Sucesiones numéricas. Progresiones

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Una sucesión numérica es un conjunto ordenado de números. Cada uno de ellos es denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión.

Sucesión de números reales[editar]

Es una aplicación del conjunto N de los números naturales en el conjunto R de los números reales.

Ejemplos
  1. 1, -1/2, 1/3, -1/4, 1/5, -1/6,...,
  2. 5, 8,11,14,17,...,
  3. 1,1,2,3,5,8,13,21,...,
  4. 0,1,0,1,0,...,

Término general de una sucesión Se denomina término general de una sucesión, S, simbolizado como Sn, a la expresión que representa cualquier término de esta. Hay sucesiones cuyo término general puede expresarse mediante una fórmula, en la cual, dándole a (m) un cierto valor, se obtiene el término correspondiente.

Términos generales
Como término general de la sucesión 1., se tiene:
La sucesión 2 es una progresión aritmética de razón 3, primer término 5.
Para la sucesión 3., va su término general: [1]
la sucesión 4., tiene el siguiente término general: sm =(1+(-1)m)/2

Construcción recursiva de sucesiones[editar]

Las sucesiones cuyos términos se obtienen a partir de los anteriores se multiplicasucesiones recursivas, además se señalan los valores de los primeros términos ( o el primero) que se dan ya determinados.

Ejemplos
La sucesión de Fibonacci: am+2 = am+1</;sub> +am, m=1,2....,, a1= 1, a2= 1
bm+2 = 3bm+1- 2bm, b1= 2, b2= -1; m= 1,2,..., <refo>Lages Lima: Análisos matemático, </ref>

Progresiones aritméticas[editar]

Definición

Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término se obtiene del anterior sumando una cantidad.

Los términos de las progresiones aritméticas los podemos representar de la siguiente forma: <body> Toda suseción puede terminar con pi(3.1416) ó con un infinito♾ </body>

Aquí, a es el término inicial y d es la diferencia común sucesiva.

Obtención del término general

El término general de una progresión aritmética cuyo primer término es y cuya diferencia es d se obtiene de la siguiente forma: Para pasar de tenemos que dar n-1 pasos de amplitud d. Por lo tanto:

Suma de los términos de una progresión aritmética

suma


de los n primeros términos de una progresión aritmética de diferencia d es:

Ejemplos

Sea La sucesión sería:

Progresiones geométricas[editar]

Definición

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene del anterior multiplicando una cantidad fija (positiva, negativa o cero), llamada razón común, que se suele denotar por r

Obtención del término general

El término general an de una progresión geométrica cuyo primer término es a1 y cuya razón es r se obtiene razonando de esta manera: Para pasar de a1 a an tenemos que dar n-1 pasos, consistiendo cada paso en multiplicar el término por r. Por lo tanto:

Suma de los términos de una progresión geométrica

La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica de razón r es:

Suma de los términos de una progresión geométrica con r<1

La suma de todos los términos de una progresión geométrica en la que su razón verifica 0<r<1 se expresa como y se obtiene así:

Ejemplos

Sea a1=5 y r=0.8

por otro lado, si prolongamos la suma hasta el infinito

Referencias y notas[editar]

  1. Generalmente se presenta en forma recursiva