ProgramacionIngenieriaMecanicaUPB:Grupo 1420 08

Integrantes

Juan Pablo Valderrama Mesa - Ingeniería mecánica
Mateo Rico Correa - Ingeniería mecánica

Introducción

El vaciado de tanques que contienen determinados líquidos es un tema que posee gran importancia en el ámbito ingenieril , debido a que para aquellas empresas y fabricas en las cuales es una necesidad el uso de tanques para portar, transportar o almacenar determinados líquidos es imprescindible tener el conocimiento y mas allá del conocimiento tener una herramienta que permita saber con que velocidad y cuanto tiempo tarda el determinado liquido en salir del tanque, todo esto de una manera rápida y eficiente que permita llegar a estar en capacidad de tener el control sobre estos tanques y poder operarlos con una mayor facilidad analizando aspectos que reducirían tiempo y costo.

Objetivo

El objetivo es crear un programa mediante Mathlab en el cual se puedan analizar los diferentes aspectos del vaciado de tanques y obtener como resultados numéricos las relaciones de tiempo, velocidad y cantidad de líquido; todo esto es posible por medio de sistemas matemáticos como ecuaciones diferenciales, derivación e integración.

El alcance que nos hemos propuesto en este proyecto es calcular estas relaciones no solo para tanques en forma de cilindros rectos, sino también para tanques con diferentes formas y diferentes orificios de salida, teniendo así variaciones considerables en las secciones de áreas transversales y así podernos acoplar a la necesidad o el caso que posea el usuario del programa.

Cronograma

Marco Teórico

Muchos problemas físicos dependen de alguna manera de la geometría. Uno de ellos es la salida de líquido de un tanque a través de un orificio situado al fondo del mismo. La forma geométrica del recipiente determina el comportamiento físico del líquido.

Considere un recipiente lleno de liquido hasta una altura h. Suponga que el liquido fluye a través de un orificio de sección transversal “a”, el cual está ubicado en la base del tanque. Se desea establecer la altura de líquido en el tanque en cualquier instante t y el tiempo que este demora en vaciarse. Sea h(t) la altura de líquido en el tanque en cualquier instante t y V(t) el volumen de liquido del tanque en ese instante. La velocidad v del liquido que sale a través del orificio es:

$v={\sqrt[{2}]{2gh}}$ (1)

Donde g es la gravedad. La ecuación (1) representa la velocidad que una gota de líquido adquiriría al caer libremente desde la superficie hasta el agujero.

En condiciones reales, hay que tomar en cuenta la contracción que sufre un chorro de liquido en un orificio, por lo que se tendrá

$v=c{\sqrt[{2}]{2gh}}$ (2)

Donde c es el coeficiente de descarga comprendido entre 0 y 1 ( 0 < c < 1). Según la Ley de Torricelli, la razón con la que el liquido sale por el agujero (variación del volumen de líquido en el tanque respecto del tiempo) se puede expresar como el área “a” del orificio de salida por la velocidad v del agua drenada, esto es

${dV \over dt}=-av$ (3)

Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (3)

${dV \over dt}=-ac{\sqrt[{2}]{2gh}}$ (4)

Si A(h) denota el área de la sección transversal horizontal del tanque a la altura h, aplicando el método del volumen por secciones transversales se obtiene por

$V=\int \limits _{0}^{h}A(h)dh$

Derivando respecto de t y aplicando el teorema fundamental del cálculo:

${dV \over dt}=A(h){dh \over dt}$ (5)

Comparando las ecuaciones (3) y (5)

$A(h){dh \over dt}=-ac{\sqrt[{2}]{2gh}}$ (6)

Sean h la altura de líquido en el tanque en cualquier instante t, a el área del orificio de salida el cual esta ubicado al fondo del tanque, g la gravedad, c el coeficiente de descarga y A(h) el área de la sección transversal del tanque. La ecuación diferencial asociada al problema de vaciado del tanque es

$A(h){dh \over dt}=-ac{\sqrt[{2}]{2gh}}$

Esta es una ecuación diferencial de variables separables, la cual al resolverse sujeta a la condición de conocer la altura inicial h(0) para el tiempo t=0, permite obtener la ley de variación de la altura de líquido en el tanque en función del tiempo. Si, además, hay aporte de líquido al tanque, la ecuación diferencial es

$A(h){dh \over dt}=Q-ac{\sqrt[{2}]{2gh}}$

Cálculo de secciones transversales para cada tipo de tanque

Cilindro circunferencial recto

$A=pi\times (radio)^{2}$

Cono circular recto

$A=pi\times ((radio/alturatotal)\times alturaparcial)^{2}$

Cubo

$A=lado\times lado$

Taza hemisferica

$A=pi(2\times radio\times altura-(altura)^{2})$

Cono truncado

$A=pi\times (altura/m+b)^{2}$

con m: pendiente b: intercepto

provenientes de la ecuación de una recta

Software

Para el desarrollo del software se utilizó matlab; trabajamos con la interfaz gráfica GUIDE. Para resolver las ecuaciones diferenciales (todas son de primer grado) utilizamos el metodo Runge Kutta, el comando 'ode45' especificamente. A continuación se muestran los resultados.

Portada

Resultado final

Software ejecutandose; el usuario ingresa las condiciones iniciales y el programa muestra una grafica de tiempo vs altura (donde se puede observar cuanto demora el tanque en vaciarse).

Conclusión

El software desarrollado puede ser usado para conocer cuanto tarda un tanque en vaciarse por completo. Es una aproximación no muy precisa, porque interpretamos los tanques con unas geometrias muy sencillas, sin detalles; pero si se requiere un analisis rápido, puede resultar muy util.