ProgramacionIngenieriaMecanicaUPB:Grupo 1320 07

Integrantes

David Alejandro Zuleta Builes, Ingeniería Mecánica.
Juan Pablo Carvajal Cardona, Ingeniería Mecánica.

Resumen

En este artículo se analizará el comportamiento de la propagación de una onda esférica en diferentes medios en los cuales ésta se puede difundir. Además se hará un estudio comparativo de las aplicaciones y fenómenos reales en los cuales las ondas esféricas se presentan, a su vez, se analizarán las formas que pueden adquirir dichas ondas, tales como: ondas mecánicas y ondas luminosas esféricas.

Introducción y Planteamiento del Problema

La base de este artículo es un análisis descriptivo de la propagación de las ondas esféricas [1] mediante la solución de ecuaciones diferenciales. Este fenómeno es estudiando por la rama de la física de ondas llamada óptica [2], cuyo objetivo de estudio es el comportamiento de la radiación electromagnética, sus características y sus manifestaciones. En este trabajo se va a hacer énfasis en la óptica electromagnética.

Este artículo se desarrolla para aplicar el conocimiento adquirido en el curso de ecuaciones diferenciales, con el fin de observar la intervención de éste en la vida cotidiana, como lo es la descripción de un fenómeno físico; en este caso la propagación de las ondas esféricas.

Una onda electromagnética es la forma de propagación de la radiación electromagnética[3] a través del espacio. A diferencia de las ondas mecánicas, las ondas electromagnéticas no necesitan de un medio material para propagarse; es decir, pueden desplazarse por el vacío. Incluyen, entre otras, la luz visible y las ondas de radio, televisión y telefonía. Todas se propagan en el vacío a una velocidad constante, muy alta (300000000 m/s) pero no infinita, y desempeñan un papel central en la comprensión del funcionamiento de varios dispositivos, tales como: radios, televisores, motores eléctricos y aceleradores de alta energía. Todas las ondas transportan energía consigo misma en la dirección de su movimiento, pero no transportan materia . Es decir, la propagación de las ondas es un mecanismo que permite transportar energía entre dos puntos separados en el espacio (capacidad de realizar un trabajo, por ejemplo cambiar de canal en el televisor), sin alterar físicamente el material a través del cual se hace el transporte o la transmisión . Es esta característica notable lo que le da a las ondas tanta importancia en nuestras vidas, y por ello, es importante el estudio de su propagación y sus efectos en la vida real.

La ecuación que se utilizará para la descripción de este fenómeno es la ecuación de una onda tridimensional [4], sin embargo para darle una solución más simple a dicha ecuación, se realizará un cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas.[5] Las investigaciones anteriores a nuestro objeto de estudio abarcan el objetivo de desarrollo investigativo de la óptica, para nuestro caso la investigación se ve enfocada en el comportamiento de la propagación de las ondas esféricas en diferentes medios y sus aplicaciones, mediante la aplicación de la teoría de ecuaciones diferenciales.

Marco teórico

La ecuación de la onda esférica armónica está definida por:

$Y(r,t)=(A/r)cos{k}(r+vt)$

Donde la constante A se denomina intensidad de la fuente. Para cualquier valor fijo del tiempo, esto presenta una agrupación de esferas concéntricas que llenan todo el espacio. Cada frente de onda o superficie de onda constante, está dada por kr = constante. Observe que la amplitud de cualquier onda esférica está dada en función de r (distancia al centro emisor de la onda), donde el termino 1/r sirve como factor de atenuación. Las ondas esféricas disminuyen su amplitud cambiando su perfil al expandirse y alejarse del origen.

La velocidad de la onda está definida por v, donde v=c/n, c es la velocidad de propagación en el vacío suele aproximarse a 3•108 m/s y n el índice de refracción del material o el medio donde se propaga la onda.

La frecuencia de la onda está dada por la ecuación f=v/ λ , donde v es la velocidad y λ es la longitud de la onda, esta ecuación (f=v/ λ ) es valida solamente en un medio diferente al vacio.

El número de onda circular o número de onda angular, representado con la letra k, es una magnitud derivada del número de onda utilizada por razones de simplicidad en la ecuación que describe cómo vibra una onda, k está dada por k=2Π/λ

Diseño de la solución

La ecuación a trabajar es una ecuación de onda tridimensional. Partamos de una solución particular

$Y(x,y,z,t)=A*e^{i(k(\alpha _{x}+\beta _{y}+\gamma _{z})+w_{t}))}(1)$

Donde α,β y γ son los cosenos directores de k. En términos de sus componentes, obtenemos la magnitud del vector de propagación y por ende se tiene que:

$\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1(2)$

Con esto calculamos las derivadas parciales de la ecuación (1), y las sumamos para utilizar la ecuación(2) para obtener:

${\frac {d^{2}Y}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}Y}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}Y}{dz^{2}}}=-k^{2}Y(3)$

