{\omega }=T\text{sinc}\left( T\frac{\omega }{2\pi } \right)
Pulso triangular

\Lambda \left( \frac{t}{T} \right)=\left\{ \begin{align} & 1-\frac{\left| t \right|}{T},\text{ }\left| t \right|\le T \\ & 0\text{ },\text{ }\left| t \right|>T \\ \end{align} \right.

\mathbb{F}\left[ \Lambda \left( \frac{t}{T} \right) \right]=\frac{2(1-\cos (\omega T))}{\omega ^{2}T}=T\cdot \text{sinc}^{2}\left( T\frac{\omega }{2\pi } \right)
\operatorname{sign}(t)=\left\{ \begin{align} & 1,\text{ }t>0 \\ & -1,\text{ }t<0 \\ \end{align} \right.

\mathbb{F}\left[ \operatorname{sign}(t) \right]=\frac{2}{j\omega }\xrightarrow[\omega =2\pi f]{}\frac{1}{j\pi f}
u(t)=\left\{ \begin{align} & 1,t>0 \\ & 0,t<0 \\ \end{align} \right. \mathbb{F}[u(t)]=\frac{1}{j\omega }+\underbrace{\pi \delta (\omega )}_{\text{a veces se omite}}
Delta de Dirac δ(t) \mathbb{F}[\delta (t)]=1\leftrightarrow F[1]=2\pi \delta (-\omega )
cos(ω0t) \mathbb{F}\left[ \cos (\omega _{0}t) \right]=\pi \delta (\omega -\omega _{0})+\pi \delta (\omega +\omega _{0})
sin(ω0t) \mathbb{F}\left[ \sin (\omega _{0}t) \right]=\frac{\pi }{j}\delta (\omega -\omega _{0})-\frac{\pi }{j}\delta (\omega +\omega _{0})
\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{\delta \left( t-kT_{s} \right)}

\mathbb{F}\left[ \sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{\delta \left( t-kT_{s} \right)} \right]=\mathbb{F}\left[ \frac{1}{T_{s}}\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{e^{j\frac{2\pi }{T_{s}}kt}} \right]=\frac{1}{T_{s}}\cdot \sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{2\pi \delta }\left( \omega -k\frac{2\pi }{T_{s}} \right)

[editar] Transformada de Fourier de una señal periodica

Cual es la transformada de fourier de una señal periodica? Para saberlo usaremos el tren de deltas utilizado anteriormente, como funcion auxiliar.

\begin{align} & x(t)=x(t+T_{s}) \\ & x_{0}(t):\text{ funcion fundamental} \\ & x(t)=\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{x_{0}\left( t-kT_{s} \right)}=x_{0}(t)*\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{\delta \left( t-kT_{s} \right)} \\ & \sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{\delta \left( t-kT_{s} \right)}=\frac{1}{T_{s}}\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{e^{j\frac{2\pi }{T_{s}}kt}}\to C_{k}=\frac{1}{T_{s}}\text{ }\forall k\text{ (Propiedades de Trans}\text{. Fourier)} \\ & \text{Recordemos las propiedades: } \\ & \left\{ \begin{align} & \mathbb{F}[e^{+j\omega _{0}t}f(t)]=F(\omega -\omega _{0}) \\ & \mathbb{F}[1]=2\pi \delta (\omega )\to \mathbb{F}[e^{+j\omega _{0}t}]=2\pi \delta (\omega -\omega _{0}) \\ & \mathbb{F}\left[ f(t)*g(t) \right]=F(\omega )\cdot G(\omega ) \\ \end{align} \right\} \\ & \mathbb{F}\left[ x(t) \right]=\mathbb{F}\left[ x_{0}(t)*\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{\delta \left( t-kT_{s} \right)} \right]=\mathbb{F}\left[ x_{0}(t)*\frac{1}{T_{s}}\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{e^{j\frac{2\pi }{T_{s}}kt}} \right] \\ & X(\omega )=X_{0}(\omega ).\frac{1}{T_{s}}\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{2\pi \delta \left( \omega -k\frac{2\pi }{T_{s}} \right)}=\frac{2\pi }{T_{s}}\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{X_{0}\left( \frac{k2\pi }{T_{s}} \right)\cdot \delta \left( \omega -k\frac{2\pi }{T_{s}} \right)} \\ \end{align}


X(\omega )=\frac{2\pi }{T_{s}}\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{X_{0}\left( \frac{k2\pi }{T_{s}} \right)\cdot \delta \left( \omega -k\frac{2\pi }{T_{s}} \right)}

[editar] Transformada de Fourier de una señal discreta

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