Matemática II(UNI)

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El contenido de este curso viene definida por el reglamento de la Universidad Nacional de Ingeniería(UNI)(Perú):

  • Geometría
  • Trigonometría

Nociones básicas[editar]

Figura geométrica[editar]

Los primeros estudios rigurosos realizados en el campo de la geometría datan del 300 a.C. en la obra Los elementos asociada a Euclides cuya abstracción y metodología usada es aún hoy vigente.

Generalizando se puede definir figura geométrica como aquella que puede determinarse mediante puntos del plano o del espacio.

Ejemplo de figuras geométricas básicas

  • Punto.
  • Rectas o porciones de las mismas definidas por puntos.
  • Circunferencias o porciones de las mismas definida por puntos.
  • Cualquier gráfica.
  • Plano o porciones del mismo definidas por o mediante las figuras anteriores.

También se puede definir figura geométrica como cualquier combinación de las anteriores figuras geométricas.

Representación, definiciones y notaciones[editar]

La representación y nominación de las figuras geométricas vienen estilizadas, en contra de los usos y ausencias de convenios en la Geometría, como:

El punto[editar]

Axioma

El punto es el elemento que no puede ser dividido en partes.[1]

PuntosAfínHorz.svg

Representado como un punto y entendida como un elemento sin extensión.[2]

Su denominación se hace mediante letras mayúsculas: A, B, C, D, E, F, G, H, ...

Diremos que dos puntos son iguales o coincidentes si son el mismo punto.

La recta[editar]

Definición

La recta es el conjunto de puntos que forman una línea recta que se extiende indefinidamente en dos orientaciones opuestas.

Su representación debería ser una infinidad de puntos describiendo una línea recta que se extiende infinitamente es decir sin extremos pero debido a las limitaciones y costumbres locales se hace mediante un segmento con flechas en cada extremo para indicar su continuidad indefinida.[3]

NotaciónRecta.svg

Notación: se hace mediante una "L" estilizada de una forma muy peculiar y seguida de subíndices a diferencia de la usada en el resto del mundo y es decir letras minúsculas:

L1

Una segunda nominación de la recta se hace mediante dos puntos y un símbolo que emula una recta:[4]

Ya que:

Axioma

Por dos puntos cualesquiera pasa una única recta.


Diremos que dos rectas son coincidentes cuando es o se habla de la misma recta.

Diremos que dos rectas son paralelas cuando comparten las mismas orientaciones.

  • Si dos rectas paralelas comparten un punto diremos que son coincidentes.

Notación: para indicar que dos rectas son paralelas se usan dos segmentos verticales y paralelos entre ambos nombres: L1 || L2, o L1

El plano[editar]

Representada como un paralelogramo y su nombre en letra mayúscula encerrada con un arco.

Notación: se usa la misma letra mayúscula seguida de un paralelogramo pequeño.

El segmento[editar]

Es una figura geométrica rectilínea que entendida como porción de una recta, delimitada por dos puntos, tiene la definición siguiente:

Definición

Un segmento, de una recta, es el conjunto de todos los puntos situados entre dos puntos dados cualesquiera de dicha recta.[5]

  • El par de puntos que define cada segmento se llaman extremos del segmento.
  • Todo segmento queda univocamente determinado por sus dos extremos.

Representado por una porción de recta con principio y fin, es decir, que une dos puntos.

Notación: Dado un segmento de extremos A y B, entonces se notará como

Longitud del segmento[editar]

Para medir longitudes se utilizan unidades de distancia establecidas previamente, podemos definirla como:

Definición

La longitud de un segmento es la distancia entre sus dos extremos.[6]

El valor de medida de la longitud de se representa como o simplemente usando una letra minúscula: a, b, c, ...

  • Para indicar la igualdad entre medidas de segmentos puede usarse un mismo distintivo centrado en los lados afectados y evitando la superposición de los mismos, dichos distintivos pueden presentarse como: uno o más segmentos perpendiculares a los lados afectados, círculos, cuadrados o rectángulos entre otros, con diferentes rellenos.

