Sucesiones numéricas. Progresiones

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Sucesiones[editar]

Definición Es un conjunto ordenado de números. Cada uno de ellos es denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión.

Término general de una sucesión Se denomina término general de una sucesión, S, simbolizado como Sn, a la expresión que representa cualquier término de esta. Hay sucesiones cuyo término general puede expresarse mediante una fórmula, en la cual, dándole a (n) un cierto valor, se obtiene el término correspondiente. Las sucesiones cuyos términos se obtienen a partir de los anteriores se denominan sucesiones recursivas.

Progresiones aritméticas[editar]

Definición

Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término se obtiene del anterior sumando una cantidad fija (positiva, negativa o cero), llamada diferencia común, que se suele denotar por la letra d.

Los términos de las progresiones aritméticas los podemos representar de la siguiente forma:

Aquí, a es el término inicial y d es la diferencia común sucesiva.

Obtención del término general

El término general de una progresión aritmética cuyo primer término es y cuya diferencia es d se obtiene de la siguiente forma: Para pasar de tenemos que dar n-1 pasos de amplitud d. Por lo tanto:

Suma de los términos de una progresión aritmética

La suma

de los n primeros términos de una progresión aritmética de diferencia d es:

Ejemplo

Sea La sucesión sería:

Progresiones geométricas[editar]

Definición

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene del anterior multiplicando una cantidad fija (positiva, negativa o cero), llamada razón común, que se suele denotar por r

Obtención del término general

El término general an de una progresión geométrica cuyo primer término es a1 y cuya razón es r se obtiene razonando de esta manera: Para pasar de a1 a an tenemos que dar n-1 pasos, consistiendo cada paso en multiplicar el término por r. Por lo tanto:

Suma de los términos de una progresión geométrica

La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica de razón r es:

Suma de los términos de una progresión geométrica con r<1

La suma de todos los términos de una progresión geométrica en la que su razón verifica 0<r<1 se expresa como y se obtiene así:

Ejemplo

Sea a1=5 y r=0.8

por otro lado, si prolongamos la suma hasta el infinito