ProgramacionIngenieriaMecanicaUPB:Grupo 1510 05

Integrantes

Jonathan Chacón Pérez 152633 jonathan.chacon@alfa.upb.edu.co

Juan Pablo Ruiz 236603 juanpa.ruiz@alfa.upb.edu.co

Andrés Salazar 214493 andres.salazarca@alfa.upb.edu.co

Cronograma

Proyectil

La ventaja de la honda sobre cualquier otro tipo de arma es que cualquier piedra u objeto contundente del tamaño adecuado puede ser empleado como proyectil. Naturalmente cuando las necesidades de precisión o alcance son exigentes, no se pueden obviar las leyes de la balística, aunque normalmente cantos naturales seleccionados pueden servir estupendamente para cualquier uso. La versatilidad de la honda y la posibilidad de compensar cada disparo con nuestro impulso, permite que un mismo blanco pueda ser alcanzado con proyectiles de diferente tamaño. Esta adaptación tiene lugar de manera intuitiva, al "sentir" el peso del proyectil durante el volteo; automáticamente se adapta el impulso y el momento preciso de liberación para que nuestro proyectil alcance el blanco.

Pero hay que admitir que utilizando proyectiles normalizados, del mismo peso, tamaño y forma, no es preciso realizar esta adaptación entre disparos sucesivos, con lo que el tiro se desarrolla más rápido y con menores posibilidades de error. Cada disparo sirve para corregir el siguiente y la precisión es mayor. Ese hecho evidente se tuvo en cuenta desde la más remota antigüedad, desde el Neolítico, cuando la guerra organizada hace aparición. Es el uso bélico de la honda el que exige la estandarización de los proyectiles, para obtener las mejores prestaciones y la mayor rapidez de disparo; igualmente así se consigue la mayor rapidez de fabricación de las grandes cantidades requeridas, gracias a la fabricación en serie, usando moldes múltiples como es el caso de los proyectiles de plomo.

En cuanto al uso no bélico, ganadero o de caza, durante toda la historia se emplearían proyectiles naturales, cantos seleccionados, dada la cantidad pequeña requerida y el tiempo disponible para su recolección sobre la marcha. Los materiales empleados tradicionalmente son tres: piedra, arcilla y plomo. Nosotros añadiremos un tercero, propio de nuestros días: el mortero de cemento.

Reseña Histórica

La descripción matemática del movimiento constituye el objeto de una parte de la física denominada cinemática. Tal descripción se apoya en la definición de una serie de magnitudes que son características de cada movimiento o de cada tipo de movimientos.

La observación y el estudio de los movimientos ha atraído la atención del hombre desde tiempos remotos. Así, es precisamente en la antigua Grecia en donde tiene su origen la sentencia "Ignorar el movimiento es ignorar la naturaleza", que refleja la importancia capital que se le otorgaba al tema.

El estudio propiamente científico del movimiento se inicia con Galileo Galilei. A él se debe una buena parte de los conceptos que aparecen recogidos en este capítulo.

Resumen

Usaremos MATLAB para ilustrar la trayectoria de un proyectil en 3 dimensiones, usando las ecuaciones de movimiento en el espacio ayudados de la segunda ley de Newton para analizar el comportamiento en ciertos intervalos de tiempo así mismo para saber la altura maxima que tendrá en su trayectoria con su respectiva velocidad y aceleración. Nos ayudaremos de entornos gráficos de Matlab para facilitar el uso del programa y que su interfaz gráfica sea didáctica y fácil de comprender.

Abstract

We will use MATLAB to illustrate the trajectory of a projectile in 3D , using the equations of motion in space helped to Newton 's second law to analyze the behavior at certain time intervals likewise to know the maximum height it will have on his career with their respective speed and acceleration. We help Matlab graphics to facilitate the use of the program and its graphical interface is didactic and easy to understand .