El rayo[editar]

Es una figura geométrica rectilínea que entendida como una de las dos partes en que un punto divide a una recta, tiene la definición geométrica siguiente:

Definición

Un rayo, de una recta, es el conjunto de todos los puntos situados a un mismo lado de un punto sobre dicha recta.[7]

  • El punto que determina el rayo se llama extremo.
  • Todo rayo solo tiene un extremo.
  • Se puede decir que el rayo se extiende hacia el infinito con un mismo rumbo u orientación

Llamaremos rayo opuesto al que con el mismo extremo se extiende en la otra orientación de la misma recta.

Notación: Dado el origen A y un punto cualquiera B de un rayo, entonces lo notaremos por

Ejercicios[editar]

Puntos sobre recta 001.svg
1. Dados tres puntos consecutivos A, B y C sobre una misma recta, se tiene que la medida del segmento c= es de 55 metros, y a= es de 11 metros.
¿Cuantos metros tiene b=?. Solución: 
Como a+b=c, al aislar b, se obtiene que b=c-a, por tanto b=55-11, es decir, c=44 metros.
2. Dado el ejercicio anterior con b=18 metros y a=b.
¿Como se llama el punto B?. ¿Cuantos metros tiene c?. Solución: 
El punto B se llama punto medio de A y C, por que equidista a dichos puntos, es decir, que la longitud de A a B es la misma que la de B a C. La longitud de c es de 36 metros, pues es la suma de ambas distancias.
3. Dado el ejercicio inicial, si b es 5 veces más grande que a.
¿Como lo representamos? Solución: 
Se escribe como b = 5a y se representa como:
Puntos sobre recta 002.svg
4. Dado el ejercicio inicial, nos dicen que 3a=2b.
¿Como lo representamos? Solución: 
Se busca mcm(3,2)=6 y se crea las ecuaciones 6d=3a y 6d=2b, es decir, 2d=a y 3d=b, es decir que se puede representar como:
Puntos sobre recta 003.svg

Véase que es cuestión de intercambiar los papeles de las constantes, aunque el mcm es más optimo.

Ángulos[editar]

En esta sección se detallan definiciones, propiedades, ejercicios y estrategias para trabajar con los ángulos.

El ángulo[editar]

Es una figura geométrica plana, entendida como dos rayos que comparten un mismo origen:

  • El origen o punto en común se llama vértice.
  • Los rayos son llamados lados.

Si esta fuera realmente la definición estricta del ángulo, entonces un triángulo no tendría ángulos por estar formado de segmentos y no de rayos.

Al entender el ángulo, como un concepto "local"[8] al punto que comparten los dos rayos, aparecen diversos tipos de ángulos combinando rectas, rayos, segmentos y arcos de circunferencia arbitrariamente a los cuales llamaremos lados indistintamente.

VariedadDeÁngulos.svg
ÁnguloBásico.svg

Notación: Un ángulo queda determinado por tres puntos, en el orden siguiente de la imagen, donde es el vértice y por tanto ocupa la parte central.[9]

Gráficamente para indicar el ángulo tratado, se hace con un arco de circunferencia centrada en el vértice y que transcurre por el interior del ángulo, y el nombre centrado delante del arco.

Medida del ángulo[editar]

Dado un ángulo, al considerar que un lado está fijo y el otro tiene un movimiento de rotación articulado en su vértice, permite definir diferentes unidades de medidas de angulares, dividiendo una vuelta en diferentes partes, la más común son los grados sexagesimales.

1 vuelta = 360 grados.
vuelta = 90 grado(un ángulo recto).

Notación: La medida de un ángulo se indica con una m delante del mismo y su valor se puede llamar a su vez por una letra griega:, , , ,

  • Para indicar la igualdad entre medidas angulares puede usarse un mismo distintivo centrado en los arcos de los ángulos afectados y evitando la superposición de los mismos, dichos distintivos pueden presentarse como: multiples arcos angulares, uno o más segmentos perpendiculares a arcos de los ángulos, círculos, cuadrados o rectángulos entre otros, con diferentes rellenos y sobre los arcos de los ángulos afectados.

