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Serie de Fourier

De Wikiversidad

La serie de Fourier nos permite representar cualquier función periódica mediante una suma de senos y cosenos.

Función periódica:

Representación trigonométrica

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También tiene una REPRESENTACION EXPONENCIAL como se verá mas adelante

Teorema de Dirichlet

Por lo que la serie de Fourier correspondiente a f es convergente y su suma vale:

Observaciones:

f(t) g(t) f(t)xg(t) o f(t)/g(t)
Par Par Par
Impar Impar Par
Par Impar Impar

Forma exponencial o compleja de la serie de Fourier

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Demostración parcial:




Ejercicio de ejemplo:(FALTA DIBUJO DE MATHEMATICA)




(FALTA DIBUJO DE MATHEMATICA)



Probemos ahora a poner esta misma función en la forma trigonometrica:



Como reglas generales para saber si hemos hecho bien la serie de Fourier, tenemos:

  • En la forma trigonometrica (sumas de senoides) todos los coeficientes deben ser números reales (no puede haber j), ya que, como es lógico, nuestra función a representar es real
  • Si los coeficientes de mismo valor pero signo opuestos (+-1,+-2,etc..) no son iguales o complejos conjugados es que hemos hecho algo mal

Para este ejercicio en concreto al ser la función impar, el sumatorio estará compuesto por funciones impares, esto es, sin().