ProgramacionIngenieriaMecanicaUPB:Grupo 1320 03

Integrantes

Sebastian Torres Londoño, Ing. Mecanica

Resumen

La transferencia de calor es una parte importante de la mayoría de las disciplinas de la ingeniería, ya que diversos procesos de la vida cotidiana generan calor que se transfiere. La transferencia de calor puede afectar a diversas aplicaciones de ingeniería si no se es trabajada adecuadamente.

La transferencia de calor es el proceso por el que se intercambia energía en forma de calor entre distintos cuerpos, o entre diferentes partes de un mismo cuerpo que están a distintas temperaturas. Tomando la conducción y la convección como mecanismos de transferencia de calor se modela la ecuación que rige el fenómeno de superficies extendidas (aletas) para encontrar los perfiles de temperatura que se encuentran en dicho sistema.

También la utilización de métodos numéricos es trascendental para poder desarrollar las ecuaciones diferenciales, que pueden ser ecuaciones matemáticas para funciones de una o varias variables que no han sido determinadas. Estas ecuaciones diferenciales juegan un papel importante en la ingeniería y la física. Esto implica un gran número de cálculos que sin la ayuda de los lenguajes de programación como MATLAB serian complicados para evaluar las diversas ecuaciones.

Introducción

En el presente trabajo se analiza el modelo matemático de un mecanismo de transferencia de calor por medio de conducción y convección, la cual se modela por medio de una aleta de sección transversal constante de régimen estacionario unidimensional.

Analizando la distribución de la temperatura de una barra, se determina la evolución de la temperatura de un punto x de la barra, utilizando la conducción de la energía calorífica, la cual se basa en la razón de flujo de calor y la distribución de la temperatura. Empleando como método de modelación las superficies extendidas como son las aletas, partiendo del flujo de calor por conducción y por actividad de convección.

Regido principalmente por la ley de la conducción de calor de Fourier en que la conducción del calor se establece siempre que exista un gradiente o un diferencial de temperaturas en diferentes puntos de una barra y al mismo tiempo por la ley de enfriamiento de newton en el que se modela la velocidad de transferencia de calor por medio de la conducción y convección entre la superficie en la que se encuentra.

Para analizar el problema de la conducción del calor a lo largo de una barra se establecerán temperaturas fijas en los extremos de la barra y una temperatura ambiente que actuara la convección, modelando una aleta de sección transversal constante de régimen estacionaria unidimensional.

Cronograma

Marco teórico

Cuando se habla de calor se define como la energía cinética total de todos los átomos o moléculas de una sustancia y la temperatura como la medida de la energía cinética promedio de los átomos y moléculas individuales de una sustancia. Cuando se agrega calor a una sustancia, sus átomos o moléculas se mueven más rápido y su temperatura se eleva, o viceversa [1].

El calor se asocia con la energía interna cinética y potencial de un sistema (movimiento molecular aparentemente desorganizado) [1]. El calor siempre fluye desde una región con temperatura más alta hacia otra región con temperatura más baja. La transferencia o dispersión del calor puede ocurrir a través de tres mecanismos posibles, conducción, convección y radiación, en el que se trabajara solo conducción y convección, ya que se analiza la transferencia de calor en un solido que esta sometido a un ambiente determinado [2][3].

La conducción se efectúa cuando se calienta un extremo de una barra, de forma que aumente su temperatura, el calor se transmite hasta el extremo más frío por conducción. No se comprende en su totalidad el mecanismo exacto de la conducción de calor en los sólidos, pero se cree que se debe, en parte, al movimiento de los electrones libres que transportan energía cuando existe una diferencia de temperatura. Esta teoría explica por qué los buenos conductores eléctricos también tienden a ser buenos conductores del calor [2].

Las moléculas y los electrones libres de la fracción de un sistema con temperatura alta vibran con más intensidad que las moléculas de otras regiones del mismo sistema o de otros sistemas en contacto con temperaturas más bajas. Las moléculas con una velocidad más alta chocan con las moléculas menos excitadas y transfieren parte de su energía a las moléculas con menos energía en las regiones más frías del sistema. Las moléculas que absorben el excedente de energía también adquirirán una mayor velocidad vibratoria y generarán más calor [1].

La conducción está determinada por la ley de Fourier, la cual establece que la tasa de transferencia de calor por conducción en una dirección dada, es proporcional al área normal a la dirección del flujo de calor y al gradiente de temperatura en esa dirección. Para un flujo estacionario unidimensional de calor se tiene [5][7]:

  $q_{x}=-kA{\frac {dT}{dx}}$  

$q$= Flujo de calor $[{\frac {W}{m^{2}}}]$.

