Mecánica Lagrangiana

Según la mecánica de Newton, dado un sistema de partículas, éste puede solucionarse dinámicamente planteando las ecuaciones $\mathbf {F_{i}} =m_{i}\mathbf {a_{i}}$ para cada partícula, con lo que se obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales. En primera instancia, puede pensarse que la resolución de este sistema es únicamente un problema matemático, por lo que la cuestión está resuelta desde un punto de vista físico. Sin embargo, como veremos, esto no es generalmente cierto, por diferentes razones.

Obtención de las ecuaciones de Lagrange a partir del principio de D'Alembert

Ligaduras

Denominamos ligadura a una restricción del movimiento de una partícula o sistema de partículas. Una partícula libre está exenta de ligaduras. Si imponemos que dicha partícula debe realizar su movimiento sobre una superficie, o siguiendo una determinada trayectoria (helicoidal o circular, por ejemplo) estamos imponiendo ligaduras al sistema. Las ligaduras pueden clasificarse de muy diversas formas, siendo el convenio que utilizaremos el siguiente: si las condiciones de ligadura pueden expresarse en forma de ecuaciones sobre las coordenadas de las partículas y el tiempo, esto es, en la forma

$f(\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,...,\mathbf {r_{N}} ,t)=0$

diremos que las ligaduras son holónomas. En caso contrario, la ligadura se denomina no holónoma. Un ejemplo de ligadura no holónoma es aquel en el que la ecuación es una desigualdad, por ejemplo, cuando una partícula resbala sobre la parte de superior de una esfera, debido a que, llegado a un punto, la partícula se separa de la superficie de ésta, por lo que no se cumple que el movimiento de la partícula esté restringido a su superficie. Por otra parte, una ligadura se denomina esclerónoma si no depende explícitamente del tiempo, y reónoma si se verifica lo contrario.

Estudiemos el efecto de imponer a nuestro sistema una ligadura holónoma. En primer lugar, supongamos una partícula libre bajo la acción de la gravedad. Mediante la ley de Newton, obtenemos un sistema de ecuaciones con tres incógnitas independientes, que son precisamente las coordenadas de la partícula en el espacio tridimensional. A continuación, consideremos que esta misma partícula se encuentra sobre un plano indeformable (en reposo en un sistema inercial) que se coloca de forma que el campo gravitatorio es perpendicular a éste. De la aplicación de la ley de Newton a la partícula, obtendremos un sistema de ecuaciones en el cual aparece, además de la fuerza de la gravedad, conocida, un nuevo término que representa la fuerza de reacción del alambre sobre la cuenta, desconocida a priori. Esto es, esta fuerza es una incógnita cuya expresión conoceremos una vez resuelto el problema. Nuestras tres incógnitas del problema son, esta vez, las coordenadas de la partícula en el plano y la fuerza que éste ejerce sobre ella.

Si nuestro objetivo es conocer las ecuaciones de movimiento, sólo necesitamos conocer las coordenadas de la partícula en el plano. Esto es, al imponer la ligadura al sistema, las coordenadas que debemos especificar se han reducido en número, si bien el número de incógnitas en el sistema sigue siendo el mismo. El objetivo de la formulación de Lagrange es aprovechar esa disminución de la dimensión del problema, eliminando las fuerzas de ligadura de la formulación.

Desplazamiento virtual y desplazamiento real

Consideremos un sistema de N partículas en un sistema de referencia cartesiano, siendo $\mathbf {r_{i}}$ sus vectores de posición. Denominamos desplazamiento virtual infinitesimal al cambio de configuración del sistema debido a una modificación infinitesimal arbitraria de sus coordenadas, $\delta \mathbf {r_{i}}$, compatible con las fuerzas y ligaduras impuestas al sistema en el instante t. Se denomina virtual para diferenciarlo del desplazamiento real del sistema, $d\mathbf {r_{i}}$, que tiene lugar en un intervalo de tiempo dt.