Autores

Dorie Alejandra Osorio — Ingeniería Mecánica
Dayro Cortés Rodríguez — Ingeniería Mecánica

Resumen

Dentro del universo de la ingeniería mecánica con sus diversos componentes y configuraciones se ha tomado como caso de estudio el mecanismo manivela-biela-corredera, el cual sera explicado con claridad desde la base teórica pasando por el análisis matemático, hasta llegar a una interfaz fácil de manipular cuyo objetivo es que con algunos datos iniciales se puedan conocer posición,velocidad y aceleración de la corredera.

Introducción

Para comprender mejor de que se trata el mecanismo analizado se hace la relación con el funcionamiento del motor del automóvil, el cual así como se ve en la animación del recuadro convierte un movimiento de rotación en uno lineal o viceversa de tal forma que se aprovecha el pistón o corredera para hacer una función determinada. Básicamente esa es la función del mecanismo el cual proviene de otro mas simple, el mecanismo de manivela-biela.

Los componentes básicos del mecanismo son tres elementos unidos secuencialmente de tal forma que el primero (puede ser de forma lineal,cilíndrica o excéntrica) va a conectar con el segundo(biela) en el extremo a una determina distancia de su eje de giro, el primer elemento es quien rota, mientras que en el segundo comienza la transición a movimiento rectilíneo el cual se ve completamente transformado en la tercera etapa es decir cuando el segundo elemento o biela se une con la corredera(pistón).

Con esto claro se puede plantear el problema a resolver el mecanismo.

Marco Teórico

ANÁLISIS CINEMÁTICO

* Análisis de posición El objetivo de un análisis de posición es el de determinar la ubicación de cada uno de los elementos del mecanismo dentro del espacio en cual se encuentra siendo este la base de todo análisis cinemático.

* Mecanismos planos

En el estudio de mecanismos se encuentran variables de entrada, de salida y parámetros.

Para posición se define

$V\left(entrada\right)=\theta {}_{2}$

$Parametros=r{}_{1},\theta _{2},r{}_{2},r{}_{3},\theta _{4}$

$V(salida)=\theta _{3},r{}_{4}$

Para velocidad

$V\left(entrada\right)={\dot {}}\theta _{2}$

Para aceleración

$V\left(entrada\right)={\ddot {}}\theta _{2}$

Para el análisis de un mecanismo de manera analítica se recurre a los números complejos los cuales representan vectores que a su vez representan las barras del mecanismo.

$\theta =orientacion$

$r=magnitud$

$R=vector$

$R=r{}_{x}+ir{}_{y}\rightarrow rectangular$

$R=re^{i\theta }\rightarrow exponencial$

$R=r\left(\cos {\left(\theta \right)}+isin\left(\theta \right)\right)\rightarrow polar$

* Ecuación de cierre

Es la representación en forma de vectores del mecanismo que se esta analizando para encontrar toda la información relativa la estudio del mismo .

Ecuación de posición del mecanismo.

* Ecuación de cierre

$R{}_{1}+R{}_{2}+R{}_{3}=R{}_{4}$

$V(entrada)=\theta _{2}$

$Parametros=r{}_{1},\theta _{2},r{}_{2},r{}_{3},\theta _{4}$

$V(salida)=\theta _{3},r{}_{4}$

$V\left(entrada\right)=y{}_{0}=\theta _{2}$

$R{}_{1}+R{}_{2}+R{}_{3}=R{}_{4}$

$r{}_{1}e^{i\theta _{1}}+r{}_{2}e^{i\theta _{2}}+r{}_{3}e^{i\theta _{3}}=r{}_{4}e^{i\theta _{4}}$

$r{}_{1}(\cos \theta _{1}+i\sin \theta _{1})+r{}_{2}(\cos \theta _{2}+i\sin \theta _{2})+r{}_{3}(\cos \theta _{3}+i\sin \theta _{3})=r{}_{4}(\cos \theta _{4}+i\sin \theta _{4})$

