ProgramacionIngenieriaMecanicaUPB:Grupo 1510 01

Integrantes

Nicolás Esteban Jiménez Tabares - Estudiante ingeniería mecánica

Ferney Arturo Rodríguez mejía - Estudiante ingeniería mecánica

Resumen

Se elaborara un programa en matlab que implementa los métodos de TRESCA y VON MISES del área de mecánica de materiales, el cual tendrá un estudio detallado de las fuerzas que actúan sobre una viga voladiza, con la cual se podrá interactuar, dadonle la posibilidad de estar a tracción/compresión, flexión o torque con la magnitud deseada. Ademas su comportamiento se vera reflejado en un grafico que compara la posición inicial vs el estado final de la viga que según el material mostrara si esta pieza falla o no por fluencia. Este modelo fue desarrollado por el Método de Runge-kutta y por un estudio previo de mecánica de materiales 1 y 2.

Abstrat

A program that implements the methods matlab Tresca and von Mises the area of mechanics of materials , which have a detailed study of the forces acting on a cantilever , with which they interact can be developed , the possibility of being dadonle tensile / compression, bending or torque of the desired magnitude . Besides their behavior it will be reflected in a chart that compares the initial position vs the final state of the beam depending on the material show if this part fails or creep . This model was developed by the Runge-Kutta methods and a preliminary study of mechanics of materials 1 and 2.

Introducción

A manera macro, la construcción de diferentes estructuras portantes se ven altamente señaladas por el nivel de confiabilidad en cuanto a la resistencia de los materiales y durabilidad a través del tiempo, ya que estas deben tener un estudio previamente detallado para la prevención de desastres a mayor escala. El problema a resolver consta a manera micro de una barra en voladiza la cual está sometida a varios esfuerzos, el ideal es ver el comportamiento de la pieza bajo el criterio de Von mises o Tresca (solo materiales dúctiles) para así determinar si el caso en cuestión será o no viable.

La implementación de Matlab se realizara para llegar a todas las conclusiones anteriores por medio de modelos de cálculo posteriormente explicadas, además de presentar un diagrama comparativo que muestre el estado inicial y final de la barra, ya sea si falla por fluencia o si simplemente se flecta.

Cronograma

Modelo físico

Nuestro estudio se limita a una barra en voladiza, donde el usuario podrá elegir que fuerzas actúan en ella (P, F, T), siendo obligatoria la presencia de una fuerza P para así poder determinar su deflexión máxima respecto al eje y. Además de poder determinar la longitud (L) de la barra y el radio (R), como se muestra en la figura(1):

Bajo este modelo se evaluaran los criterios de falla para materiales dúctiles para determinar el comportamiento de la barra. Para el análisis de cuanto se desplazara la pieza por la deflexión que se presentara,se observara en un modelo 2D como lo muestra la figura(2).

El fenómeno se presentara detalladamente en un gráfico comparativo, donde se observe el movimiento de la barra por la acción de la fuerza aplicada, para esto se empleara el método de Runge-Kutta de cuarto orden, para hacer posible el análisis a lo largo de todo el eje x de la pieza, de tal modo que el gráfico muestre el cambio entre la $y_{i}$ y $y_{f}$ Adicional a esto se manejara una pequeña base de datos para los módulos de elasticidad y puntos de fluencia de algunos materiales que el usuario podrá seleccionar como se muestra en la tabla (1).

Modelo Matematico

$\sigma =\pm {\frac {P}{A}}$ (1)

$\sigma =\pm {\frac {F}{A}}$ (2)

Dónde:

F:Fuerza a traccion o compresion aplicada [N]

P:Fuerza permanente aplicada [N]

A:Area de la seccion transversal [M^2 ]

σ:Fuerza de traccion/compresion pura [Pa]

$\tau _{max}={\frac {TxR}{J}}$ (3)

Dónde:

T:Torque aplicado [N]

R:Radio exterior del eje [M]

J:Momento polar de inercia de la sec.transv.[M^4]

τ:Torsion pura en ejes [Pa]

$\sigma _{med}={\frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}}$ (4)

$R={\sqrt {({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}})^{2}+\tau _{xy}^{2}}}$ (5)

$\sigma _{A}=\sigma _{med}+R$ (6)

$\sigma _{B}=\sigma _{med}-R$ (7)

Dónde:

R:Radio del circulo de mohr

$\sigma _{med}$ : Distancia del origen al centro del circulo

$\sigma _{A}$ : $\sigma _{max}$ :Esfuerzo normal maximo

$\sigma _{B}$ : $\sigma _{min}$ :Esfuerzo normal minimo

Por Tresca

Bajo Tresca el elemento es seguro si:

$\tau _{max}aplicada\leq \tau _{max}fluencia$ (8)

$\tau _{max}$ para fluencia bajo tracción pura:

$\tau _{max}fluencia={\frac {s_{y}}{2}}$ (9)

El criterio de Tresca se resume en los siguientes 3 casos, comparados en valor absoluto:

$\sigma _{A}$ y $\sigma _{B}$ ambos de tracción (+):

