Teorema de Dirichlet (progresiones aritméticas)

De Wikiversidad
Ir a la navegación Ir a la búsqueda

El Teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas es un resultado de la teoría analítica de números demostrado por el matemático Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet. El teorema asegura que en dicha progresión aritmética hay una cantidad infinita de números primos.

Enunciado[editar]

Sea entonces la progresión aritmética contiene infinitos números primos.


Dirichlet

Demostración[editar]

La demostración del teorema utiliza las propiedades de ciertas funciones multiplicativas (conocidas como funciones-L de Dirichlet) y varios resultados sobre aritmética de números complejos. Para evitar hacer la lectura demasiado densa, se han excluido de la demostración algunos corolarios intermedios que aparecen marcados como [AD]. La demostración completa, junto con los corolarios excluidos aquí, se puede encontrar en el artículo de González de la Hoz.[1]

Definición:


Definición: Sea un grupo conmutativo finito de orden y elemento unitario .

Un carácter sobre es una función


Un carácter sobre tiene una serie de propiedades importantes para nuestra demostración:

  1. Puesto que tanto la inversa de un carácter sobre como el producto de dos caracteres sobre es también un carácter sobre , el conjunto de caracteres sobre forma un grupo conmutativo con la multiplicación.
    Esto permite definir el carácter principal del grupo que se define como la función . El carácter principal es por tanto el elemento unidad del grupo definido por el conjunto de caracteres sobre .
  2. Como y dado que el orden de un elemento divide al orden del grupo, entonces , lo que implica que .
    Puesto que el número de raíces del elemento unitario de orden es como máximo , el número de caracteres es finito, siendo el valor una cota superior de .
    Por otra parte existe un carácter ([AD]). Por ello, y si se representa mediante la suma del valor asociado a cada uno de los los diferentes caracteres del grupo , se tienen estas propiedades adicionales ([AD]):
  3. Dado un , se definen los caracteres del grupo definido como las clases de congruencia módulo de números coprimos con .
    El grupo tiene elementos, y lo podemos representar por donde los diferentes son los representantes de la clase de congruencia que cumplen la condición , y en este contexto se definen las funciones extendidas de los caracteres de de la siguiente manera:
    Estas funciones se denominan caracteres de Dirichlet módulo q y son completamente multiplicativas. Existen funciones de este tipo y la más básica de ellas se denomina carácter principal de Dirichlet:
    Estos caracteres tienen algunas propiedades significativas (derivadas de las propiedades de los caracteres de un grupo que vimos antes):

En este punto se debe introducir la siguiente


Definición:


Definición: Una función-L de Dirichlet es una función de la forma

donde y es un carácter de Dirichlet.


Los valores de son periódicos, lo que implica que la serie converge absolutamente para y uniformemente para Además, como los coeficientes son completamente multiplicativos, la serie admite la siguiente expresión:

Cuando La función-L de Dirichlet tiene las siguientes propiedades ([AD]):

De la igualdad

y las propiedades de la función se deduce que la función es analítica en el semiplano complejo a excepción de un polo en , cuyo residuo es:

.

Como consecuencia de esto, podemos afirmar que , donde es analítica y no tiene singularidades en , de modo que la función expresada por

que tiene también un polo en con residuo . Por otra parte, toda función-L de Dirichlet con es analítica y no presenta singularidades en la zona ([AD]). Y para se tiene ([AD]) que:

,

lo cual también se puede expresar como

.

Esta expresión es clave para la demostración del teorema de Dirichlet, pues podemos concluir que el teorema es cierto si el primer término del segundo miembro diverge cuando los restantes términos permanecen dentro de unos límites.

Como se cumple que cuando la siguiente expresión:

obtiene un valor finito y, como vimos, dado que tiene un polo en con residuo se cumple que lo que implica que:

lo que demuestra el teorema.

Referencias[editar]

  1. González de la Hoz, F. A., Demostración del teorema de Dirichlet, web de la UNED.