$Real=r{}_{1}\cos \theta _{1}+r{}_{2}\cos \theta _{2}+r{}_{3}\cos \theta _{3}=r{}_{4}\cos \theta _{4}$

$Imaginario=r{}_{1}\sin \theta _{1}+r{}_{2}\sin \theta _{2}+r{}_{3}\sin \theta _{3}=r{}_{4}\sin \theta _{4}$

$Entonces=(1)r{}_{2}\cos \theta _{2}+r{}_{3}\cos \theta _{3}=-r{}_{4}$

$(2)r{}_{1}+r{}_{2}\sin \theta _{2}+r{}_{3}\sin \theta _{3}=0$

Para velocidad

$y_{0}={\dot {}}\theta _{2}$

${\dot {}}R{}_{1}+{\dot {}}R{}_{2}+{\dot {}}R{}_{3}={\dot {}}R{}_{4}$

${\dot {}}r{}_{1}\ =0$

${\dot {}}\theta ir{}_{2}(\cos \theta _{2}+i\sin \theta _{2})+{\dot {}}\theta ir{}_{3}(\cos \theta _{3}+i\sin \theta _{3})={\dot {}}r{}_{4}(\cos \theta _{4}+i\sin \theta _{4})$

$Real=-{\dot {}}\theta _{2}{\dot {}}r{}_{2}\sin \theta _{2}-{\dot {}}\theta _{3}{\dot {}}r{}_{3}\sin \theta _{3}={\dot {}}r{}_{4}\cos \theta _{4}$

$Imaginario={\dot {}}\theta _{2}{\dot {}}r{}_{2}\cos \theta _{2}+{\dot {}}\theta _{3}r{}_{3}\cos \theta _{3}={\dot {r}}{}_{4}\sin \theta {4}$

Se organiza lo desconocido a un lado y lo desconocido al otro

$Real={\dot {}}r{}_{4}\cos _{4}+{\dot {}}\theta _{3}r{}_{3}\sin \theta _{3}=-{\dot {}}\theta _{2}r{}_{2}\sin \theta _{2}$

$Imaginario={\dot {}}r{}_{4}\sin \theta _{4}-{\dot {}}\theta _{3}r{}_{3}\cos \theta _{3}={\dot {}}\theta _{2}r{}_{2}\cos \theta _{2}$

${\begin{bmatrix}\cos \theta _{4}&r{}_{3}\sin \theta _{3}\\\sin \theta _{4}&-r{}_{3}\cos \theta _{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\dot {}}r{}_{4}\\{\dot {}}\theta _{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-{\dot {}}\theta _{2}r{}_{2}\sin \theta _{2}\\{\dot {}}\theta _{2}r{}_{2}\cos \theta _{2}\end{bmatrix}}$

Para Aceleración

$V\left(entrada\right)=y_{0}{\ddot {}}\theta _{2}=y_{0}$

${\ddot {}}R{}_{1}+{\ddot {}}R{}_{2}+{\ddot {}}R{}_{3}={\ddot {}}R{}_{4}$

$(ir{}_{2}{\ddot {\theta }}_{2}e^{i\theta _{2}}-r{}_{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}e^{i\theta _{2}})+(ir{}_{3}{\ddot {\theta }}_{3}e^{i\theta _{3}}-r{}_{3}{\dot {\theta }}_{3}^{2})={\ddot {r}}{}_{4}e^{i\theta _{4}}$

Cambio de variable

$\cos \theta _{n}=c_{n}$

$\sin \theta _{n}=s_{n}$

$ir{}_{2}{\ddot {\theta }}_{2}(c_{2}+is_{2})-r{}_{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}(c_{2}+is_{2})+r{}_{3}{\ddot {\theta }}_{3}(c_{3}+is_{3})-r{}_{3}{\dot {\theta }}_{3}^{2}(c_{3}+is_{3})={\ddot {r}}{}_{4}(c_{4}+is_{4})$

