Regla de Cramer

La regla de Cramer es un teorema del álgebra lineal que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor al matemático suizo Gabriel Cramer (1704-1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729). ​

La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana para matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD.

Sistema de ecuaciones :

$(S)={\begin{cases}3x+y=5\\4x-y=9\end{cases}}$

Se resuelve como se muestra en la segunda línea : $y=4x-9$

Por sustitución de la primera línea : $3x+\left(4x-9\right)=3x+4x-9=7x-9=5$

Resultado: $x=2$, por lo tanto $y=-1$ .

Por regla de Cramer definimos:

$(S)={\begin{cases}3x+y=5\\4x-y=9\end{cases}}$

Si  es un sistema de ecuaciones,  es la matriz de coeficientes del sistema,  es el vector columna de las incógnitas, y  es el vector columna de los términos independientes, entonces la solución al sistema se presenta así:

${\begin{pmatrix}3&1\\4&-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\9\end{pmatrix}}$

Donde es la matriz resultante de reemplazar la j-ésima columna de  por el vector columna . Hágase notar que para que el sistema sea compatible determinado, el determinante de la matriz  ha de ser no nulo o cero.

Pongamos la matriz A y los vectores X y B para que podamos escribir lo mismo así: $\mathbf {A} \cdot \mathbf {X} =\mathbf {B}$

Supongamos finalmente que la matriz A es invertible, entonces existe una solución única:$\mathbf {X} =\mathbf {A} ^{-1}\cdot \mathbf {B}$

Por ejemplo, continuamos calculando inverso de A : ${\begin{aligned}\mathbf {A} ^{-1}&={\frac {1}{\mathrm {det} \,\mathbf {A} }}{\begin{pmatrix}-1&-1\\-4&3\end{pmatrix}}\\\ &=-{\frac {1}{7}}{\begin{pmatrix}-1&-1\\-4&3\end{pmatrix}}\\\ &={\frac {1}{7}}{\begin{pmatrix}1&1\\4&-3\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Calculamos X :

$\mathbf {X} =\mathbf {A} ^{-1}\cdot \mathbf {B} ={\frac {1}{7}}{\begin{pmatrix}1&1\\4&-3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}5\\9\end{pmatrix}}={\frac {1}{7}}{\begin{pmatrix}14\\-7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}$