Clasificación de los ángulos[editar]

Considerando los ángulos menores que 180º tenemos la siguiente clasificación

Según su medida
Ángulo agudo si es
Ángulo recto si es
Ángulo obtuso si es

Ángulos consecutivos[editar]

Dos ángulos son consecutivos si comparten el vértice y un lado.

Ángulos adyacentes[editar]

Se dice de los ángulos consecutivos que están a distinto lado del lado común.[10]

Ángulos complementarios[editar]

Dos ángulos son mutuamente complementarios si sus medidas suman 90º.

  • En estos casos diremos que un ángulo es el complemento del otro o complementario al otro.
  • No es obligatorio que sean consecutivos.

Ángulos suplementarios[editar]

Dos ángulos son mutuamente suplementarios si sus medidas suman 180º.

  • En estos casos diremos que un ángulo es el suplemento del otro o suplementario al otro.
  • No es obligatorio que sean consecutivos.

Ejercicios[editar]

ÁnguloConsecutivos.svg
1. Dada la representación de ángulos adjunta, se tiene que y
¿Cuantos grados mide ? Solución: 
Como , entonces aislando , es decir, y por tanto .
2. Dado el ejercicio anterior con y .
¿Como se llama el rayo ¿Cuantos grados tiene Solución: 
Dicho rayo se llama bisectriz del ángulo que mide
3. Dado el ejercicio inicial, si es 2 veces más grande que .
¿como lo representamos? Solución: 
Se escribe:
ÁnguloConsecutivos2.svg
4. Dado el ejercicio inicial, nos dicen que .
¿como lo representamos? Solución: 
Igual que en los ejercicios de segmentos, se tiene que el mcm(3,2)=6 y resulta que y , representable como:
ÁnguloConsecutivos3.svg
5. Nos dicen que y que ¿como lo representamos?
Ángulos consecutivos 1.svg
¿Como se llama el rayo respecto <BAD? Solución: 
Se tiene que el mcm(2,3,5)=30 como se repite las ecuaciones deberían ser , simplificando resulta que , y
Ángulos consecutivos 2.svg

Véase que comparando podemos deducir los valores de

El rayo es la bisectriz de <BAD.

Ángulos opuestos por el vértice[editar]

Ángulos opuestos.svg

Diremos dos ángulos son mutuamente opuestos por el vértice un ángulo y el ángulo formado por los rayos opuestos del primero.

Supongamos que sus medidas son y , entonces se cumple que:

Para ir de las medidas de <EAC hasta <BAD, ambos de 180º, tenemos que restarle la medida y sumarle a la medida del primero, resultando:
180º-=180º

al simplificar se tiene que

El uso trigonométrico del ángulo puede dar una definición más general en cuanto a medidas de ángulo se refiere, por ejemplo, un ángulo de no tiene sentido en geometría, pues tal medida coincide con el concepto de línea recta y es decir que no tiene ángulo por ser recta. Luego también se tiene el concepto de orientación del ángulo que, en trigonometría, es la orientación horaria(negativa) y anti horaria(positiva) y para medir se tiene que fijar el lado a partir del cual se empieza a medir.

En la práctica viendo el ángulo como el giro o desviación de un cuerpo sobre una recta, podemos simplificar muchos problemas, véase las interpretaciones geométricas equivalentes:

Ángulos y desvios2.svg Ángulos y desvios3.svg Ángulos y desvios1.svg

Ejercicios[editar]

Ángulos opuestos y contiguos.svg
1. Dada la representación de ángulos adjunta.
¿Como se llama el rayo respecto de <CAD?, ¿que valor tiene ? Solución: 
Este es un buen ejemplo de como mediante ángulos opuestos se consigue ocultar la naturaleza del ejercicio. Lo primero es usar dicho método de ángulos opuestos para expresar todos los ángulos en un solo lado de la recta definida por A y C, luego claramente a lado y lado del rayo se tienen ángulos consecutivos cuya suma de medidas es y por tanto se trata de una bisectriz, al considerar <CAD como un ángulo de 180º se tiene que:
= 90º.
Rumbo de avión.svg
2. Un avión(en azul) ejecuta diferentes correcciones de su nuevo rumbo(en rojo).
¿Qué ángulo hay entre los rumbos definidos por las rectas L1 y L2? Solución: 
Solo tenemos que leer los ángulos y su orientación(horario o anti horario, o también izquierda o derecha). Al hacer la lectura de cada corrección se tiene:

Del cual podemos simplificar por tener lectura opuesta y resulta por tanto que la desviación total es 80º.