Combinando esto con la derivada del tiempo y recordando que v=w/k, se llega a:

${\frac {d^{2}Y}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}Y}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}Y}{dz^{2}}}=-1/v^{2}{\frac {d^{2}Y}{dt^{2}}}(4)$

Esta es la ecuación de onda tridimensional, por la simetría obvia de los frentes de onda (esferas concéntricas con diámetro creciente) es más conveniente realizar un cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas polares, para utilizar el método de separación de variables.

la ecuación diferencial de onda puede escribirse como

${\frac {d^{2}}{dr^{2}}}Y_{r}=1/v^{2}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}Y_{r}(5)$

Esta es la ecuación que obtenemos para hacer separación de variables

Tendremos las siguientes condiciones iniciales:

$u(1,t)=0,u(R,t)=0,1<r<R,t>0(6)$

$u(r,0)=f{x},{\frac {du}{dt}}|t=0=g{x},1<r<R(7)$

Con la suposición usual de que:

$u(r,t)=X(r)T(t)(8)$

De la ecuaciónes obtenidas con las condiciones de frontera anteriormente mencionadas, el único valor del parámetro λ para que no nos den soluciones triviales es λ=a^2, a>0, con las condiciones de fronteras X(0) =0 y X(R)=0 indican que C1=0 y 〖C2 sin(〗⁡〖aR)〗=0.

Por tanto la primera solución seria:

$X(r)=C2sin((n\pi /R)r),n=1,2,3,4,..(9)$

La solución general de la ecuación de segundo orden es:

$T(t)=C3cos((n\pi a/R)t)+C4sin((n\pi a/R)t)(10)$

Reescribiendo C2*C3 como An y C2*C4 como Bn, las ecuaciones que satisfacen tanto a la ecuación de onda y a las condiciones de frontera, y ademas haciendo nπ/R=k y nπa/R=ω para utilizar el teorema de adición de ángulos,específicamente la identidad trigonométrica del coseno de la diferencia ,se obtiene:

$Y(r,t)=(A/r)cos(kr-w_{t})(11)$

Descripción del software

El programa modela la intensidad de una onda con respecto al radio con un tiempo especifico ingresado por el usuario. Con esta modelación el interfaz le pide al usuario que ingrese los datos de la frecuencia,tiempo, lambda y intensidad de la fuente. Adicional a esto nos muestra otra figura en 3D donde podemos ver la variación de la intensidad a medida que varia le tiempo y que varia el radio.

Resultados

Al analizar las gráficas y observar el comportamiento de la propagación de la onda en los distintos medios (vacío, agua, vidrio) con sus respectivos índices de refracción, se puede ver que el cambio. Del comportamiento de la propagación de la onda en el agua y en el vidrio no es muy pronunciado, es decir, no se amortigua a una menor distancia como en el vacío. Esto se debe a que los índices de refracción son muy aproximados .

Sin embargo, se puede observar cómo en el vacío la propagación de la onda recibe un mayor amortiguamiento por parte del medio, y tarda un poco más en alcanzar aquella estabilización .A medida que la onda esférica recorre mayor distancia tiende a convertirse en una onda plana. Se puede observar además que la gráfica 5 que se propaga en el vacio es inversa a la gráfica 6 que se propaga en el agua, esto se debe a la variación en la índices de refracción: vacío: 1 y agua: 1.33 con igual longitud de onda en ambos medios.

En las gráficas 1,2,3 y 4 se puede trazar una envolvente que acota el comportamiento de la onda esférica en cada medio de propagación , mientras que en la gráfica 5 y 6 el comportamiento de la gráfica es irregular, por lo tanto, no hay un patrón de amortiguamiento definido..

Conclusiones y trabajo futuro

1) Cuando una onda electromagnética penetra en un medio material, ya sea líquido, solido o gaseoso, su longitud de onda se ve reducida proporcionalmente al índice de refracción del medio al cual acaba de penetrar.

2) Para la ecuación que describe el comportamiento de propagación de una onda esférica su radio en un instante t debe ser mayor a cero, de lo contrario se generaría una indeterminación.

cronograma

3) A medida que aumenta la distancia de propagación la onda esférica tiende a convertirse en una onda plana, esto se evidencia al trazar una curva envolvente sobre la ecuación de propagación, la cual al tender al infinito se hace una función constante.

4)El índice de refracción es inversamente proporcional a la amortiguación.

5)La longitud de onda se ve reducida de forma proporcional al índice de refracción n según el medio de propagación.

Referencias

[1].Thompson .J. H, (1979).Óptica. México: Editorial Limusa

[2].Young. H.D. (1980).Fundamentos de óptica y física moderna. Libros Mc Graw-Hill.

[3]zajac .A/Hecht .E (1977). Óptica. México: Fondo educativo interamericano S.A

[4]Rodríguez .García .J (1998). Fundamentos de óptica ondulatoria. Universidad de Oviedo.

[5] B. Leigthon. W(1987). Geometría descriptiva. Reverte