Matemáticas aplicadas al medio ambiente

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Las matemáticas pueden proporcionar algunas claves para la comprensión de las relaciones entre el ser humano y su entorno.

Explotación de un recurso

Si por recurso entendemos algo que nos proporciona alguna utilidad, puede darse el caso de que exista algún recurso cuya naturaleza sea limitada, y en algún caso, cuantificable. La utilidad que se obtiene del uso de ese recurso puede ser también que se de el caso de que sea observable.

Consideremos un primer caso, en el que podemos percibir la utilidad extraida del recurso, pero no podemos cuantificar el recurso en sí, aunque sabemos que es limitado. A la utilidad obtenida la designamos con la variable "x", que estudiaremos en su relación con respecto al tiempo "t".

¿Qué cantidad de utilidad podemos extraer de un recurso?

Ejemplo 1. Un bidón de agua sin aportes y con un grifo regulable en la base.

El recurso en este caso es el agua y la utilidad puede ser el bebérnosla o el usarla para limpiar o para refrescarnos. La cantidad de utilidad ("x") que podemos obtener está, al no haber aportes, estrictamente limitada. Cuando hallamos gastado toda el agua del bidón, se habrá acabado la posibilidad de seguir extrayéndole ninguna utilidad más en ese sentido. La cantidad de utilidad que podamos obtener en cada momento "x(t)" depende de lo que hagamos con el grifo: podemos mantenerlo abierto mínimamente con lo que habrá un determinado periodo de tiempo con nivel de utilidad (el agua que sale a ritmo lento), o podemos hacer uso intermitente, además de otras muchas opciones. Estas pueden ser dibujadas en una gráfica de utilidad ("x") frente a tiempo ("t").

Ejemplo 2. Un bidón de agua con un aporte de 1 litro por minuto proveniente de un riachuelo de agua limpia, y con un grifo regulable en la base.

Igualmente en este segundo caso el recurso es el agua contenida en el bidón. En este caso al haber un aporte decimos que se trata de un "recurso renovable". La utilidad que podemos extraer en este caso está también "limitada" pero en un sentido diferente al del caso anterior, en el que cuando se agotaba el agua, ya no podíamos seguir extrayéndola. En este caso el agua no se acaba nunca, ya que sigue siendo aportada contínuamente por el riachuelo, pero lo que si puede estar limitada es la cantidad de ella que podemos usar en un momento dado.

Así que imaginemos que queremos hacer algún uso desmedido, como por ejemplo, lavar un coche. Le colocamos una manguera en la boca al grifo, y como el bidón está bastante elevado, el agua sale a la cantidad que deseemos regular mediante el grifo. Abrimos y abrimos más y más el grifo...

¿Cuál será la forma en la que fluya el agua a lo largo del tiempo?

Hay una cierta cantidad de agua que está contenida en el bidón y que correrá hasta que se agote, a partir de ese momento ya no correrá más agua que la que es capaz de proporcionar la fuente de renovación proveniente del riachuelo, es decir, en este caso ese 1 litro por minuto. De las tres gráficas reproducidas a la derecha, puede que la forma en la que se obtiene la utilidad en este ejemplo se corresponda o bien con la rotulada como "curva real" (en el caso de que no abramos el grifo con una gran velocidad), o bien con la rotulada como "curva posible", si somos tan hábiles como para abrir el grifo tan rápidamente que saquemos del bidón el golpe de agua bruscamente hasta que se agote lo almacenado y se vuelva que la cantidad que repone la fuente de renovación. La tercera curva propuesta, rotulada como "curva probable" se correspondería con el caso en el que nuestro manejo de todo el sistema (bidón, grifo, aporte al bidón desde el riachuelo) se diera de una manera tal que lo destrozáramos, sacándole toda el agua (la utilidad) pero de una manera tal que deshiciéramos su integridad funcional, de manera que no pudiera seguir suministrando ya utilidad apenas.

La primera curva referida se parece mucho a la del modelo de Verhulst para determinados valores de sus parámetros.

${\dot {x}}=rx(1-{x \over K})$

donde

${\dot {x}}$ es la variación en el tiempo de la extracción de utilidad del recurso,

$x$ es la utilidad extraida del recurso en un determinado instante t,

$r$ es una tasa que caracteriza la estrategia de extracción del recurso, y

$K$ es el nivel de máxima explotación sostenible del recurso.

Éste es un modelo clásico elaborado para la demografía y cuya interpretación proporciona algunas claves básicas: al respecto fundamentalmente de la consideración de sus parámetros "r" y "K", que tienen profundas connotaciones en la teoría ecológica.