Rectificación de media onda no controlada con carga resistiva-inductiva

Un rectificador convierte corriente alterna en corriente continua por lo que la finalidad de estos es generar una salida continua pura o generar una onda ya sea de tensión o de corriente que tengan una determinada componente de continua. El rectificador de media onda se suele utilizar en aplicaciones de baja potencia, en las que la corriente media de la red no será 0. Una corriente media distinta de 0 puede causar problemas en el funcionamiento de los transformadores. y aunque tiene aplicaciones limitadas vale la pena estudiar su funcionamiento para luego entender con mas facilidad los otros tipos de rectificadores que pueden llegar a tener mas aplicaciones.

Una rectificación de media onda puede ser controlada o no controlada (control sobre la señal de salida). Si queremos que sea controlada emplearemos un tiristor, si la rectificación no es controlada, usaremos un diodo como es nuestro caso.

Objetivos

Nuestro objetivo es facilitar la compresión de la rectificación monofásica de media onda no controlada a cualquier persona que lo necesite, para ello hemos participado en la creación de esta wiki en la que intentamos explicar de forma ordenada e intentando utilizar expresiones mas formales y basándonos en el contenido del libro de electrónica Daniel W. Hart los apuntes de clase de Electrónica de Industrial de la Universidad De La Rioja y todo lo aprendido hasta ahora.

Circuito Rectificador

En electrónica, un rectificador es el elemento o circuito que permite convertir la corriente alterna en corriente continua. Esto se realiza utilizando diodos rectificadores, ya sean semiconductores de estado sólido, válvulas de vacío...

Circuito rectificador de media onda

Están construidos con un diodo ya que este puede mantener el flujo de corriente en una sola dirección, se puede utilizar para cambiar una señal de AC a una de CC. Cuando la tensión de entrada es positiva, el diodo se polariza en directo. Si la tensión de entrada es negativa el diodo se polariza en inverso. Por tanto cuando el diodo se polariza en directo (conducción), la tensión de salida a través de la carga se puede hallar por medio de la relación de un divisor de tensión sabemos además que la caída de tensión el diodo es de 0.7 voltios aproximadamente así que la tensión de salida esta reducida en esta cantidad (esta caída de tensión depende del material que está construido del diodo). Cuando la polarización es inversa, la corriente es cero, de manera que la tensión de salida también es cero. El voltaje de salida en este tipo de rectificadores aproximadamente 0.45 voltaje máximo de la señal de entrada.

Circuito rectificador de media onda no controlado con carga RL

Graf.1 - Circuito rectificado de media onda no controlada con carga resistiva-inductiva.

Fig.1 - Gráfica de respuesta tensiones y potencia.

Digamos que este tipo de rectificación es el caso real, frente al caso ideal que sería con una carga resistiva pura. Esto es así ya que las cargas industriales suelen contener una cierta inductancia, además de la resistencia propiamente dicha.
A continuación procedemos a la explicación teórica de este tipo de rectificación.
La ecuación de la ley de Kirchhoff para tensiones que describe la corriente en el circuito para el diodo ideal, polarizado en directa sería:

$V_{m}sen(\omega t)=R.i(t)+L{\frac {di(t)}{dt}}$

Como podemos ver, la tensión del generador es igual a la tensión que cae en la resistencia mas la tensión que cae en la bobina.
La solución puede obtenerse expresando la corriente como la suma de la respuesta forzada y natural.

$i(t)=i_{f}(t)+i_{n}(t)$

La respuesta forzada será la corriente que hay después de que la respuesta natural se convierta en nula. En este caso será la corriente sinusoidal de régimen permanente que habría en el circuito si considerásemos el diodo como cortocircuito, esto es:

$i_{f}(t)=({\frac {V_{m}}{Z}})sen(\omega t-\theta )$

Siendo:

$Z={\sqrt {R^{2}+L^{2}\omega ^{2}}}$

$\theta =arctg\left[{\frac {L\omega }{R}}\right]$

La respuesta natural es el transitorio que se produce cuando se proporciona energía a la carga. Es la solución a la ecuación diferencial homogénea para el circuito, sin tener en cuenta el generador ni el diodo:

$R.i(t)+L{\frac {di(t)}{dt}}=0$

Para este circuito de primer orden, la respuesta natural tiene la siguiente forma:

$i_{n}(t)=Ae^{\frac {-t}{\tau }}$

Siendo ${\tau }$, la constante de tiempo:

${\tau }={\frac {L}{R}}$

Siendo A una constante, determinada a partir de la condición inicial. Sumando las respuesta natural y forzada obtenemos la solución completa de la intensidad:

$i(t)=i_{f}(t)+i_{n}(t)={\frac {V_{m}}{Z}}sen(\omega t-\theta )+Ae^{\frac {-t}{\tau }}$

