Números naturales/Potenciación

Lección 6

Potenciación

La potenciación es la forma abreviada de escribir varias multiplicaciones consecutivas donde todos los factores son iguales. Si $a$ y $n$ son números naturales, la potenciación de « $a$ a la $n$ » se define como la multiplicación de repetida del número $a$ un total de $n$ veces:

$a^{n}=\underbrace {a\times a\times ...\times a} _{\text{«n» factores iguales a «a»}}=b$

El resultado de la operación se llama potencia, el factor se llama base y la cantidad de veces que hay que multiplicarlo se llama exponente. La operación se denota colocando el exponente en un superíndice junto a la base de la siguiente forma:

$\underbrace {a} _{\text{Base}}\overbrace {{\text{ }}^{b}} ^{\text{Exponente}}\underbrace {=} _{\text{Igualdad}}\overbrace {c} ^{\text{Potencia}}$

Los siguientes ejemplos nos permiten ver la relación entre las multiplicaciones sucesivas y las correspondientes operaciones de potenciación:

$5\times 5\times 5=5^{3}=125$
$3\times 3\times 3\times 3=3^{4}=81$
$11\times 11=11^{2}=121$

Cuadrados y cubos perfectos

Cuando el exponente de la operación es igual a $2$ se dice que la base se eleva al cuadrado. A los números que son el resultado (potencia) de elevar una base al cuadrado se les llama cuadrados perfectos.

$196$ es un cuadrado perfecto porque es el resultado de elevar el número 14 al cuadrado:

$14^{2}=196$

Si el exponente es igual a $3$ , se dice que la base se eleva al cubo y a la potencia (resultado) se le llama cubo perfecto.

$729$ es un cubo perfecto porque es el resultado de elevar el número 9 al cubo:

$9^{3}=729$

Exponentes especiales: 0 y 1

La potenciación en el conjunto de los números naturales tiene varios casos especiales:

Cuando el exponente es igual a 1, el resultado de la operación siempre es igual a la base.

Si $a\in \mathbb {N}$ , entonces $a^{1}=a$

Por ejemplo:

$0^{1}=0$
$1^{1}=1$
$2^{1}=2$
$3^{1}=3$
$10^{1}=10$
$47^{1}=47$

Cuando el exponente es igual a 0 y la base es diferente de 0, el resultado de la operación siempre es igual a 1.

Si $a\in \mathbb {N}$ y $a\neq 0$ , entonces $a^{0}=1$

Por ejempo:

$1^{0}=1$
$2^{0}=1$
$3^{0}=1$
$10^{0}=1$
$47^{0}=1$

La operación $0^{0}$ no está definida en $\mathbb {N}$ . Es decir, su resultado no corresponde a ningún número natural.

Leyes de potencias

Las leyes de potencias, o leyes de exponentes, son reglas que usan las propiedades de las diferentes operaciones matemáticas para manipular las operaciones en la que hay potencias involucradas. Su propósito es ayudarnos a resolver las operaciones donde participan potencias.

A continuación puedes ver las diferentes leyes de potencias, su fórmula general y un ejemplo ilustrativo.

Nombre	Regla	Ejemplo
Potencia de una multiplicación	$(a\times b)^{m}=a^{m}\times b^{m}$	$(5\times 8)^{4}=5^{4}\times 8^{4}$
Potencia de una división	$(a\div b)^{m}=a^{m}\div b^{m}$ O en forma de fracción: $\left({\frac {a}{b}}\right)^{m}={\frac {a^{m}}{b^{m}}}$	$\left({\frac {35}{5}}\right)^{3}={\frac {35^{3}}{5^{3}}}$
Potencia de una potencia	$(a^{m})^{n}=a^{m\times n}$	$(5^{2})^{3}=5^{2\times 3}=5^{6}$
Multiplicación de potencias de igual base	$a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$	$3^{4}\times 3^{3}=3^{4+3}=3^{7}$
División de potencias de igual base	$a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$ O en forma de fracción: ${\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}$	${\frac {7^{7}}{7^{5}}}=7^{7-5}=7^{2}$

La división de potencias de igual base solo tiene solución en el conjunto de los números naturales ( $\mathbb {N}$ ) cuando el exponente en el numerador es mayor o igual al exponente en el denominador ( $m\geq n$ ). Los casos en los que el exponente en el denominador es mayor al exponente en el numerador ( $m<n$ ) no tienen solución en $\mathbb {N}$ pero se pueden resolver usando el conjunto de los números enteros ( $\mathbb {Z}$ ).

Los siguientes ejemplos nos permiten ver las leyes de potencias en acción. Es necesario tener en cuenta que en las operaciones combinadas, las potencias se calculan antes que las otras operaciones, a menos que estas se encuentren agrupadas con paréntesis.

Potencia de una multiplicación:
$99^{3}=(9\times 11)^{3}=9^{3}\times 11^{3}=729\times 1331=970299$

Potencia de una división
${\frac {75^{5}}{25^{5}}}=\left({\frac {75}{25}}\right)^{5}=3^{5}=243$

Potencia de una potencia:
$(4^{2})^{3}=4^{6}=4096$

Multiplicación de potencias de igual base:
$3^{8}=3^{5+3}=3^{5}\times 3^{3}=243\times 27=6561$

División de potencias de igual base:
$\left({\frac {13^{11}}{13^{10}}}\right)=13^{11-10}=13^{1}=13$

En algunos de los ejemplos anteriores puedes ver que es válido aplicar las leyes de potencias en ambas direcciones por tratarse de igualdades. La dirección que usemos será la que nos permita modificar las operaciones en las que estamos trabajando para que sean más fáciles de resolver.

Resumen de la lección

La potenciación es la forma abreviada de escribir varias multiplicaciones consecutivas donde todos los factores son iguales.
El resultado de la operación se llama potencia, el factor se llama base y la cantidad de veces que hay que multiplicarlo se llama exponente.
Si el exponente es igual a «2», se dice que la base se eleva al cuadrado y el resultado se llama «cuadrado perfecto».
Si el exponente es igual a «3», se dice que la base se eleva al cubo y el resultado se llama «cubo perfecto».
Cuando el exponente es igual a 1, el resultado de la operación siempre es igual a la base.
Cuando el exponente es igual a 0 y la base es diferente de 0, el resultado de la operación siempre es igual a 1.
La operación $0^{0}$ no está definida en el conjunto de los números naturales.
Las leyes de potencias nos ayudan a resolver operaciones matemáticas donde hay potencias.

Términos clave

Lecturas adicionales

Matemáticas > Aritmética > Potenciación en Wikilibros.

Khan Academy > Introducción a la notación científica

Bibliografía

Buján, Victor; Vargas, Gillermo (1975). Matemática. Séptimo año. Conjuntos, naturales, enteros (1.ª edición). San José, Costa Rica: Editorial S. O. F. O. S., S. A. p. 239.
Ramos, Francisco (2010). Aritmética. Teoría y práctica. Colección Signos (1.ª edición). Lima, Perú: Empresa Editora Macro. p. 510. ISBN 9786124034909.
Valverde Cervantes, Anthony, ed. (2017). Matemática 7. Puentes del Saber (1.ª edición). San José, Costa Rica: Santillana. p. 272. ISBN 9789930527276.
Barrantes, Hugo (2014). Matemática básica para administración (1.ª edición). San José, Costa Rica: EUNED. p. 440. ISBN 978-9968-31-718-4.

Proyecto: Números naturales

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