Ángulos de una secante a dos rectas[editar]

El interés recae en la secante a dos rectas sobre la cual aparecen dos vértices para distintos ángulos. Se prioriza el uso de secante a dos rectas paralelas pues si no son paralelas aparece un triángulo del cual ya se hablará en profundidad después.

RectaQueCorta1.svg

Ángulos internos Son los ángulos que quedan comprendidos entre las dos rectas paralelas.

Ángulos externos Son los ángulos que no son internos.

Los siguiente ángulos no comparten vértice:

Ángulos alternos internos[editar]

Son los ángulos que quedan comprendidos entre las dos rectas paralelas y a distinto lado de la secante.

Ángulos alternos externos[editar]

Son los ángulos que no son internos y quedan a distinto lado de la secante.

Ángulos correspondientes[editar]

Son los ángulos que a un mismo lado de la secante, uno es externo y el otro interno.

Véase que el caso de recta secante a otras dos paralelas solo aparecen dos únicas medidas angulares que son suplementarias, esto permite saltar de unas rectas a otras que son sus paralelas cómodamente.

Ejercicios[editar]

Figura 1
Figura 2
1. Un automóvil circula con dirección L0, luego gira a la derecha y toma la dirección L2, y luego con un giro a la izquierda se incorpora en una calle con dirección L1. Si nos dicen que y que L0 L1.
¿que valor tiene ? Solución: 
Como el automóvil mantiene la dirección, es decir la desviación es es de esperar que es decir, y por tanto
2. Un automóvil circula con dirección L0, luego gira a la izquierda y toma la dirección L2 en retroceso, y luego con un giro a la derecha se incorpora en una calle con dirección L1. Si nos dicen que y que L0 L1.
¿Que valor tiene ? Solución: 
Lo mismo que antes, la desviación total es por tanto
Rectas paralelas ejercicio 0.svg
3. Un ejercicio de maniobras navales para un barco carguero, obliga al capitán a realizar una serie de giros para evitar obstaculos y seguir con el rumbo inicial, es decir que L0 L1, se le pregunta al capitán previamente:
¿Que diferencia hay entre y , y si ello depende de la medida ? Solución: 
Rápidamente vemos que como el barco carguero mantiene el rumbo, entonces:

Y simplificando queda , por tanto independientemente de su medida y no depende de .

Rectas paralelas ejercicio 1.svg
4. Dados dos pares de rectas paralelas, es decir, L0 L2 y L1 L3, si .
¿Que valor tiene y cuales son los pasos lógicos? Solución: 
Facilmente al prolongar L0 L3 vemos que, por simples ángulos corespondientes, podemos pasar medidas angulares de un cruce a otro y por tanto

Triángulos[editar]

Triángulo geométrico 01.svg

Un triángulo son 3 puntos no colineales unidos mediante segmentos.

  • A los 3 puntos se les llama vértice:
A, B y C
  • A sus 3 segmentos se les llama lados:
, y
  • Diremos que un vértice y un lado son opuestos si no están uno al lado del otro:
opuesto de C, de A y de B.
  • Tiene 3 ángulos internos definidos por los lados contiguos, uno en cada vértice.
, y
  • Tiene 3 ángulos externos definidos por cada lado y la prolongación del contiguo, uno en cada vértice.
, y

Propiedades angulares del triángulo[editar]

Las siguiente propiedades se demuestran rápidamente con el método aprendido en la sección de ángulos.

Propiedades: Dado un triángulo se tiene:

  • La suma de la medida de los ángulos internos es 180º.
  • La suma de la medida de dos ángulos internos menos la del externo no adyacente es 0º.
  • La suma de la medida de dos ángulos externos menos la del interno no adyacente es 180º.
  • La suma de la medida de los ángulos externos es 360º.