La constante A la calculamos utilizando la condición de que en el momento inicial la corriente en la bobina es cero, por lo que igualando la expresión de la corriente a cero y despejando el valor de A obtenemos su valor:

$i(0)={\frac {V_{m}}{Z}}sen(0-\theta )+Ae^{0}=0$

$A=-{\frac {V_{m}}{Z}}sen(-\theta )={\frac {V_{m}}{Z}}sen(\theta )$

Ahora si sustituimos A en la expresión de la corriente:

$i(t)={\frac {V_{m}}{Z}}sen(\omega t-\theta )+{\frac {V_{m}}{Z}}sen(\theta )e^{-t/\tau }$

Sacamos factor común y obtenemos que:

$i(t)={\frac {V_{m}}{Z}}\left[sen(\omega t-\theta )+sen(\theta )e^{-t/\tau }\right]$

Normalmente es más conveniente expresar esta función en términos del ángulo ωt y no de tiempo, por lo que multiplicando y dividiendo por ω la fracción del el exponente de la exponencial obtenemos la expresión de la corriente en función del ángulo ωt:

$i(\omega t)={\frac {V_{m}}{Z}}\left[sen(\omega t-\theta )+sen(\theta )e^{-\omega t/\omega \tau }\right]$

Si observamos la gráfica de la tensión en la carga (Fig.1) podremos ver que el diodo permanece polarizado en directa mas tiempo que π radianes a pesar de que la señal del generador en π es cero y por lo tanto la corriente debería ser cero, ¿a que se debe esto?, bueno esto sucede porque la bobina retrasa la corriente (observemos que la tensión en la bobina es negativa cuando la corriente decrece) evitando así que la corriente se haga cero y permitiendo que el tiempo en el que a la carga le llega tensión sea un poco mayor que π radianes, una ves que la bobina no puede retrasar mas la corriente y esta se hace cero, se produce en un punto conocido como ángulo de extinción β por lo que sustituyendo ωt=β en la expresión de la corriente podemos hallar el ángulo donde se produce esta extinción de corriente:

$i(\beta )={\frac {V_{m}}{Z}}sen(\beta -\theta )+{\frac {V_{m}}{Z}}sen(\theta )e^{-\beta /\omega \tau }=0$

que la podemos reducir a la siguiente expresión:

$sen(\beta -\theta )+sen(\theta )e^{-\beta /\omega \tau }=0$

En esta expresión no existe ninguna solución analítica para β por lo que tendremos que utilizar un método iterativo ( teniendo en cuenta que β>π ), ahora la corriente en un circuito rectificador de media onda con carga RL se expresa del siguiente modo:

$i(\omega t)=\{{\frac {V_{m}}{Z}}sen(\beta -\theta )+{\frac {V_{m}}{Z}}sen(\theta )e^{-\beta /\omega \tau }$ para $0\leq \omega t\leq \beta$

$i(\omega t)=0$ para $\beta \leq \omega t\leq 2\pi$

ahora teniendo en cuenta que la potencia media absorbida por la bobina es cero, y que por lo tanto solo consume potencia la resistencia, podemos afirmar que la potencia media absorbida por la carga es:

$P_{abs}=I_{rms}^{2}.R$

donde: $I_{rms}={\sqrt {{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }i^{2}(\omega t)d(\omega t)}}={\sqrt {{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\beta }i^{2}(\omega t)d(\omega t)}}$

la corriente media es:

$I={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\beta }i(\omega t)d(\omega t)$

Factor de potencia del circuito (fp)

$fp={\frac {P_{abs}}{V_{s,rms}\cdot I_{rms}}}={\frac {P_{abs}}{({\frac {V_{m}}{\sqrt {2}}})\cdot I_{rms}}}$

Actividades

A continuación se resolverán de forma detallada una actividad relacionada con la rectificación de media onda no controlada RL y un caso práctico mediante simulación para que el lector pueda observar el estudio de los parámetros básicos en un circuito real.

Ejercicio resuelto 1

Dado el siguiente circuito rectificador(Fig.2) con diodo D1N1190, resistencia R y bobina L:

Fig.2 - Circuito del ejercicio 1

a) Calcule la expresión de la intensidad
b) Calcule la intensidad media
c) Calcule la intensidad eficaz
d) Calcule la potencia absorbida por la carga
e) Calcule el factor de potencia del circuito

$\bullet$ a) Expresión de la intensidad

Primero calcularemos los siguientes parámetros:

$Z={\sqrt {R^{2}+L^{2}\omega ^{2}}}=106,95Ohm$

$\theta =arctg\left[{\frac {L\omega }{R}}\right]=0,361rad$

$\omega \tau =\omega {\frac {L}{R}}=0,377rad$

La expresión de la intensidad en función del tiempo es:

$i(\omega \ t)={\frac {Vm}{Z}}\left[sen(\omega t-\theta )+sen(\theta )\cdot e^{-{\frac {\omega t}{\omega \tau }}}\right]$

Si sustituimos los valores obtenemos:

$i(\omega \ t)=0,936[sen(\omega t-0,361)+0,331e^{-{\frac {\omega t}{0,377}}}]$ para $0\leq \omega t\leq \beta$

$\beta$ es el ángulo de extinción de la corriente, por tanto igualaremos la corriente a 0 y sustituiremos $\omega t$ por $\beta$:

$sen(\beta -0,361)+sen(0,361)e^{-{\frac {\beta }{0,377}}}=0$

Si resolvemos esta ecuación ayudándonos por iteraciones o cálculo numérico obtenemos un valor de $\beta$ de 3,5 radianes o 201º.Por tanto la ecuación de la intensidad instantánea será:

$i(\omega \ t)=0,936[sen(\omega t-0,361)+0,331e^{-{\frac {\omega t}{0,377}}}]$ para $0\leq \omega t\leq 3,5rad$

$\bullet$ b) Calcule la intensidad media
El valor de la intensidad media es:

$I={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\beta }i(\omega t)d(\omega t)$

Si sustituimos el valor de la intensidad ya calculada y resolvemos obtenemos:

$I={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{3,5}i(\omega t)d(\omega t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{3,5}0,936[sen(\omega t-0,361)+0,331e^{-{\frac {\omega t}{0,377}}}d(\omega t)=0,308A$

$\bullet$ c) Calcule la intensidad eficaz

El valor de la intensidad eficaz es:

$I_{rms}={\sqrt {{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\beta }i^{2}\left(\omega t\right)d\left(\omega t\right)}}$

Si sustituimos el valor de la intensidad ya calculada y resolvemos obtenemos:

$I_{rms}={\sqrt {{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{3,5}[0,936sen(\omega t-0,361)+0,331e^{-{\frac {\omega t}{0,377}}}]^{2}d\left(\omega t\right)}}=0,473A$

$\bullet$ d) Calcule la potencia absorbida por la carga

Tenemos dos forma de calcularla:
1-La potencia media absorbida por la bobina es cero, por tanto el valor de la potencia será la consumida por R es decir:

$P=I_{rms}^{2}\cdot R=22,4W$

2-Utilizando la definición de potencia media:

$P={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }p(\omega t)d(\omega t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }v(\omega t)i(\omega t)d(\omega t)$

y siendo $v(\omega t)=100sen(\omega t)$ , resolvemos la ecuación y obtenemos un valor de:

$P=22,4W$

$\bullet$ e) Calcule el factor de potencia del circuito

$fp={\frac {P_{abs}}{V_{s,rms}\cdot I_{rms}}}={\frac {22,4}{({\frac {100}{\sqrt {2}}})\cdot 0.473}}=0.67$

SIMULACIÓN (caso práctico)

rectificación de media onda no controlada con carga RL:

Para comprender mejor la rectificación de media onda con carga resistiva-inductiva, usamos el programa visto en clase que nos permite simular el circuito que se muestra en la siguiente figura:

Fig.3 - Rectificación de media onda no controlada con carga RL

Una vez realizamos el montaje del circuito en el programa de la simulación obtenemos los datos siguientes para visualizar y comprobar sus gráficas:

• Gráfica de la tensión en la carga:

Fig.4 - Tensión en la carga RL

En esta gráfica podemos observar que la presencia de la bobina hace que la intensidad se retrase por lo que en un punto la tensión se hace negativa en nuestra rectificación de media onda.

• Gráfica de la de la intensidad ánodo-cátodo es la de arriba y la gráfica de la tensión ánodo-cátodo es la de abajo:

Fig.5 - Intensidad y tensión ánodo-cátodo respectivamente

• Se procede ha simular la intensidad en la carga par poder calcular el ángulo de extinción de la corriente:

Fig.6 - Corriente en la carga RL

Como vemos en la gráfica la corriente se extingue a los 11 milisegundos y como el periodo tiene 20 milisegundos, se puede calcular el ángulo de extinción, el cual es:

$\beta ={\frac {\left(11\cdot 2\cdot \pi \right)}{20}}=3,455rad=198^{\circ }$

También podemos calcularlo mediante las fórmulas explicadas anteriormente el cual nos quedaría:

$\theta =arctg({\frac {L\cdot \omega }{R}})$

$\tau ={\frac {L}{R}}$

$0=sen(\beta -\theta )+sen(\theta )\cdot e^{-{\frac {\beta }{\tau \cdot \omega }}}$

