Integrantes

Mateo Moreno Cortés, Ingeniería mecánica.
Santiago Pélaez Puerta,Ingeniería mecánica.
Sebastián Caicedo Ocampo,Ingeniería mecánica.

Resumen

El principal objetivo de este proyecto es plantear y analizar la aproximación a los problemas de transferencia de calor que comprenden los conceptos y el análisis de métodos numéricos. Se hará uso del Matlab, herramienta que se utiliza para modelar y simular diferentes fenómenos expresados en modelos matemáticos de manera fácil y eficiente, además permite realizar el estudio y el análisis de modelos sin necesidad de escribir complejas ecuaciones matemáticas. Matlab facilita trabajar con gráficos y diagramas para simular la transferencia de calor en un ambiente especifico. El modelo que será analizado en este entorno de Matlab, será modelado con métodos numéricos vistos y aplicado en ecuaciones diferenciales elípticas con el propósito de tener una imagen visual de los resultados obtenidos de la resolución del problema inicialmente planteado y observar el comportamiento que tendrán para así, tener un acercamiento a la realidad que presentan estos problemas físicos en la ingeniería.

Introducción

La transferencia de calor es un fenómeno al cual el hombre se encuentra a diario con el, este es la transmisión de energía térmica al interior de un cuerpo u objeto. El análisis del problema se basa en la distribución de calor de una placa,es decir, principalmente se busca la simulación del fenómeno de transferencia de calor al interior de la placa, conociendo las diferentes temperaturas a la que se somete los bordes externos de esta(fronteras).

Marco teórico

En la transferencia de Calor se intercambia energía en forma de calor entre distintos cuerpos, o entre diferentes partes de un mismo cuerpo que están a distinta temperatura. El calor se puede transferir mediante convección, radiación o conducción:

Convección:Si existe una diferencia de temperatura en el interior de un líquido o un gas, es casi seguro que se producirá un movimiento del fluido. Este movimiento transfiere calor de una parte del fluido a otra por un proceso llamado convección.

Cuando un recipiente con agua se calienta, la capa de agua que está en el fondo recibe mayor calor (por el calor que se ha trasmitido por conducción a través de la cacerola); esto provoca que el volumen aumente y, por lo tanto, disminuya su densidad, provocando que esta capa de agua caliente se desplace hacia la parte superior del recipiente y parte del agua más fría baje hacia el fondo.

conducción:La conducción es una transferencia de calor entre los cuerpos sólidos.Los átomos o moléculas del extremo calentado por la llama, adquieren una mayor energía de agitación, la cual se trasmite de un átomo a otro, sin que estas partículas sufran ningún cambio de posición, aumentando entonces, la temperatura de esta región. Este proceso continúa a lo largo de la barra y después de cierto tiempo, la persona que sostiene el otro extremo percibirá una elevación de temperatura en ese lugar.

Existen conductores térmicos, como los metales, que son buenos conductores del calor, mientras que existen sustancias, como plumavit, corcho, aire, madera, hielo, lana, papel, etc., que son malos conductores térmicos (aislantes).

ENERGÍA INTERNA: Es toda la energía de un sistema que está asociada con sus componentes microscópicos, átomos y moléculas, cuando se ve desde un marco de referencia en reposo respecto al centro de masa del sistema.
CALOR: El calor se define como la transferencia de energía a través de la frontera de un sistema debido a la diferencia de temperatura entre el sistema y su entorno. Cuando calentamos una sustancia, a ella transferimos energía al ponerla en contacto con el entorno de una temperatura más alta.

Diseño de la solución

Principalmente para la solución del problema se trabajo con el método de ‘ecuaciones diferenciales parciales elípticas’, el cual permitirá conocer la temperatura en diferentes puntos de la placa o también puntos de red (nodos), a partir de unas temperaturas iniciales las cuales serán proporcionadas por el usuario al igual que las medidas de la placa que permitirán observar la simulación de distribución de calor al interior de dicha placa.

ECUACIÓN DE LAPLACE

${\frac {\partial ^{2}U(X,Y)}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U(X,Y)}{\partial y^{2}}}=f(X,Y)=0$ .

La cual luego de expandirse tomará la forma:

${\frac {1}{\Delta x^{2}}}{[U_{i-1,j}-2U_{i,j}+U_{i+1,j}]}+{\frac {1}{\Delta y^{2}}}{[U_{i,j-1}-2U_{i,j}+U_{i,j+1}]}=0$ .

Esta ecuación tiene como punto pivote a Ui,j y en torno a él al resto de puntos y de esta forma utilizar las condiciones de fronteras(temperaturas dadas por el usuario) donde sea apropiado en el sistema que producirá al pivotear la ecuación. De este modo se implemento una malla de 99 nodos, cada nodo tendrá una ecuación propia dependiendo de su ubicación. Con el objetivo de encontrar la temperatura en cada uno de los 99 nodos, con el sistema obtenido en las ecuaciones, se realiza el método de inversión de matrices para solucionarlo.

$X=A^{-1}\cdot B$ .

La matriz A es la matriz de coeficientes de tamaño 99x99 , B es un vector de constantes de tamaño 99x1 y X es un vector de incógnitas de tamaño 99x1.Lo siguiente a realizar es formular cada una de las ecuaciones aplicando la ecuación de laplace de este modo:

(ver figura )

Y de este modo lograr obtener la temperatura en cada uno de los nodos para dar paso a la simulación en MATLAB.

Descripción del software

Este programa analiza la transferencia de calor al interior de una placa conociendo la temperatura de sus fronteras. Para evaluar y ejecutar una solución se desarrolló el método de ecuaciones diferenciales elípticas.

El software se compone principalmente de tres botones:

Botón Calcular:Este botón tiene como función principal hallar internamente la temperatura a la que se encuentra sometido cada uno de los nodos, se debe tener en cuenta que el usuario es el que decide las medidas de la placa (ancho y largo), además, el usuario introduce la temperatura que afecta los extremos de la placa y posteriormente se ilustrará la gráfica de la placa en 3D y 2D simulando de este modo la distribución de energía presente en la placa.
Botón Limpiar:Lleva a cabo la limpieza del área de gráfico y las cajas de texto que permitirá al usuario introducir otras medidas y temperaturas que afectan la placa, así se podrá calcular nuevamente la distribución de energía presente en la placa.
Botón salir:Genera una caja de texto la cual de pregunta al usuario '¿desea salir?' y una opción en la cual el usuario puede elegir si desea salir de la interfaz o quedarse en ella calculando y graficando la distribución de energía de nuevas placas

Resultados

Por medio de este software se logra visualizar la simulación de distribucion de energía en las diferentes de una placa diseñada con las medidas y temperaturas del usuario, de este modo, se deja ver una imagen en 3D y 2D que permiten al usuario hacerse una idea de lo que ocurre durante el fenomeno.

Cronograma

En el siguiente cronogroma se puede observar de manera detallada la manera como se llevo a cabo el proceso de planteamiento y desarrollo del problema.

Fig 3 CRONOGRAMA

Referencias