Tipos de triángulos[editar]

Clasificación según la medida de sus lados:

  • Un triángulo es equilátero si tiene todos sus lados de igual medida.
  • Un triángulo es isósceles si tiene dos lados de igual medida.
  • Un triángulo es escaleno si no tiene lados de igual medida.

Clasificación según la medida de sus ángulos:

  • Un triángulo es acutángulo si tiene todos sus ángulos agudos.
  • Un triángulo es rectángulo si tiene un ángulo recto.
  • Un triángulo es obtusángulo si tiene un ángulo obtuso.
Triángulo equilátero isósceles escaleno
acutángulo Triángulo para tabla 01.svg Triángulo para tabla 02.svg Triángulo para tabla 05.svg
rectángulo Triángulo para tabla 03.svg Triángulo para tabla 06.svg
obtusángulo Triángulo para tabla 04.svg Triángulo para tabla 07.svg

Axiomas[editar]

  1. Dos rectas si se cortan, lo hacen en un único punto.
  2. Por dos puntos diferentes pasa una única recta.
  3. La línea recta tiene la longitud más corta entre dos puntos.
  4. Dado un punto sobre una recta y la medida de un ángulo, entonces el segundo lado del ángulo quedan determidados de forma única.

De estos axiomas se derivan las siguientes propiedades interesantes a nivel investigativo para la sección de congruencias. En resumen se persigue garantizar que un triángulo construido con los mismos datos sea el mismo.

Propiedades: En un triángulo se cumplen:

1. La desigualdad triangular:[11]
, y Demostración: 
Se demuestran con el axioma de forma trivial, de hecho son equivalentes.
2. La desigualdades:
, y Demostración: 
Se demuestra con la propiedad anterior.

Y así para el resto de casos.

3. Dado un triángulo mediante un lado y dos ángulos, entonces:
El tercer vértice queda determinado de forma única. Demostración: 
Dado cualquier par de ángulos de un triángulo se tiene el tercero(propiedad angular 1), aunque será conocido como ángulo-lado-ángulo(ALA) también podría ser AAL perfectamente.[12]

Se toma el segmento dado, por el axioma, se construyen los ángulos que tiene en los extremos y por el axioma el nuevo par de lados, si no son paralelos, se cortan en un único vértice que es lo que se buscaba.

4. Dado un triángulo mediante dos lados y el ángulo que forman, entonces:
El tercer lado queda determinado de forma única. Demostración: 
Se construye el ángulo con dichos lados y luego aplico el axioma que dice que por los extremos no comunes de los lados solo pasa una única recta que es lo que se buscaba.
Postulado LAL 0.svg

Será conocido como LAL.

5. Dado un triángulo, entonces:
Se tienen dos lados iguales si y solo si se tienen dos ángulos iguales. Demostración: 
Supongamos que se tienen dos lados igulaes, AB=BC, para cualquier ángulo , por la propiedad 4 el triángulo será único. Véase que para probar que solo tenemos que cosntruir un ángulo sobre el otro para ver que estos coinciden.
Diremos por tanto que a lados iguales se oponen ángulos iguales.

Supongamos ahora que se tiene dos ángulos iguales , para cualquier lado , por la propiedad 3, el triángulo será único. Véase que para probar que AB=BC, solo tendremos que construir, como antes, un ángulo sobre el otro para ver que estos coinciden.

Diremos por tanto que a ángulos iguales se oponen lados iguales.
6. Dado un triángulo por medio de las 3 longitudes de sus lados, entonces:
Queremos ver que a partir de un lado es posible determinar de forma única el vértice opuesto, según la disposición deseada. Demostración: 
Al construir los mismos triángulos, y , a ambos lados del segmento AC, podemos unir con un nuevo segmento los dos vértices B y B' que aparecen, formando dos triángulos de isosceles y por tanto en los dos aplico la anterior propiedad 5. Directamente y por la propiedad 4 tenemos que el triángulo tiene el vértice B determinado de forma única.

Simetrías[editar]

Sección de ejercicios mentales, las demostraciones se muestran como curiosidad para profesores, no son necesarias para el alumno ya que muchas son sencillamente intuitivas, por tanto solo se tiene que visualizar las simetrías mentalmente.