Introduccion

Una de las fuertes aplicaciones que tiene la física y este fenómeno a estudiar se ve reflejado en determinar a través de un sistema coordenado la posición de elementos que se desplazan en el espacio, así mismo como su trayectoria pues de ahí se puede analizar mucho antes de ejecutar un lanzamiento en nuestro caso de un proyectil, si la fuerza aplicada en el lanzamiento va a ser suficiente para llegar al punto que se desea o si por el contrario se debe volver a calcular para tener los valores exactos de velocidades iniciales y muchas otras variables que gobiernan el lanzamiento. Para ello haremos un programa en Matlab al cual le ingresaremos unas condiciones iniciales de su posicion de lanzamiento y su respectivas velocidades y partiendo de eso trazar una trayectoria que me defina donde se encuentra el proyectil para cierto tiempo determinado, el uso de Matlab nos facilita el análisis del comportamiento de su trayectoria así mismo como ver de una manera dinámica el movimiento del proyectil y analizando puntos de importancia como la altura maxima que alcanzara.

Modelo Físico

La cinemática es una rama de la física dedicada al estudio del movimiento de los cuerpos en el espacio, sin atender a las causas que lo producen (lo que llamamos fuerzas). Por tanto la cinemática sólo estudia el movimiento en sí, a diferencia de la dinámica que estudia las interacciones que lo producen. El análisis vectorial es la herramienta matemática más adecuada para ellos.

Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir inequívocamente la posición de cualquier punto de un espacio euclídeo (o más generalmente variedad diferenciable). En física clásica se usan normalmente sistemas de coordenadas ortogonales, caracterizados por un punto denominado origen y un conjunto de ejes perpendiculares que constituyen lo que se denomina sistema de referencia.

Durante la trayectoria del proyectil encontraremos un punto máximo de altura el cual será la referencia para definir tres ecuaciones que me describan tal movimiento en función del tiempo; de allí tendremos el punto de partida para analizar muchos más puntos interesantes durante toda su trayectoria.

Imagen modelo matemático

Animación proyectil

Modelo Matemático

La base para todos los cálculos esta basada en la segunda ley de Newton la cual establece que La aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él e inversamente proporcional a su masa:

$\sum {\vec {F}}=m\cdot {\vec {a}}$

Despreciando el empuje $w=m\cdot g$

La fuerza del viento $F_{R}$ , que es sentido contrario al vector velocidad (tangente a la trayectoria)

Fuerza del viento: $F_{R}=-m\cdot K\cdot V$

De acuerdo con la segunda ley de newton las ecuaciones de movimiento de cuerpo seran:

 $g:gravedad$

 $V=velocidad$

 $Vx=velocidadenx$

 $Vy=velocidadeny$

 $Vz=velocidadenz$

 $K=constantefuerzaviento$

 $t=tiempo$

 $m:masa$

En z:

$m\cdot {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=-m\cdot g-m\cdot k\cdot V_{Z}$ (1.)

En x:

$m*{\frac {\delta ^{2}x}{\delta t^{2}}}=-m*k*V_{x}$ (2.)

En y:

$m\cdot {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-m\cdot k\cdot V_{Y}$ (3.)

Tomando de la primera (1) ecuacion dividir entre la m:

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=-g-k\cdot V_{Z}$

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=-g-k\cdot {\frac {dz}{dt}}$

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+k\cdot {\frac {dz}{dt}}=-g$

Tomando la segunda (2) ecuacion dividir entre la m:

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-k\cdot V_{X}$

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-k\cdot {\frac {dx}{dt}}$

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+k\cdot {\frac {dx}{dt}}=0$

Tomando la tercera (3) ecuacion dividir entre la m:

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-k\cdot V_{Y}$

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-k\cdot {\frac {dy}{dt}}$

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+k\cdot {\frac {dy}{dt}}=0$

Implementacion de la solución

Nos apoyeremos principalmente en un metodo numérico de cuarto orden: Runge-Kutta, los métodos de Runge-Kutta son un conjunto de métodos genéricos iterativos, explícitos e implícitos, de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta. Para poder trazar la trayectoria del proyectil y obtener al tiempo los valores de velocidades y aceleraciones nos valimos de una funcion de matlab llamado ode45 la cual tiene implicita el metodo de Runge-Kutta y esta compuesta por la siguiente sintaxis:

$[t,f]=ode45('movimiento',t,[px;vx;py;vy;pz;vz])$

$f$ es una matriz donde cada columna corresponde a las variables dependientes y $t$ es el vector tiempo. $'movimiento'$ es el nombre de la función, $t$ especifica el intervalo de tiempo, un vector $t=0:0.1:10$ , tiempo inicial y final. Para obtener valores de las variables dependientes en instantes concretos $t0,t1,t2,...tn$ . $px;vx;py;vy;pz;vz$ son vectores que contiene los valores o condiciones iniciales.

Para una mayor facilidad a la hora de manejar el Runge-Kutta de cuarto orden hicimos los siguientes cambios de variables:

$f(1)=x=px$ .................... $f'(1)=f(2)$

$f(2)={\frac {\delta x}{\delta t}}=vx$ .................... $f'(2)=-k\cdot f(2)$

$f(3)=y=px$ .................... $f'(3)=f(4)$

$f(4)={\frac {\delta y}{\delta t}}=vx$ .................... $f'(2)=-k\cdot f(4)$

$f(5)=z=pz$ .................... $f'(5)=f(6)$

$f(6)={\frac {\delta z}{\delta t}}=vz$ .................... $f'(6)=-g-k\cdot f(6)$

Resultados y análisis

Los resultados luego de correr el programa y resolver las ecuaciones diferenciales de segundo orden son la trayectoria punto a punto del movimiento del proyectil, despejando de las ecuaciones podemos obtener los valores de las velocidades y las aceleraciones en función del tiempo así mismo como la posicion de cada puno a lo largo de cada eje, de lo cual podemos analizar un punto interezante como la altura maxima que alcanzará el proyectil.

Haciendo un cuadro comparativo entre el movimieno con y sin resistencia del aire, podemos observar que sin tener en cuenta ese rozamiento, la distancia maxima recorrida es mucho mayor lo que se es de esperar ya que en las ecuaciones ese valor no es tenido en cuenta.

Conclusiones

Se determino la trayectoria de un proyectil en 3 dimensiones utilizando la herramienta MATLAB.

Se utilizaron modelos matemáticos y modelos teóricos para la elaboración del programa. Como la ode45 que tiene implícita el método de runge-kutta, son un conjunto de métodos genéricos iterativos, explícitos e implícitos, de resolución numérica de ecuaciones diferenciales.

Se observo variaciones de los cálculos cuando se le implemento rozamiento y cuando no, y se observo que cuando hay rozamiento la distancia recorrida es menor que la distancia que no hay rozamiento.

De las ecuaciones de movimiento de la segunda ley de Newton Para pasar de un lanzamiento de proyectil de 2D a 3D se hizo una extrapolación.

Referencias

c4-EOPNP. Historia de las municiones [en línea]. Disponible en: <http://www.monografias.com/trabajos88/historia-municiones/historia-municiones.shtml>

Eugenia fernandez. Reseña historica [en línea].sábado, 22 de septiembre de 2012. Disponible en: <http://espaciodeltie.blogspot.com/2012/09/historia-del-tiempo.html>

wilson s. Movimiento de un proyectil, con y sin resistencia del aire [en línea]. guatemala. Disponible en: <http://practicaautodidacta.blogspot.com/2014/01/Movimiento-de-un-proyectil-con-y-sin-resistencia-aire.html>

Richard L. Burden, J. Douglas Faires (2001). 7, ed. Análisis Numérico. Cengage Learning Latin America. ISBN: 9706861343.

Ascher, Uri M.; Petzold, Linda Ruth (1998). Computer methods for ordinary differential equations and differential-algebraic equations (en inglés) (1ª edición). Philadelphia (USA): SIAM. ISBN: 0898714125.