$0=sen(\beta -arctg({\frac {0,1\cdot 2\pi \cdot 50}{100}}))+sen(arctg({\frac {0,1\cdot 2\pi \cdot 50}{100}}))\cdot e^{-{\frac {\beta }{{\frac {0,1}{100}}\cdot 2\pi \cdot 50}}}$

$\beta =3,45576rad=198^{\circ }$

• Valor de la intensidad media en la carga RL:

Fig.7 - Intensidad media en la carga RL

$I_{AVG}={\frac {(I_{max}+I_{min})}{2}}={\frac {(323,416+306,423)}{2}}$

$I_{media}=314,9195(mA)$

También podemos calcularlo mediante las fórmulas explicadas anteriormente el cual nos quedaría:

$I_{AVG}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{\beta }i(\omega t)d\omega t={\frac {1}{T}}\int _{0}^{\beta }{\frac {V_{m}}{Z}}\left[sen(\omega t-\theta )+sen(\theta )e^{-\omega t/\omega \tau }\right]d\omega t$

$I_{AVG}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{3,45576}{\frac {100}{\sqrt {100^{2}+(0.1\cdot 2\pi 50)^{2}}}}\left[sen(\omega t-arctg({\frac {0.1\cdot 2\pi 50}{100}}))+sen(arctg({\frac {0.1\cdot 2\pi 50}{100}}))e^{-\omega t/2\pi 50{\frac {0,1}{100}}}\right]d\omega t$

$I_{AVG}=0,311(A)=311(mA)$

Otra manera de poder calcularlo sería la siguiente:

$I_{AVG}={\frac {V_{o,AVG}}{R}}={\frac {{\frac {V_{m}}{2\pi }}(1-cos\beta )}{100}}={\frac {{\frac {100}{2\pi }}(1-cos(3,45576))}{100}}=0,31052(A)=310,52(mA)$

• Valor de la intensidad eficaz en la carga RL:

Fig.8 - Intensidad eficaz en la carga RL

$I_{RMS}={\frac {(I_{max}+I_{min})}{2}}={\frac {(488,994+474,713)}{2}}$

$I_{RMS}=481,8535(mA)$

También podemos calcularlo mediante las fórmulas explicadas anteriormente el cual nos quedaría:

$I_{RMS}={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int _{0}^{\beta }i^{2}(\omega t)d\omega t}}={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int _{0}^{\beta }{\frac {V_{m}^{2}}{Z^{2}}}\left(sen(\omega t-\theta )+sen(\theta )e^{-\omega t/\omega \tau }\right)^{2}d\omega t}}$

$I_{RMS}={\sqrt {{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{3,45576}{\frac {100^{2}}{100^{2}+(0.1\cdot 2\pi 50)^{2}}}\left[sen(\omega t-arctg({\frac {0.1\cdot 2\pi 50}{100}}))+sen(arctg({\frac {0.1\cdot 2\pi 50}{100}}))e^{-\omega t/2\pi 50{\frac {0,1}{100}}}\right]^{2}d\omega t}}$

$I_{RMS}=0,480545(A)=480,545(mA)$

Otra manera de poder calcularlo sería la siguiente:

$I_{RMS}={\frac {V_{o,RMS}}{Z}}={\frac {\frac {V_{m}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {R^{2}+L^{2}\omega ^{2}}}}={\frac {\frac {100}{\sqrt {2}}}{\sqrt {100^{2}+0,1^{2}(2\cdot \pi \cdot 50)^{2}}}}=0,6746(A)=674,6(mA)$

• Valor de la potencia absorbida por en la carga RL:

Fig.9 - potencia media absorbida por la carga RL

$P_{absRL}={\frac {(P_{max}+P_{min})}{2}}={\frac {(23,968+22,541)}{2}}$

$P_{absRL}=23,2545(W)$

También podemos calcularlo mediante las fórmulas explicadas anteriormente el cual nos quedaría:

$P_{o}={\frac {V_{o,RMS}^{2}}{R}}={\frac {({\frac {V_{m}}{2}})^{2}}{R}}={\frac {({\frac {100}{2}})^{2}}{100}}=25(W)$

• Por último calculamos con los datos anteriores obtenidos en las gráficas (fig.8 y fig.9) obtenidas en la simulación el factor de potencia que tiene nuestro circuito:

$fp={\frac {P_{abs}}{V_{s,rms}\cdot I_{rms}}}={\frac {P_{abs}}{({\frac {V_{m}}{\sqrt {2}}})\cdot I_{rms}}}={\frac {23,2545}{({\frac {100}{\sqrt {2}}})\cdot 0,4818535}}$

$fp=0,68251$

Referencias

• Electrónica de potencia - Daniel W. Hart.
• Apuntes Electronica Industrial de la Universidad De La Rioja.
• Wikipedia.

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