Programación de Ingeniería Mecánica UPB:Grupo 1410 05

Integrantes

• Jhonatan Aristizábal Marín - Estudiante de Ingeniería Mecánica
• Ismael Mosquera Torres - Estudiante de Ingeniería Mecánica
• Alejandra Pérez Lopera - Estudiante de Ingeniería Mecánica

Resumen

Este proyecto analiza el cálculo del esfuerzo torsionante y las deformaciones en piezas de sección circular maciza. Aquí se encontrará con una pequeña teoría del tema de torsión y posteriormente un estudio más profundo sobre las fórmulas empleadas para el cálculo del esfuerzo torsionante , el torque, el momento polar de inercia, el ángulo de torsión, entre otras, que son aplicadas para secciones circulares macizas; y se finalizará con la implementación de éstos cálculos en un programa de Matlab. Esto se logrará mediante el uso de su herramienta de interfaz de usuario, que le permitirá calcular de una manera fácil y sencilla la deformación generada en la probeta o el esfuerzo de torsión aplicado, según sea el caso.

Introducción

La torsión es el resultado de aplicar un momento a un material sobre su eje longitudinal. Esta se caracteriza geométricamente porque cualquier curva formada paralela al eje de la pieza, deja de estar contenida en el plano natural de la geometría del elemento, logrando notarse como una curva paralela al eje que se retuerce alrededor de él.

La torsión en sí se refiere a un desplazamiento circular de una determinada sección transversal de un elemento cuando se aplica sobre éste un momento torsor o una fuerza que produce un momento torsionante alrededor del eje. La torsión se puede medir observando la deformación que produce en un objeto determinado.

Por medio de este proyecto se podrá analizar cada una de las características de los tipos de torsión existente, algunas de las secciones transversales más adecuadas para trabajar la torsión y finalmente se profundizará en las tensiones y deformaciones en piezas de sección transversal maciza circular, cuyas fórmulas serán implementadas en una interfaz de Matlab, que permitirá al usuario calcular el ángulo de torsión o el esfuerzo torsionante de acuerdo a la geometría de las piezas a ensayar, sin tener que repetir manual y repetitivamente los cálculos al tener probetas de diferentes longitudes, radios, materiales, etc.

Cronograma

A continuación se presenta el cronograma de las actividades que se desarrollaron en este proyecto final, dutante el primer semestre de 2014

Marco teórico

Torsión es la solicitación que se presenta cuando se aplica un momento sobre el eje longitudinal de un elemento. La torsión se caracteriza geométricamente porque cualquier curva paralela al eje de la pieza deja de estar contenida en el plano formado inicialmente por las dos curvas.

Tipos de torsión

1) Torsión Uniforme: Se dice que una barra trabaja a torsión uniforme cuando se cumplen las dos condiciones siguientes: el esfuerzo presente es un Momento Torsor, que es constante a lo largo de ella y además los extremos de la barra pueden torsionarse libremente.

En la torsión uniforme, dado que la deformación que se produce es la misma en todas las secciones, se podrá afirmar que las tensiones normales serán cero (σx = 0), y sólo dará lugar a tensiones cortantes: τ.

2) Torsión no uniforme: Se dirá que la torsión no es uniforme cuando no se cumplan algunas de las dos condiciones anteriores.

En la torsión no uniforme, la deformación posible de las diferentes secciones no será la misma, por lo que se producirán tensiones normales: σx y tensiones cortantes: τ.

Secciones más adecuadas para trabajar a torsión

En las piezas a torsión cabe distinguir dos tipos: el de las piezas cuya función principal es la transmisión de un par torsor, sólo o combinado con esfuerzos de flexión o axiales, (es el caso de piezas usadas principalmente en las máquinas como los ejes) y el de piezas en las cuales la torsión es un efecto secundario indeseable (es el caso, no muy frecuente, de algunas piezas de estructuras de edificación, como las vigas carril o las correas en fachadas laterales).

Las piezas correspondientes al primer tipo indicado, se proyectan con secciones macizas de gran espesor o cerradas de pequeño espesor.

1) Secciones de gran espesor (Macizas):

2) Secciones cerradas de pequeño espesor:

Tensiones y deformaciones en piezas de sección transversal circular maciza

Considerese una pieza de sección circular maciza y sea T el momento torsor en una de las secciones:

La deformación angular es el resultado de la acción de las tensiones cortantes que actúan sobre las caras laterales de la probeta. El valor de estas deformaciones se podrá obtener a partir de la Ley de Hooke:

$\theta ={\frac {TL}{JG}}$

Donde $\theta \;$ es el ángulo de torsión, $T$ es el Torque, $L$ la londitud de la probeta, $J$ el momento polar de inercia y $G$, es el módulo de cortante del mateial.

Esta ecuación indica que: "en una sección circular, las tensiones cortantes τ producidas por el Momento Torsor T, son proporcionales a la distancia r al centro de la misma y perpendiculares al vector de posición r". Así pues, la distribución de tensiones cortantes en una sección circular será la que se indica a continuación:

Las ecuación utilizada para el cálculo del esfuerzo torsionante es:

$\tau ={\frac {TC}{J}}$

Donde $\tau \;$ es el esfuerzo torsionante, $T$ es el Torque, $C$ es el radio de la sección transversal y $J$ el momento polar de inercia

Para el cálculo de la potencia, se usa la siguiente ecuación:

$P=T*w$

Donde $P$ es la potencia del motor, $T$ es el Torque y $w$ es la velocidad angular igual a:

$w=2\pi *f$

Observación: Estas fórmulas son también aplicables a las barras de sección circular hueca, pero para este proyecto, sólo se hará énfasis en las barras macizas. Además, las fórmulas obtenidas para las tensiones y las deformaciones serán válidas tanto para el caso de Torsión Uniforme como para la Torsión no Uniforme.