$\tau _{max}aplicada={\frac {\sigma _{A}}{2}}$ (10)

Reemplazando (10) y (9) en (8):

$\left\|\sigma _{A}\right\|\leq s_{y}$ (11)

$\sigma _{A}$ y $\sigma _{B}$ ambos de compresión (-):

$\tau _{max}aplicada={\frac {\sigma _{B}}{2}}$ (12)

Reemplazando (12) y (9) en (8):

$\left\|\sigma _{B}\right\|\leq s_{y}$ (13)

$\sigma _{A}$ positivo y $\sigma _{B}$ negativo:

$\tau _{max}aplicado={\frac {\sigma _{A}-\sigma _{B}}{2}}$ (14)

Reemplazando (14) y (9) en (8):

$\left\|\sigma _{A}-\sigma _{B}\right\|\leq s_{y}$ (15)

Por Von Mises

La máxima energía de distorsión sobre un elemento sometido a esfuerzo plano es:

$\mu _{d}={\frac {1}{6G}}(\sigma _{A}^{2}-\sigma _{A}\sigma _{B}+\sigma _{B}^{2})$ (16)

Dónde:

G:Modulo de cortadura

$\sigma _{A},\sigma _{B}$ :Esfuerzos principales en el plano

Energía de distorsión para la fluencia bajo tracción pura:

$\mu _{dt}={\frac {s^{2}y}{6G}}$ (17)

Bajo Von Mises el elemento es seguro si:

$\mu _{d}\leq \mu _{dt}$ (18)

Reemplazando (15) y (16) en (17):

$\sigma _{A}^{2}-\sigma _{A}\sigma _{B}+\sigma _{B}^{2}\leq s^{2}y$ (19)

Mapas de Cedencia

Diagrama de los criterios de cedencia en un plano cartesiano cuyos ejes son los esfuerzos principales : $\sigma _{a}$ y $\sigma _{b}$ .

El hexagono de Tresca si la condicion critica de esfuerzo representada por el punto ( $\sigma _{a},\sigma _{b}$ ) cae dentro del hexagono el elemento es seguro, si cae fuera hay falla por fluencia.

Ambos criterios se pueden comparar superponiendo el hexagono de Tresca:

Ambos criterios coinciden en los 6 puntos en los que se intersectan las figuras.

En los demas puntos Tresca es mas conservador que Von mises ya que el hexagono esta incluido en la elipse.

Deflexión de una viga uniforme

Un modelo adecuado de la curva de deflexión es la ecuación diferencial de cuarto orden:

$EIy^{4}=P(x)$ (21)

en donde:

E: denota el modulo de Young del material de la viga.

I: denota el momento de inercia de la sección transversal de la viga alrededor de una linea horizontal que pasa por el centroide.

P(x): denota la densidad de la fuerza hacia abajo que actúa verticalmente sobre la viga en el punto x.

Aquí consideramos que P(x) es una fuerza vertical $P_{y}$ en la dirección deseada, multiplicada por una distancia $X_{p}$ a lo largo del eje longitudinal, datos que el usuario, según necesite, podrá ingresar:

$EIy^{4}=P$ (22)

en la que E, I y P son constantes.

Aunque la ecuación (22) es una ecuación diferencial de cuarto orden, su solución solo incluye la solución de sencillas ecuaciones de primer orden por medio de integraciones sucesivas, una integración de la ecuación (22) da

$EIy^{3}=Px+C_{1}$ (23)

una segunda integración produce:

$EIy^{2}={\frac {1}{2}}Px^{2}+C_{1}x+C_{2}$ (24)

una mas da:

$EIy^{1}={\frac {1}{6}}Px^{3}+{\frac {1}{2}}C_{1}x^{2}+C_{2}x+C_{3}$ (25)

y una ultima integración da:

$EIy={\frac {1}{24}}Px^{4}+{\frac {1}{6}}C_{1}x^{3}+{\frac {1}{2}}C_{2}x^{2}+C_{3}x+C_{4}$ (26)

donde $C_{1}$ , $C_{2}$ , $C_{3}$ y $C_{4}$ son constantes arbitrarias. Así obtenemos una solución de la ecuación (22) de la forma:

$y(x)={\frac {P}{24EI}}x^{4}+Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D$ (27)

donde A,B,C y D son constantes que resultan de las cuatro integraciones.

