ProgramacionIngenieriaMecanicaUPB:Grupo 1520 03

Integrantes

• Pablo Aristizábal Betancur
• Juan José García Quintero
• David Velásquez Díez

Resumen

Se pretender dar una solución al problema relacionado con la deformación elástica lineal enfocado al estudio del caso bidimensional por medio del método de diferencias finitas, utilizando la diferenciación central. Se busca obtener por medio del desarrollo de este trabajo, analizar las deformaciones que sufre un sólido cuando se somete a fuerzas axiales dentro del rango elástico del material, realizar un mallado del cuerpo y observar cuando se deforma cada nodo de la estructura del material para tener un estudio completo del comportamiento y reacción del caso a estudiar. La temática relacionada con la resistencia de materiales es bastante importante en la vida diaria del ingeniero, ya que gracias a este estudio se pueden basar para plantear diseños, corregir estructuras, predecir resultados y como base de investigaciones para la innovación en el campo de los materiales. Es un tema completo y útil, analizar el comportamiento de los materiales.

Introducción

Se va a trabajar la resistencia de materiales básica, enfocada al análisis del comportamiento de los materiales bajo esfuerzos normales, enfocado a las reacciones y consecuencias que tiene para dicho material haber aplicado fuerzas axiales centradas dadas. Es importante el uso de herramientas como MATLAB a la hora de modelar fenómenos por la facilidad de su uso. Para trabajar métodos numéricos como las diferencias finitas se hace de vital importancia una herramienta con la capacidad de ordenar vectores y matrices que simplifiquen el proceso y lo puedan llevar a niveles de complejidad y exactitud con una rapidez casi instantánea; además, su amplia gama de sub-herramientas que facilitan la interacción con el usuario (como GUI y SimuLink), permiten que el fenómeno de estudio sea más visual, interactivo y entendible para los usuarios.

Palabras clave

Esfuerzo, deformación, fuerza axial centrada, tracción, compresión, módulo de Young, momento de inercia, sección transversal, diferencias finitas, derivación central, mallado, nódulos, PVF.

Marco teórico

Modelo Físico

Gráfica 1. Sólido para modelamiento bidimensional con PVF.

Gráfico 2. Dimensión de las barras con respecto a sus módulos, longitud y fuerza.

Gráfico 3. Barra sometida a tracción, fenómeno de deformación y diferencial de área.

Modelo Matemático

La ecuación que modela el fenómeno de las deformaciones elásticas lineales en 2D es la siguiente:

                        $E*I*\triangledown ^{2}U=F$          (1)       
                                                                        

Donde E es el módulo de Young (Propiedad de cada material); I es el momento de inercia (Propiedad de las áreas planas); U son los desplazamientos del material y F es la fuerza aplicada al cuerpo. Expandiendo la expresión (1) tenemos que:

                        $E*I*({\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}})=F$          (2)           

Por medio del desarrollo del método de diferencias finitas, más precisamente la diferenciación central que expresa de la siguiente forma las segundas derivadas:

                         ${f}''={\frac {f_{i-1}-2f_{i}+f_{i+1}}{h^{2}}}$          (3)

Teniendo en cuenta la expresión (2) y la (3) obtenemos lo siguiente:

                         ${\frac {\partial ^{2}U}{\partial ^{2}x}}={\frac {U_{i-1}-2U_{i}+U_{i+1}}{hx^{2}}}$          (4)

                         ${\frac {\partial ^{2}U}{\partial ^{2}y}}={\frac {U_{i-nx}-2U_{i}+U_{i+nx}}{hy^{2}}}$          (5)

Donde hx y hy son las distancias entre los nodos del mallado del material; nx y ny son la cantidad de nodos en dirección del eje X y Y respectivamente. Reemplazando la expresión (4) y (5) en la (2):

                        $E*I*\left({\frac {U_{i-1}-2U_{i}+U_{i+1}}{hx^{2}}}+{\frac {U_{i-nx}-2U_{i}+U_{i+nx}}{hy^{2}}}\right)=F$          (6)

Despejando los coeficientes de las variables que representan las deformaciones, de la expresión (6) obtenemos de forma general:

                        ${\frac {1}{hy^{2}}}U_{i-nx}+{\frac {1}{hx^{2}}}U_{i-1}-2({\frac {1}{hx^{2}}}+{\frac {1}{hy^{2}}})U_{i}+{\frac {1}{hx^{2}}}U_{i+1}+{\frac {1}{hy^{2}}}U_{i+nx}={\frac {F}{E*I}}$          (7)

Descripción del software

El software cuenta con tres interfaces gráficas, una de bienvenida en donde se presenta una imagen alusiva al fenómeno de estudio, que incluye los datos principales de los desarrolladores y un botón de inicio que da paso a la segunda interfaz del programa. La segunda interfaz es donde el usuario llena toda la información requerida por el código para mostrar los resultados; cuenta con tres secciones de ingreso de datos: Las propiedades de la pieza, las condiciones de carga y las condiciones de análisis; También cuenta con cuatro botones: calcular, default, borrar y salir. Luego de ingresar los datos y presionar el botón de calcular, o bien, presionando el botón default que contiene unos datos predeterminados de análisis, se abre la interfaz de resultados donde se muestra gráficamente las zonas de deformación en la placa. También se incluyen los botones de valores, regresar y salir. Presionando el botón de valores, se abre la última interfaz del programa que muestra de forma matricial los valores de deformación de cada nodo.

Conclusiones

Se pudo hacer un analisis detallado del comportamiento de los materiales bajo esfuerzos normales, de acuerdo a las reacciones y consecuencias de las fuerzas que el usuario le haya aplicado

Referencias

Notas de clase, Resitencia de materiales I Wikilibros Matlab