Diseño de la solución

Debido a la gran importancia que tiene en la Ingeniería Mecánica todo el estudio de la resistencia de los materiales, y especialmente, todo el análisis de esfuerzos de torsión, flexión, compresión, etc. se decidió tomar como modelo matemático en el desarrollo del software las siguientes ecuaciones, espefícicas para probetas de sección circular maciza:

$\theta ={\frac {TL}{JG}}$

$\tau ={\frac {TC}{J}}$

Al ser una probeta de sección circular maciza, el momento polar de inercia debe calcularse con la siguiente ecuación:

$J={\frac {\pi }{32}}(D^{4})$

Donde $D^{4}$ es el diámetro de la probeta circular.

Esto se desarrolla con el fin de evitar cálculos repetitivos cuando se desean obtener esfuerzos torsionantes, ya que sólo con el cambio de material de la probeta, la longitud o el radio de la misma,etc. los resultados son completamente diferentes, lo que supone que un ingeniero deba hacer los cálculos repetidas veces, de acuerdo a su necesidad.

Para poder adecuar estas fórmulas a la solución que se planteaba para el problema, se decide primero enfocarla a probetas macizas, como ya se mencionó anteriormente y, adicional, se dispone el programa para que el usuario tenga dos métodos para obtener su resultado final:

1) Conociendo el ángulo de deformación: De este modo, el usuario ingresa el valor del ángulo y las características geométricas del material, y obtiene como resultados el torque y el esfuerzo cortante a torsión.

2) Conociendo el torque aplicado a la probeta: Así, el usuario ingresa el valor del torque y nuevamente las características geométricas de la probeta y obtiene como resultados, el ángulo de deformación y el esfuerzo cortante a torsión.

Descripción del software

El software desarrollado consiste en una interfaz gráfica que tiene un modo de uso muy fácil y amigable. Tiene dos opciones para calcular el esfuerzo cortante a torsión: conociendo el ángulo de deformación o conociendo el torque aplicado.

Es importante aclarar que para el correcto uso y la acertividad en los resultados, el usuario debe conocer el material de la probeta que enyasa, y suministrar, además de la información geométrica de esta, el módulo de cortante correspondiente al tipo de material.

Como se muestra en las siguientes imágenes, el software para el cálculo de torsión en probetas circulares comienza preguntando al usuario qué desea hallar: el torque o el álgulo. Además, el usuario puede seleccionar en el manú desplegable, las unidades en que desea trabajar.De acuerdo a la información que se conozca, el usuario debe seleccionar una de estas dos opciones:

1) Hallar el ángulo de deformación

Al seleccionar esta opción, inmediatamente el usuario puede ver que el campo para editar el valor del ángulo se bloqueda y debe proceder a ingresar los valores de los campos siguientes: Torque, Longitud de la probeta, Radio y Módulo de cortante.

2) Hallar el Torque aplicado

Si el usuario desea hallar el valor del torque, también puede notar que el campo para editar este valor se bloquea y sólo quedan habilitados los campos de: ángulo de deformación, Longitud de la probeta, radio y Módulo de cortante.

Para continuar, el usuario debe dar clic en el botón Calcular e inmediatamente obtendrá los resultados esperados.

Resultados

Los resultados obtenidos son de acuerdo a la opción seleccionada por el usuario.

* Para la opción 1, los resultados obtenidos son:

En esta imagen se puede evidenciar que al ingresar el valor del torque, se obtiene el valor de deformación angular y el esfuerzo torsionante. Además, el programa lanza la gráfica de esfuerzo vs. la deformación aplicada

* Para la opción 2, los resultados obtenidos son:

En esta imagen se puede evidenciar que al ingresar el valor del ángulo, el usuario obtiene el valor del torque aplicado y el esfuerzo torsionante. El programa también muestra al usuario la gráfica del ángulo calculado vs. la longitud de la probeta

Conclusiones y trabajo futuro

Conclusiones

• Este proyecto permitió profundizar un poco más en los conocimientos adquiridos en Mecánica de Materiales y en la aplicación de las ecuaciones vistas en esta clase durante el semestre, sobre todo en el tema de torsión.

• La realización de este trabajo permitió poner a prueba la creatividad, cambiar un poco la metodología de evaluación de la materia de Programación y enfrentarnos al diseño de una wiki, algo que podemos aplicar bastante en estos días. Esta actividad fue fundamental para recordar el diseño de interfaces en Matlab y además aplicarlas a páginas wiki de uso diario.

• Este proyecto fortalece la parte creativa e incentiva a la mejora del software diseñado, de forma que se pueda simplificar más adelante los métodos de estudios y el cálculo de esta información tan importante en el área de la Ingeniería Mecánica.

Trabajo futuro

• Mejora en el software que permita al usuario seleccionar el material que usa en su probeta, y que automáticamente el sistema selecciones el módulo de cortante de dicho material; de esta forma, el usuario no tendrá que hacer una búsqueda previa de esta información en otro sistema, sino que todo lo encuentra en un solo sitio.

• Otra mejora que se puede realizar al programa, es que el usuario pueda seleccionar diferentes tipos de probetas: circilar maciza, circular hueca, cúbica y/o rectangular, con espesor delgado, etc.

• La interfaz también puede ser mejorada con la incorporación de un campo que muestre la vista de la probeta, de acuerdo a la información geométrica ingresada por el usuario

Referencias

Santo Domingo, Jaime. Capítulo 8, Torsión. E.P.S. - Zamora - (U.SAL.) - 2008

https://es.wikipedia.org/wiki/Torsi%C3%B3n_mec%C3%A1nica