Estas ultimas cuatro constantes están determinadas por el modo en que la viga se sostiene en sus extremos, donde x=0 y x=L. Para el caso que estudiamos como se mencionó anteriormente es una viga voladiza. Las condiciones de frontera correspondientes a los tres casos mas comunes se presentan en la tabla:

Soporte	Condición de frontera
Sostenida simplemente	$y={y}''=0$
Empotrada o fija en un extremo	$y={y}'=0$
Extremo libre	${y}''={y}'''=0$

De esta manera y aplicado a nuestro modelo, las condiciones de frontera pertinentes serian:

$y(0)={y}'(0)=0$ (28)

${y}''(L)={y}'''(L)=0$ (29)

Con base en estas condiciones de frontera, y reemplazándolas respectivamente en (23),(24),(25) y (26), obtenemos que las constantes equivalen a:

$A={\frac {-PL}{2}}$ (30)

$B=0$ (31)

$C={\frac {PL^{3}}{24}}$ (32)

$D=0$ (33)

Y sustituyendo esto en (27), obtenemos la ecuación general que rige nuestro problema:

$y(x)={\frac {P}{24EI}}(x^{4}-2Lx^{3}+L^{3}x)$ (34)

La deflexión máxima para el modelo en cuestión se dara en el extremo libre y esta determinado por la ecuacion:

$y(L)={\frac {P}{24EI}}((L)^{4}-2L(L^{3})+L^{3}(L)$ (35)

Explicacion del Programa

La primera interfaz consiste en una bienvenida a nuestro programa el cual hará énfasis en los autores, el nombre del proyecto y en que sistema se desarrollan los cálculos. Al presionar el botón continuar pasara a la siguiente interfaz.

La segunda interfaz es para la entrada de datos necesarios para los modelos de calculo que se desarrollan. En esta se da la posibilidad de variar las fuerzas presentes en la viga, ademas de la distancia en la que la fuerza perpendicular se aplica para hacer mas preciso el gráfico de deformación con respecto al eje Y. Siguiente a esto se debe ingresar los datos necesarios como lo es la longitud, el radio de la sección transversal de la pieza y el tipo de material a trabajar, que viene anexado con una base de datos que le entregara al usuario los valores del modulo elástico y el punto de fluencia. El paso a seguir es el modelo de calculo que el usuario desee efectuar para la determinación del comportamiento de la viga bajo las condiciones que el mismo ingrese. El botón salir termina la ejecución del programa.

La interfaz 3 corresponde al modelo calculado bajo el criterio de Tresca, en esta se muestra el caso pertinente a los resultados arrojados por los cálculos por acción de las fuerzas y datos iniciales de la interfaz 1. A la derecha se presenta un gráfico que representa el mapa de cedencia de Tresca, en el cual se puede observar la zona segura para que el material no falle por fluencia, y la ubicación del punto por acción de los esfuerzos principales calculados. El botón graficar abre la ultima interfaz. El botón regresar, devuelve al usuario a la interfaz 1 para una nueva toma de datos. El botón Salir termina la ejecución del programa.

La interfaz 4 corresponde al modelo calculado bajo el criterio de Von Mises, en esta se muestra los resultados de los esfuerzos principales obtenidos por los cálculos. A la derecha se presenta un gráfico que representa el mapa de cedencia de Von Mises, en el cual se puede observar la zona segura para que el material no falle por fluencia, y la ubicación del punto por acción de los esfuerzos principales. El botón graficar abre la ultima interfaz. El botón regresar, devuelve al usuario a la interfaz 1 para una nueva toma de datos. El botón Salir termina la ejecución del programa.

La interfaz 5 muestra dos graficas como resultado de los datos anteriormente obtenidos si la viga no falla por fluencia. La primera grafica muestra el estado inicial de la viga, la segunda grafica muestra el estado final de la viga con su deflexion maxima, valor que aparece en la parte inferior de la ventana. El botón regresar, devuelve al usuario a la interfaz 1 para una nueva toma de datos. El botón Salir termina la ejecución del programa.

Conclusiones

El modelo que se estudio dio la posibilidad de emplear todos los conocimientos adquiridos a lo largo del curso de programación para mecánicos, ademas de ser un tema importante en el estudio de estructuras portantes.

Para futuros estudios se podría ampliar el programa para dar la posibilidad de calcular el modelo bajo el criterio de materiales frágiles, para así poder ofrecer al usuario una gama mas alta de posibilidades, ademas de mejorar la base de datos para mas materiales.

En principio se pretendía llegar a mostrar una animación de la viga mientras se deformaba, pero el modelo utilizado no nos daba esa posibilidad, lo cual puede ser un reto a futuro, hallando un modelo apropiado para lograr este objetivo.

Referencias

Notas de clase del curso de Jorge Saldarriaga Escobar, Escuela de Ingenierías UPB, Mecánica de Materiales 1.

Notas de clase del curso de Javier Cruz Riaño, Escuela de Ingenierías UPB, Mecánica de Materiales 2.

Notas de clase del curso de Raúl Valencia Cardona, Escuela de Ingenierias UPB, Programacion para Ingenieros.

C. Henry Edwards, David E. PenneyC. Ecuaciones diferenciales. 2001 - 800 pages

http://es.slideshare.net/MichaelFerneine/mecanica-de-materiales-beer-5th

http://www.mspc.eng.br/matr/resmat0730.shtml

http://blog.utp.edu.co/metalografia/2012/07/31/2-propiedades-mecanicas-de-los-materiales/

https://prezi.com/y863wrk6-dky/graficas-conicas-en-matlab/

http://es.slideshare.net/diegotrucios7/la-tex1-27554401

http://www.sc.ehu.es/sbweb/energias-renovables/MATLAB/basico/graficos/graficos.html