$k$= es una constante de proporcionalidad (conductividad térmica) $[{\frac {W}{mK}}]$.

$A$= área transversal (área de conducción) $[K]$.

$T$= temperatura $[K]$.

En la convección se analiza el flujo de calor mediante corrientes dentro de un fluido. Cuando el fluido se calienta, sus moléculas se separan y se dispersan, causando que la masa del fluido llegue a ser menos densa. Cuando llega a ser menos denso se desplazará hacia arriba u horizontalmente hacia una región fría, mientras que las masas menos calientes, pero más densas, del fluido descenderán o se moverán en un sentido opuesto al del movimiento de la masa más caliente[1][3].

Las razones de flujo de calor tratan de la demanda de energía en un sistema dado, cuando se requiere una distribución de temperaturas conveniente para diseñar de manera adecuada el sistema, desde el punto de vista de los materiales.

Una vez que es conocida la distribución de la temperatura es posible determinar las razones de flujo de calor con ayuda de la denominada Ley de Fourier [3].

La transferencia de calor por convección se expresa con la Ley del Enfriamiento de Newton:

  $q_{x}=h(T_{s}-T_{\inf })$

$q$= Flujo de calor $[{\frac {W}{m^{2}}}]$.

$h$ es el coeficiente de convección (coeficiente de película) $[{\frac {W}{m^{2}K}}]$.

$T_{s}$ es la temperatura en la superficie del cuerpo $[K]$.

$T_{\inf }$ es la temperatura del fluido lejos del cuerpo $[K]$.

Para analizar la ecuación en la que se desarrollara la transferencia de calor se trabajo por medio de superficies extendidas (aletas), siendo un sistema que combina la conducción y la convección.

Un disipador se utiliza para extraer calor y enviarlo mediante superficies extendidas hacia el aire, lo cual es necesario que el material sea eficiente para transferir calor. las siguientes imágenes muestran dos tipos de disipadores de calor que están compuestos por superficies extendidas (aletas).

Diseño de la solución

Para realizar la ecuación de este mecanismo de transferencia de calor se utiliza la ley de la conducción de calor de Fourier para encontrar el calor transferido por medio de la conducción a una determinada distancia.

Al mismo tiempo para que se cumpla la convección se utiliza la ley de enfriamiento de newton para un ambiente determinado donde la mayor parte del calor ganado por la atmósfera por conducción cerca de la superficie, es transportado a otras capas o niveles de la atmósfera por convección [5].

En la siguiente imágenes se muestra la ecuación que rige la transferencia de calor en una superficie extendida [4]:

De acuerdo a la imagen anterior y sabiendo que se analiza una aleta aguja de sección constante, se soluciona el problema de transferencia de calor por medio del método numérico de diferencias finitas centradas, la ecuación diferencial parcial de la transferencia de calor se convierte en un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias, con el fin de encontrar la ecuación característica para cada nodo y así encontrar los perfiles de temperatura en una aleta unidimensional.

Por ultimo y de gran importancia es el uso de un nodo ficticio que permite simplificar algunas operaciones, asegurando que cualquier nodo siempre tenga un “primer y último” nodo.

la ecuaciones que rigen la superficie extendida (aleta aguja) es la siguiente:

    ${\frac {d^{2}T}{dx^{2}}}-({\frac {hP}{KA_{c}}})(T-T_{a})=0$

sabiendo que: ${\frac {d^{2}T}{dx^{2}}}={\frac {T_{i+1}-2T_{i}+T_{i-1}}{\Delta _{x}^{2}}}\$

se reemplaza y la ecuación queda de la siguiente manera:

$[{\frac {T_{i+1}-2T_{i}+T_{i-1}}{\Delta _{x}^{2}}}]-({\frac {hP}{KA_{c}}})(Ti-T_{a})=0$

Las Condiciones de frontera que rigen este problema son:

-$X=0$

$T=T$ inicial

-$X=L$

$-K{\frac {dT}{dx}}=h(T-T_{a})$

sabiendo que:

${\frac {dT}{dx}}=({\frac {T_{i+1}-T_{i-1}}{2\Delta _{x}}})\$

Reemplazamos

  $-k({\frac {T_{i+1}-T_{i-1}}{2\Delta _{x}}})-h(Ti)=-h(T_{a})$

Para el dominio se utiliza la siguiente ecuación:

${\frac {d^{2}T}{dx^{2}}}-({\frac {hP}{KA_{c}}})(T-T_{a})=0$

la cual queda de la siguiente manera:

  $[{\frac {T_{i+1}-2Ti+T_{i-1}}{\Delta _{x}^{2}}}]-({\frac {hP}{KA_{c}}})(Ti)=-({\frac {hP}{KA_{c}}})(T_{a})$

siendo:  :$\Delta _{x}={\frac {L}{N-2}}$

donde:

$N=$ numero de nodo

$L=$ longitud de la barra

Descripción del software

El programa analiza la transferencia de calor en una superficie extendida (aleta aguja). Se desarrolla el modelo matemático por medio del método de las diferencias finitas centradas con nodo ficticio.

Interfazp

Manual de uso

En la parte izquierda de la interfaz se encuentra el espacio el cual el usuario debe de ingresa los datos para efectuar el calculo de la distribución de la temperatura en una superficie extendida.

El usuario podrá elegir una variedad de materiales, con el cual el puede verificar la eficiencia de la conducción del material elegido.

El botón calcular acciona automáticamente la gráfica la cual muestra la distribución de la temperatura a lo largo de la aleta.

En la parte derecha abajo de la gráfica, hay una zona la cual permite que el usuario interpole la temperatura la cual quiera identificar dependiendo de la distancia que ingrese. solo sirve para identificar la temperatura según la distancia dada. el botón R efectúa la interpolación.

El botón borrar sirve para eliminar los datos almacenados en la zona izquierda la cual el usuario digita para efectuar el calculo, pero toda la zona derecha de la interfaz quedara para que el usuario la pueda ver así halla borrado los datos de entrada.

Resultados

-La temperatura de la sección transversal de la aleta desciende exponencialmente con respecto a la temperatura ambiente a medida que la distancia aumenta.

-Entre más pequeño sea el radio la temperatura se estabilizara más rápido con respecto a la temperatura ambiente.

-La disipación de calor por convección es mayor cuando se aumenta el h que es el coeficiente de convección y también cuando se aumenta el área convectiva.

-La conducción de calor depende mucho del valor de conductividad térmica que tiene el material a utilizar.

-las gráficas obtenidas muestran que la transferencia de calor es mejor cuando se utiliza una menor longitud y cuando se utiliza un radio mayor.

-Cuando la aleta tiene una longitud larga, a una determinada distancia la temperatura de la aleta será igual a la del ambiente, esto ocurre en el caso de una aleta infinita.

Conclusiones y trabajo futuro

- La transferencia de calor es una parte importante de la mayoría de las disciplinas científicas y de ingeniería, ya que generan calor que se transfiere de más caliente a lugares más fríos.

- La transferencia de calor entre el metal y el aire resulta menos eficaz que desde el líquido al metal, por lo que se utilizan las aletas para aumentar la superficie global y compensar así el menor rendimiento metal-aire, se utilizan las aletas para mejor la transferencia de calor incrementando el área de convección.

- El método de diferencias finitas implica un gran número de cálculos difíciles de realizar sin las computadoras, lo cual los ingenieros y los físicos utilizan los lenguajes de programación como MATLAB para evaluar las diversas ecuaciones. La cual MATLAB es un lenguaje de programación y un entorno interactivo diseñado para realizar cálculos muy intensos.

- Las ecuaciones diferenciales juegan un papel importante en la ingeniería y la física, ya que describen fenómenos y por medio de estas se pueden modelar matemáticamente para dar una explicación científica a este.

- El comportamiento de la ecuación se ajusta a lo esperado teóricamente y experimental.

- La transferencia de calor es un campo muy importante tanto en la ciencia como en la ingeniería, lo cual programas como este ayudan a un estudio con mayor confiabilidad, ya que el desarrollo matemático y numérico es muy exacto, y también este puede ser un gran inicio a diversas situaciones y problemas mas robustos que pueden ser útiles en el desarrollo humano frente a todo tipo de estudio que tenga que ver con la transferencia de calor.

Referencias

[1]-http://www.biocab.org/Transferencia_Calor.html

[2]-Frank p. Incropera, David P. DeWitt./ Fundamentos de transferencia de calor.

[3]-JP Holman/ Transferencia de calor

[4]-http://es.scribd.com/doc/22495362/Superficies-extendidas

[5]-https://es.wikipedia.org/wiki/Transferencia_de_calor

[6]-http://www.upv.es/entidades/DTRA/infoweb/dtra/info/U0296617.pdf

[7]- Yunus A. Cengel/ Transferencia de calor.