$Real=-r{}_{2}{\ddot {\theta }}_{2}s_{2}-r_{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}c_{2}-r{}_{3}{\ddot {\theta }}_{3}s_{3}-r{}_{3}{\dot {\theta }}_{3}c_{3}={\ddot {r}}{}_{4}c_{4}$

$Imaginario=(1)r{}_{2}{\ddot {\theta }}_{2}-r{}_{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}s_{2}+r{}_{3}{\ddot {\theta }}_{3}c_{3}-r{}_{3}{\dot {\theta }}_{3}^{2}s_{3}{\ddot {r}}{}_{4}c_{4}+r_{3}{\ddot {\theta }}_{3}s_{3}=-r{}_{2}{\ddot {\theta }}_{2}s_{2}-r{}_{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}c_{2}-r{}_{3}{\dot {\theta }}_{3}c_{3}$

$(2){\ddot {r}}{}_{4}s_{4}-r{}_{3}e{\ddot {\theta }}_{3}c_{3}=r{}_{2}{\ddot {\theta }}_{2}^{2}c_{2}-r{}_{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}s_{2}-r{}_{3}e{\dot {\theta }}_{3}^{2}s_{3}$

${\begin{bmatrix}r{}_{3}\cos \theta _{3}&\cos \theta _{4}\\-r{}_{3}\cos \theta _{3}&\sin \theta _{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\dot {\theta }}_{2}\\{\ddot {r}}{}_{4}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-r{}_{2}{\ddot {\theta }}_{2}s_{2}-r{}_{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}c_{2}-r{}_{3}{\dot {\theta }}_{3}^{2}c_{3}\\r{}_{2}{\ddot {\theta }}_{2}c_{2}-r{}_{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}s_{2}-r{}_{3}{\dot {\theta }}_{3}^{2}s_{3}\end{bmatrix}}$

Diseño de la solución

Visto ya el análisis matemático del mecanismo se implemento en base a Matlab un interfaz cuya finalidad es mostrar de manera gráfica y sencilla el comportamiento del mecanismo cuando se varían parámetros , es decir, el usuario puede variar ciertos parámetros y el programa resuelve el mecanismo con base en ellos arrojando posición velocidad y aceleración.

Para la solución del problema y diseño del programa que lo solucione, se elaboró un cronograma de actividades cuya ejecución garantiza la ejecución del proyecto de forma adecuada.

Descripción del software

El software desarrollado presenta cinco interfaces, la primera de bienvenida, luego una que se podría llamar la principal donde se piden los datos de entrada y tres mas es en la que se presentan los resultados en forma de gráficas.

* Manual de uso

Para usar el programa se da click sobre el botón de bienvenida que aparece en la interfaz de inicio, luego aparece una interfaz, que contiene una imagen que sirve como guía para ingresar los parámetros. Estos parámetros se ingresan en los recuadros correspondientes teniendo en cuenta las unidades que maneja el programa. Luego se da click sobre cualquiera de los botones, sobre los cuales dice la acción a ejecutar cuando se oprimen. El programa permite una interacción entre las interfaces todo el tiempo. Para eliminar los datos se da click sobre el botón eliminar y para salir se da click sobre el botón salir o se usa el comando Ctrl+S

Resultados

* Posición

* Velocidad

* Aceleración

Conclusiones y trabajo futuro

Es importante como ingenieros aprender a optimizar los recursos y la tecnología del medio, por lo cual es de vital importancia dominar los lenguajes de programación y aplicarlo a las diferentes disciplinas.

En el trabajo práctico se profundizan los conceptos teóricos y se descubren herramientas diferentes a las trabajadas dentro de las clases.

El programa permite de manera simple solucionar un mecanismo manivela-corredera, pero como trabajo a futuro se puede mejorar permitiendo trabajar con más unidades y haciendo la visualización del fenómeno mediante animaciones.

Referencias

http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

https://commons.wikimedia.org

Notas de clase Profesor Elkin Taborda, Escuela de Ingenierías UPB, Mecanismos 2

Notas de clase Profesor Raul Valencia, Escuela de Ingenierías UPB, Programación para ingenieros