Definiciones[editar]

  • Llamaremos mediatriz de un segmento a la recta que se extiende perpendicularmente a dicho segmento, seccionándolo en su punto medio.
  • El eje de simetría de dos puntos es el conjunto de todos los puntos que equidistan a ambos puntos.

Propiedades[editar]

1. El eje de simetría de dos puntos es la mediatriz del segmento formado por dichos puntos.
Mediatriz = Eje de simetría Demostración: 
Sea H la intersección entre la mediatriz con el segmento que definen los puntos A y B, es decir, su punto medio y por tanto del eje. Sea P un punto cualquiera de la mediatriz distinto de H, entonces, obsérvese que y tienen dos lados y el ángulo entre ellos de la misma medida y por tanto AP=BP.

Observaciones:

Supongamos que tenemos un punto Q fuera de la mediatriz y veremos que no es del eje buscado: La mediatriz divide al plano en dos lados, supongamos que Q está en el mismo lado que el punto B, por lo que secciona o corta a la mediatriz en un punto que llamaremos P. Se tiene:

AP=BP, por tanto AP+PQ=BP+PQ, pero por desigualdad triangular PB+PQ>QB.

Como AP+PQ=AQ resulta entonces que AQ>QB y por tanto el punto Q no es del eje de simetría.

Hallar una simetría de una figura geométrica consistirá en encontrar el eje de simetría, es decir los puntos de recta que equidistan a cada punto de la figura analizada y su punto simétrico.

  • Se omitirá la simetría que pueda ter los conjuntos de puntos colineales(alineados) por la recta que los contiene.
  • Un ángulo tiene un eje de simetría que pasa por su vértice y contiene la bisectriz.
  • Se puede considerar que una circunferencia tiene infinitos ejes de simetría y todos pasan por el centro de la misma.
  • Se puede considerar que dos rectas paralelas tienen infinitos ejes de simetría perpendiculares a las mismas y un solo eje de simetría paralelo a dichas dos rectas y que transcurre entre ellas.

Ejercicios[editar]

Polígonos[editar]

Notas[editar]

  1. Este axioma figura en Los elementos, pero es más antiguo, ya que aparece con naturalidad en los escritos de las discusiones de las paradojas de Zenon como el de La dicotomía.
  2. La representación de un punto como el elemento que tiene en común dos rectas que se cortan es la más recomendada y adecuada en áreas como el dibujo técnico.
  3. En diversos escritos y fuentes extranjeras la notación gráfica de una recta es mayoritariamente una simple linea recta.
  4. Hay geometrías no euclídeas el las que por dos puntos hay tantas rectas como se quieran, como en la geometría esférica al tomar dos puntos antipodales.
  5. Aunque precisa sigue siendo una definición poco usada, lo normal en textos matemáticos puede ser algo como: donde donde es la recta sobre la que se intenta definir un segmento con A y B.
  6. La definición de distancia es lo primero que se hace para establecer longitudes o magnitudes, estas pueden tener distintas notaciones según el área de las matemáticas que se estudie: d(A,B) o .
  7. El nombre académico más conocido y usado es el de semirrecta habiendo dos tipos principalmente, una abierta y otra cerrada. El uso actual puede ser del tipo para el caso cerrado y para el caso abierto.
  8. Aquí local es usado como sinónimo de proximidad o cercanía en este caso al punto compartido por los dos rayos
  9. La orientación del ángulo también es importante para la trigonometría, para distinguir el sentido horario del anti horario . Otras notaciones también son válidas en otros textos como e incluso cuando no hay posibilidad de equivocarse.
  10. Hay importantes referencias en inglés y español que indican la obligatoriedad de que los lados no comunes pertenezcan a una recta, es decir, sean rayos opuestos de una recta. Pero hay otras referencias en francés que solo requieren un lado común y la intersección de las regiones angulares ha de ser dicho lado común.
  11. Para espacios métricos la desigualdad triangular no es una desigualdad estricta.
  12. Las siglas significan L=Lado y A=Ángulo, usadas para no repetir las palabras, las principales son ALA, LAL y LLL.